- Декурсивный и антисипативный способы начисления процентов
- Антисипативный метод начисления сложных процентов
- Механизм влияния фактора времени на результат финансовых операций
- Содержание
- Наращение по простым процентам
- Дисконтирование по простым процентам
- Определение процентной ставки и срока проведения операции
- Эквивалентность процентных ставок r и d
- Наращение по сложным процентам
- Дисконтирование по сложным процентам
- Использование сложной учетной ставки
- Определение процентной ставки и срока проведения операции
- Вывод
Декурсивный и антисипативный способы начисления процентов
Цена денег – это плата за временное использование «чужих» денег, она определяется в виде простых или сложных процентов. Проценты – это доход от предоставления капитала в долг, то есть денежная плата, взимаемая за использование денег. Если проценты имеют стоимостное выражение, их принято называть процентными деньгами. Давая деньги взаймы сегодня, владелец подвергает себя риску их не возврата, то есть не получения дохода от возможных инвестиций, снижает свою ликвидность. Поэтому он стремится возместить потери – получить доход от предоставления денег в долг. Этот доход и называется процентными деньгами.
Процентная ставка – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
Период начисленияпроцентов – промежуток времени, за который начисляются проценты (срок, на который предоставляются деньги).
Интервал начисления – минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Существует два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный.
Декурсивный способ начисления процентов – наращение первоначальной суммы по процентной ставке. Проценты (правильнее – процентные деньги) выплачиваются в конце каждого интервала начисления.
Декурсивная процентная ставка (i), называемая ссудным процентом, – это выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода I (процентных денег) к сумме, имеющейся на начало данного интервала – P.
Наращение (рост) первоначальной суммы долга – увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов.
где S – наращенная сумма.
Коэффициент наращения Кн определяется следующим образом:
. (4.3)
Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в долях единицы и определяется делением процентных денег на первоначальную сумму.
. (4.4)
Формула расчета процентной ставки идентична расчету статистического показателя «темп прироста».
Определение наращенной суммы S называется компаундингом. Определение первоначальной суммы Р – дисконтированием.
День получения и день окончательного погашения займа считаются одним днем (граничный день). Начисление процентов по кредитам и депозитам происходит, как правило, ежедневно. При этом может использоваться или точное количество дней в году (360/365) или банковское (30 дней).
При антисипативном способе начисления процентов (предварительном)проценты выплачиваются в начале периода, за который начисляются проценты. Пример: проценты, взимаемые банком при учете векселей; по факторинговому кредит и проч. Величиной получаемого кредита является наращенная сумма S. Исходя из нее и начисляются проценты. Заемщик получает сумму кредита за вычетом процентов.
Разница между размером кредита S и выдаваемой суммой Р называется дисконтом, обозначается через D и представляет собой сумму процентных денег.
Ставка дисконта, выраженная в долях от единицы и определяемая делением суммы дисконта на величину Р, называется учетной ставкой d.
. (4.6)
Можно заметить, что и сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом. Однако в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода «наценке», то есть определяется будущая стоимость «сегодняшних денег». Во втором случае определяется настоящая стоимость будущих денег, то есть определяется «скидка» с будущей стоимости (diskont в переводе с немецкого означает «скидка»).
Чаще всего антисипативный способ используется в чисто технических целях – при дисконтировании, а также при учете векселей в банке и при оплате факторинговых услуг. Во всех остальных случаях в мировой практике более распространен декурсивный способ начисления процентов.
Антисипативный способ применяется в странах с развитой рыночной экономикой в периоды высокой инфляции, так как наращение по антисипативному способу происходит более быстрыми темпами, чем при декурсивном способе начисления.
В хозяйственной практике РБ в настоящее время применяется в основном декурсивный способ начисления простых процентов. Проценты по счетам начисляются в соответствии с договором между банком и клиентом. По счетам учета кредитных и депозитных операций проценты начисляются за период, включающий день выдачи кредита или зачисления денег в депозит, и день, предшествующий погашению кредита или выдачи депозита (закрытия счета). При изменении процентной ставки начисление процентов по новой ставке осуществляется со дня ее установления.
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.
Источник
Антисипативный метод начисления сложных процентов
(сложные учетные ставки)
Введем следующие обозначения:
dс – сложная учетная ставка;
f – номинальная годовая учетная ставка (применяется при начислении процентов по учетной ставке несколько раз в году);
Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:
P = S (1 — dс) n .
Наращенная сумма через n лет: S = P / (1 — dс) n .
Здесь 1 / (1 — dс) n – коэффициент наращения по сложной учетной ставке.
При равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативным методом) идет быстрее. Поэтому в литературе можно встретить утверждение о том, что декурсивный метод начисления процентов более выгоден заемщику, а антисипативный – кредитору. Однако это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки разница в наращенных суммах становится огромной (и растет с ростом %), и сравнение этих двух методов теряет всякий смысл.
Из формулы следует, что учетная ставка может принимать значения только строго меньше 100%. Наращенная сумма быстро увеличивается с ростом учетной ставки, стремясь к бесконечности.
Если учетная ставка изменяется в течение срока ссуды:
Здесь n1, n2, … nN – продолжительность интервалов начисления в годах;
d1, d2, … dN – учетные ставки в этих интервалах;
Если начисление процентов m раз в году, то
Если провести расчеты S для разных видов процентных ставок (простых и сложных ссудных и учетных) при одинаковых Р и размерах процентных ставок, то наибольший рост капитала получится в случае начисления процентов по простой учетной ставке.
Задача 17
Первоначальная сумма долга – 25 тыс. р. Определить наращенную сумму через 3 года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая процентная ставка – 25%.
S1 = 25 000 (1 + 0.25) 3 = 48 828,125 р.;
S2 = 25 000 (1 – 0.25) -3 = 59 255,747 р.
Решите самостоятельно
Задача 18
Определить современное значение суммы в 120 000 р., которая будет выплачена через 2 года при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.
Задача 19 .
Определить наращенные суммы для различных видов процентных ставок при одинаковых начальных условиях: P = 10 000 р., процентная ставка = 10%.
Результаты расчетов свести в таблицу и сравнить скорости наращения.
| Вид ставки и формула расчета S | Срок n = 1 | Срок n = 3 | Срок n = 6 |
| Простая ссудная: S = P (1 + in) | 11 000 | 13 000 | 16 000 |
| Сложная ссудная: S = P (1 + iс) n | |||
| Непрерывный способ начисления %% S = P · e j n | 11 044 | ||
| Простая учетная: S = P / (1 – dn) | |||
| Сложная учетная: S = P / (1 – d) n |
Для примера в верхней строке приведены результаты расчетов наращенных сумм по простой ссудной ставке при сроках ссуды, равных одному, трем и шести годам. Пустые строки следует заполнить самостоятельно.
В формуле расчета для непрерывного начисления процентов e – основание натурального логарифма. Для n = 1: S = 10 000 х 2.7 0.1 х 1 = 11 044.
Эквивалентные процентные ставки
Эквивалентные процентные ставки – это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Их необходимо знать, когда существует возможность выбора условий финансовых операций и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.
Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных видов ставок (обычно это наращенная сумма). На основании равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида. Например, для нахождения простой учетной ставки, эквивалентной простой ссудной ставке, уравнение эквивалентности будет иметь вид
P (1 + ni) = P/ (1 – nd) или (1 + ni) = 1 / (1 – nd),
т.е. необходимо приравнять соответствующие коэффициенты наращения.
Отсюда d = i / (1 + ni) и i = d / (1 – nd).
Задача 20
Срок уплаты по долговому обязательству – полгода, простая учетная ставка – 18%. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой ставки ссудных процентов?
i= 0.18 / (1 – 0.5 х 0.18) = 0.198 = 19.8%.
Для нахождения эквивалентности между собой годовой сложной ссудной ставки и годовой сложной номинальной ссудной ставки приравняем выражения:
S = P (1 + iс) n и S = P (1 + j/m) mn , т.е. (1 + iс) n = (1 + j/m) mn .
Отсюда iс = (1 + j/m) m – 1.
Полученная годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов. Ее необходимо знать для определения реальной доходности или сравнения процентов, когда используются разные интервалы начисления.
Задача 21
Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка 24% и начисление процентов ежемесячное.
iс = (1 + 0.24 / 12) 12 – 1 = 0.268 = 26.8%.
Задача 22
Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 10 000 тыс. р. на 5 лет:
а) под простую ссудную ставку 20% годовых;
б) под сложную ссудную ставку 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов.
Здесь не обязательно считать величину наращенной суммы при различных ставках. Поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно, например, найти простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, т.е. использовать формулу
i = [(1 + j / m) mn – 1] / n = [(1 + 0.12 / 4) 20 – 1] / 5 = 0.1612 = 16.12%.
Поскольку простая процентная ставка 16.12%, которая дала бы одинаковый с данной сложной процентной ставкой (12%) результат, значительно ниже предложенной в первом варианте ставки (20%), ясно, что гораздо выгоднее первый вариант вложения (под простую ставку 20% годовых).
