Решение текстовых задач арифметическим способом
Разделы: Математика
Обучение решению текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний. Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися возможностей математики в решении разнообразных задач. Однако при решении текстовых задач в 5-6 классах чаще всего используется уравнение. Но мышление пятиклассников еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений. Арифметический способ решения задач имеют ряд преимуществ по сравнению с алгебраическим потому, что результат каждого шага по действиям нагляднее и конкретнее, не выходит за рамки опыта пятиклассников. Школьники лучше и быстрее решают задачи по действиям, чем с помощью уравнений. Детское мышление конкретно, и развивать его надо на конкретных предметах и величинах, затем постепенно переходить к оперированию абстрактными образами.
Работа над задачей предусматривает внимательное прочтение текста условия, вникания в смысл каждого слова. Приведу примеры задач, которые легко и просто можно решить арифметическим способом.
Задача 1. Для приготовления варенья на две части малины берут три части сахара. Сколько килограммов сахара нужно взять на 2 кг 600 г малины?
При решении задачи на “части” надо приучить наглядно представлять условие задачи, т.е. лучше опираться на рисунок.
- 2600:2=1300 (г) — приходится на одну часть варенья;
- 1300*3= 3900 (г) — сахара нужно взять.
Задача 2. На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?
1) 1+3=4 (части) — приходится на все книги;
2) 120:4=30 (книг) — приходится на одну часть ( книги на второй полке);
3) 30*3=90 (книг)- стояло на первой полке.
Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в ней 27 голов и 74 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов в клетке.
Представим, что на крышку клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Тогда все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до нее. Тогда:
- 27*2=54 (ноги) — будут стоять на полу;
- 74-54=20 (ног) — будут наверху;
- 20:2=10 (кроликов);
- 27-10=17 (фазанов).
Задача 4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, а в кино – 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?
Для анализа условия и выбора плана решения можно использовать “круги Эйлера”.
- 30-5=25 (человек) – ходили или в кино, или на экскурсию,
- 25-23=2 (человек) – ходили только в кино;
- 21-2=19 ( человек) – ходили и в кино, и на экскурсию.
Задача 5. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит один гусенок?
- 2500+2400=2900 (г) – весят семь утят и семь гусят;
- 4900:7=700 (г) – вес одного утенка и одного гусенка;
- 700*3=2100 (г) – вес 3 утят и 3 гусят;
- 2500-2100=400 (г) – вес гусенка.
Задача 6. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?
Представим, что со всех больших пирамид мы сняли по два кольца. Тогда:
1) 20*5=100 (колец) – осталось;
2) 128-100-28 (колец) – мы сняли;
3) 28:2=14 (больших пирамид).
Задача 7. Арбуз массой 20кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Определите массу арбуза.
Для удобства решение будет сопровождаться иллюстрацией прямоугольников.
| 99% вода | 1% сухое вещество |
| 98% вода | 2% сухое вещество |
При этом желательно рисовать прямоугольники “сухого вещества” равными, потому что масса “сухого вещества” в арбузе остается неизменной.
1) 20:100=0,2 (кг) – масса “сухого вещества”;
2) 0,2:2=0,1 (кг) – приходится на 1% усохшего арбуза;
3) 0,1*100=10 (кг) – масса арбуза.
Задача 8. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?
- 38-28=10 (лет) – Любе;
- 23-10=13 (лет) – Наде;
- 28-13=15 (лет) – Вере.
Арифметический способ решения текстовых задач учит ребенка действовать осознанно, логически правильно, потому что при решении таким способом усиливается внимание к вопросу “почему” и имеется большой развивающий потенциал. Это способствует развитию учащихся, формированию у них интереса к решению задач и к самой науке математике.
Чтобы сделать обучение посильным, увлекательным и поучительным, надо очень внимательно отнестись к выбору текстовых задач, рассматривать различные способы их решения, выбирая оптимальные из них, развивать логическое мышление, что в дальнейшем необходимо при решении геометрических задач.
Научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их. “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”,- пишет Д.Пойа в книге “ Математическое открытие”.
Источник
Арифметическим способом решить задачу это как
Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту
- Главная
- 9-Класс
- Алгебра
- Видеоурок «Алгебраический способ решения текстовых задач»
Существует несколько способов решения текстовых задач:
• арифметический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью чисел и знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;
• алгебраический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью введения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;
• геометрический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;
• схематический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью схем;
• графический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.
Каждый из этих способов предполагает перевод условий задачи на язык математики. Это действие математики называют математическим моделированием. Результат этого действия называют математической моделью. При применении различных способов решения получаются различные математические модели.
В арифметическом способе математической моделью является числовое выражение, то есть числовой пример с несколькими действиями, а конечный результат вычислений будет решением задачи.
В алгебраическом способе математической моделью чаще всего является уравнение, а решение уравнения даёт решение задачи.
В геометрическом способе математической моделью является геометрическая фигура, а решение задачи – это один из найденных элементов этой фигуры.
В схематическом способе математической моделью является схема, с помощью которой находят решение задачи.
В графическом способе математической моделью является график, построенный по условию задачи. При этом способе решением задачи являются координаты определённых точек графиков.
На этом занятии более подробно будет рассмотрен алгебраический способ решения задачи.
Решить текстовую задачу алгебраическим способом означает:
1. Ввести удобную переменную выразить через неё неизвестные величины.
2. По явным условиям, описанным в задаче, составить уравнение или неравенство.
3. Решить уравнение или неравенство
4. Выбрать из всех найденных решений те, которые подходят по смыслу задачи, то есть удовлетворяют неявным условиям задачи и, таким образом, найти ответ на главный вопрос задачи. Рассмотрим методику алгебраического способа решения текстовых задач с помощью уравнений и неравенств.
1 этап. Арифметическая краткая запись условий задачи.
Цель этого этапа: осмысление задачи.
Форма записи: схематический чертёж или таблица всех известных и неизвестных данных задачи.
• этот этап может отсутствовать, если решение задачи элементарно или она не особо усложнена условиями;
• на этом этапе решения задачи происходит понимание или осмысление её текста. Намного облегчает этот процесс умение правильно «увязать» все известные и неизвестные величины в таблицу данных задачи или составить чертёж; неизвестные величины удобно обозначать знаком «?», а «главный вопрос» задачи для того, чтобы потом на последних этапах не запутаться и правильно найти «Ответ», так как в некоторых задачах, содержащих неявный вопрос искомую величину приходится довычислять;
• все единицы измерения перевести в единые;
• значительно облегчает решение и делает задачу более понятной введение обозначений, общепринятых в физике, химии, геометрии, алгебре, экономике и так далее. Например: V,t,s-скорость, время, расстояние (длина пути или отрезка); р,V,m-плотность вещества, объём тела, масса тела; W,t,V–производительность, время работы, объём работы; a,b,P,S–две стороны прямоугольника, его периметр, его площадь; А0,р,n,An-первоначальная величина, процент её увеличения, количество увеличений, конечная величина после увеличения А0 на р процентов n раз; MА,СА,M–масса вещества А в растворе или в смеси, концентрация вещества А в растворе или смеси (доля), масса раствора или смеси; mn=10m+n–запись двузначного числа, где m,n–цифры;
• Большую помощь в задачах «на движение» оказывает схематический чертёж. Он позволяет увидеть динамику движения, а также учесть все характерные ситуации–встречи, остановки, повороты и тому подобное.
2 этап. «Легенда» или алгебраическая краткая запись условий задачи.
Цель этого этапа: удачно выбрать переменную и выразить все неизвестные величины задачи через неё.
Форма записи: такая, как и на 1этапе, но только вместо знаков «?» везде надо записать выражения с переменной.
• обычно этот этап в оформлении задачи начинается с фразы «Пусть х ед.-…,тогда…»;
• не следует пытаться обойтись небольшим числом неизвестных; наоборот, чем больше неизвестных, тем легче составлять уравнения или неравенства;
• выбирая неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи; точнее, набор переменных представляет собой список параметров, определяющих эту модель, поэтому все они должны быть независимы, и все соотношения должны следовать лишь из конкретных условий задачи;
• при введении переменных следует руководствоваться принципом наибольшего удобства математической записи условий задачи, при этом искомая величина может не входить в их число. В большинстве задач «главный вопрос» подсказывает выбор переменной.
3 этап. Составление и решение уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).
Цель этого этапа: опираясь на условия задачи составить уравнение или неравенство ( систему уравнений или неравенств ) и найти его (её) решение.