Посчитаем теперь наращенные суммы в обоих случаях:
а) S = 10 000 (1 + 5 х 0.2) = 20 000 тыс. р.;
б) S = 10 000 (1 + 0.12 / 4) 20 = 18 061 тыс. р.
Полученный результат подтверждает ранее сделанный вывод о том, что первый вариант более выгоден, поскольку дает большую сумму наращения. При этом использование эквивалентных ставок вдвое сокращает расчеты.
Решите самостоятельно
Задача 23
Вексель учтен за три месяца до срока его погашения по учетной ставке 20% годовых. Определить значение эквивалентной ставки простых процентов, определяющей доходность операции учета.
Задача 24
Простая ставка процентов равна 20% годовых. Определить значение эквивалентной ей учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Задача 25
Кредит на два года предоставлен по ставке сложных процентов 16% годовых. Определить значение эквивалентной учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Задача 26
По депозитному сертификату сроком на пять лет начисляются простые ссудные проценты по ставке 15% годовых. Определить эквивалентную ставку сложных процентов.
Задача 27
Банк ежемесячно начисляет проценты на вклады по номинальной годовой ставке 12% годовых. Определить доходность вкладов по сложной годовой ставке процентов.
Можно сделать следующие выводы:
1. Значение эффективной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при m = 1.
2. Простая учетная ставка всегда меньше эквивалентных ей других ставок (поскольку наращение по этой ставке при прочих равных условиях всегда быстрее).
3. Эквивалентность различных процентных ставок не зависит от величины первоначальной суммы Р (первоначальная сумма предполагается одинаковой).
4. Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления процентов за исключением случаев эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).
Источник
Механизм влияния фактора времени на результат финансовых операций
Большинство хозяйственных операций (приобретение основных средств, покупка/продажа ценных бумаг, лизинг, получение/погашение банковских кредитов, анализ инвестиционных проектов и др.) порождают денежные потоки. Осуществление этих операций сопровождается множеством выплат и поступлений денежных средств, образуя денежный поток, распределенный во времени.
В связи с этим в процессе управления финансами предприятия возникает необходимость в проведении специальных расчетов, связанных с движением денежных потоков в различные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени. Концепция такой оценки базируется на том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли, сложившейся на финансовом рынке, в качестве которой выступает ставка ссудного процента или норма доходности по государственным ценным бумагам.
Из принципа временной стоимости денег (Time Value of Money, TVM) вытекает два важных следствия:
- необходимость учета фактора времени, в особенности при проведении долгосрочных финансовых операций;
- некорректность суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.
Рассмотрим отдельные элементы методического инструментария стоимости денег.
Процент — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (депозитный и кредитный процент, по облигациям и векселям).
Простой процент — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты не производят.
Сложный процент — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которую не выплачивают, а присоединяют к основной сумме капитала (вклада) в последующем платежном периоде.
Процентная ставка — удельный показатель, в соответствии с которым в установленные сроки выплачивают сумму процентов в расчете на единицу капитала (вклада). На практике процентная ставка выражает соотношение годовой суммы процентного дохода к объему основного долга.
Будущая стоимость денег (Future Value, FV) — сумма вложенных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом выбранной процентной ставки.
Настоящая стоимость денег (Present Value, PV) — сумма будущих денежных средств (вклада), приведенных с учетом конкретной процентной ставки к настоящему моменту времени.
Наращение стоимости (компаундинг — compounding) — процесс пересчета настоящей стоимости денежных средств (вклада) в их будущую стоимость в конкретном периоде времени путем добавления к первоначальной сумме начисленной величины процента.
Дисконтирование стоимости (discounting) — процесс приведения будущей стоимости денежных средств (вклада) к их настоящей стоимости путем исключения из будущей суммы соответствующей величины процента (дисконта). Посредством такой финансовой операции достигают сопоставимости текущей стоимости предстоящих денежных потоков.
Период начисления — общий период времени, в течение которого осуществляют процесс наращения или дисконтирования денежной суммы (вклада).
Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Декурсивный способ начисления процентов — способ, при котором проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно, декурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов — это способ, при котором проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется учетной ставкой, или антисипативным процентом.
Содержание
Наращение по простым процентам
Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года или равен ему.
Наращение по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле:
FV = PV(1 + r × n), (1)
где FV — будущая стоимость;
PV — первоначальная стоимость;
n — число периодов (лет);
r — процентная ставка.
Клиент сделал вклад в банк в сумме 10 000 руб. под 12% годовых сроком на пять лет. По формуле (1) находим:
FV = 10 000(1 + 0,12 × 5) = 16 000 руб.
Сумма начисленных процентов составит 6000 руб. (16 000 – 10 000).