• обычно этот этап в оформлении задачи начинается словами «По условию задачи (выписать условия из текста задачи), значит,…(запись уравнения или неравенства).»;
• необходимо учитывать Область Допустимых Значений переменной или переменных помня условия существования уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств);
• для составления уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств) из текста задачи выбираем условие (условия), которое позволяет увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы: S=vt-вычисление длины пути, пройденного телом; m=pV-вычисление массы тела; V=Wt-вычисление объёма работы;S=ab–вычисление площади прямоугольника; MА=САM-вычисление массы вещества А в смеси или растворе; An=A0(1±p)n или An=A0(1±p1) … (1±pn) вычисление сложных процентов;
• если неизвестных следует брать столько, сколько потребуется, то уравнений будет cтолько, сколько получится; в простейших ситуациях мы получаем уравнение (неравенство) с одной переменной или систему уравнений (неравенств), в которой число уравнений (неравенств) совпадает с числом неизвестных.
4 этап. Анализ решения уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).
Цель: из всех найденных решений уравнений или неравенств (систем уравнений или неравенств) выбрать те, которые подходят по смыслу задачи и, по мере необходимости, довычислить искомую величину.
обычно этот этап в оформлении задачи начинается фразой «По смыслу задачи х должна быть величиной… (натуральной, положительной, целой, принадлежащей промежутку и так далее), и, если смысловое условие не выполнено, то найденную величину называют посторонним решением, а , если смысловое условие выполнено, то записывают единицы измерения и пояснение к найденной величине.
• т.о., не каждое решение уравнения может являться решением задачи; особенности отбора значений переменных в различных типовых задачах будут рассмотрены ниже;
• для всякой текстовой задачи полезно провести проверку её решения, причём проверять нужно соответствие полученного ответа условию задачи, а не составленным уравнениям.
Цель этого этапа: записать правильный ответ, удовлетворяющий всем описанным условиям задачи и отвечающий на её «главный вопрос».
Рассмотрим полное решение задачи по указанной схеме.
Задача. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24км от А, одновременно отправились пешеход и велосипедист. Велосипедист прибыл в пункт В на 4часа раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найти скорость пешехода.
1 этап. Арифметическая краткая запись.
По условию задачи надо определить скорость пешехода, значит, это и является «Главным вопросом» задачи.
2 этап. «Легенда» или алгебраическая краткая запись. Поскольку путь от А до В известен, то неизвестные величины–скорости пешехода и велосипедиста и время их движения. Т.к. «главный вопрос» задачи–скорость пешехода, то обозначим за переменные скорости, а время выразим через введенные неизвестные. Пусть х км/ч–скорость пешехода, у км/ч–скорость велосипедиста, тогда
В задаче описаны два условия движения пешехода и велосипедиста, значит, получим два уравнения «увязанные» с изменением времени движения.
3 этап. Составление и решение системы уравнений.
24(х + 2) – 12х – 4х(х + 2) = 0, х(х + 2)≠ 0 – ОДЗ. х2-х-12=0; По теореме Виета х1 х2=-12, х1+х2=1. Получаем два решения первого уравнения системы: х1=4
ДЗ,
х2=-3
ОДЗ. Оба решения удовлетворяют неравенству системы, т.е. ОДЗ дробно–рационального уравнения.
4 этап. Анализ решения системы уравнений.
По смыслу задачи х–положительное число, х=-3 постороннее решение,
х=4>0 =>4км/ч скорость движения пешехода.
Проверка решения задачи.
Она часто бывает полезна, но не обязательна. В задаче поставлены четыре условия существования искомой величины–скорости пешехода: 1условие–расстояние между пунктами А и В 24км; 2условие–время движения велосипедиста меньше времени движения пешехода на 4часа; 3условие–изменённая скорость велосипедиста на 4км/ч меньше фактической скорости; 4условие–изменённое время движения велосипедиста в 2раза меньше времени движения пешехода. Для проверки достоверности решения допустим выполнение двух из них при найденном решении задачи. Если два других условия при этом выполнятся, то будем считать, что задача решена верно. Если два других условия не выполнятся, то решение найдено неверно.
24км:4км/ч = 6ч – время движения пешехода; (использовали 1 условие)
6ч – 4ч = 2ч – время движения велосипедиста; (использовали 2 условие)
24км:2ч = 12км/ч – скорость движения велосипедиста;
12км/ч – 4км/ч = 8км/ч – изменённая скорость велосипедиста;
24км:8км/ч = 3ч – изменённое время движения велосипедиста; (выполнено 3 условие)
6ч:3ч = 2(раза) – отношение времени движения пешехода и велосипедиста; (выполнено 4 условие)
Все условия задачи выполнены =>скорость пешехода 4км/ч найдена верно.
5 этап. Ответ. Ответ: 4км/ч.
Таким образом, на этом занятии мы познакомились с алгебраическим способом решения текстовой задачи и разобрали методику её решения на примере задачи «на движение».
Источник