Если продолжительность краткосрочной операции выражена в днях, то срок ее проведения корректируется следующим образом:
где t — число дней проведения операции;
В — временная база (число календарных дней в году).
Тогда будущую стоимость операции можно определить:
Время вклада (ссуды) может вычисляться или с учетом точного числа в месяцах, или при допущении, что расчетная продолжительность любого месяца равна 30 дням.
В результате конкретные расчеты по начислению процентов могут вестись по трем вариантам:
365/365 — точное число дней проведения операции и фактическое число дней в году (точные проценты);
365/360 — точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней);
360/360 — приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (обыкновенные проценты).
Для одних и тех же условий начисления процентов проведение расчетов по этим вариантам приводит к несколько отличающимся финансовым последствиям.
Акционерное общество получило в банке ссуду в размере 200 тыс. руб. под 15% годовых на срок с 15 февраля до 15 апреля. Определить сумму, которую необходимо возвратить банку.
Сначала нужно определить число дней использования ссуды: 15 февраля – 46-й день в году, 15 апреля – 105-й день в году. Отсюда точный срок ссуды – 59 дней. Тогда, по формуле (3) находим:
Дисконтирование по простым процентам
Существует два способа дисконтирования.
Математическое дисконтирование — способ, основанный на решении задачи, обратной определению будущей стоимости. При проведении расчетов здесь используется процентная ставка.
С учетом принятых ранее обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь вид:
Доход банка (FV – PV) называют дисконтом, а используемую норму приведения r — декурсивной ставкой процентов.
Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию, номинальная стоимость которой 500 тыс. руб., а срок погашения — 270 дней, если требуемая норма доходности — 20%?
По формуле (4) при использовании обыкновенных процентов:
PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 360) = 434,78 тыс. руб.;
PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 365) = 435,56 тыс. руб.
Банковское дисконтирование применяется при банковском учете векселей, при этом проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При проведении расчетов используется учетная ставка d:
При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения d называют антисипативной ставкой процентов.
Простой вексель на сумму 500 тыс. руб. со сроком погашения один год учитывается в банке через 270 дней по простой учетной ставке 20%. Какую сумму получит владелец векселя?
Используем формулу (5), учитывая, что n — это разность во времени между моментом учета и сроком погашения векселя:
PV = 500 (1 – 0,2 × 90 / 360) = 475 тыс. руб.
Применение двух рассмотренных методов дисконтирования к одной и той же сумме приводит к разным результатам, даже при r = d. Учетная ставка дает более быстрое снижение суммы, чем обычная.
Простой вексель на сумму 100 тыс. руб. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Необходимо определить сумму, полученную владельцем векселя при процентной/учетной ставке 15%.
При использовании процентной ставки по формуле (4):
PV = 100 / (1 + 0,15 × 90 / 360) = 96,39 тыс. руб.
При использовании учетной ставки по формуле (5):
PV = 100 (1 – 0,15 × 90 / 360) = 96,25 тыс. руб.
Учетная ставка d применяется и для наращения по простым процентам (например, при определении будущей суммы контракта):
Изменим условия примера 5 следующим образом.
На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы поставщик, проведя операцию учета, получил стоимость товаров (100 тыс. руб.) в полном объеме, если учетная ставка — 15%?
По формуле (6) определяем будущую стоимость (номинал) векселя:
FV = 100 / (1 – 0,15 × 90 / 360) = 103,896 тыс. руб.
Определение процентной ставки и срока проведения операции
Величина процентной ставки r или учетной ставки d может быть определена из соотношений (1) и (5):
Краткосрочное обязательство со сроком погашения 90 дней было приобретено по цене 98,22 ед. от номинала. Необходимо определить доходность операции для инвестора.
Она составляет (с использованием обыкновенных процентов):
Необходимо определить срок владения обязательством стоимостью 98,22 ед., погашаемого по номиналу, если требуемая норма доходности 7,2%.
Эквивалентность процентных ставок r и d
Эквивалентные процентные ставки — это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.
Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.
Вывод формул эквивалентности базируется на равенстве соответствующих множителей наращения:
1 + n × r = (1 – n × d) – 1. (11)
С учетом формулы (11) для операций с продолжительностью менее года соотношения эквивалентности примут вид:
временная база одинакова и равна В (360 или 365 дней):
временная база ставки r равна 365 дням, а d — 360 дням:
Срок уплаты по векселю — 250 дней. При этом ставка простых процентов измеряется при временной базе 365 дней, а простая учетная ставка — при временной базе 360 дней. Какова будет доходность, измеренная в виде ставки простых процентов, учета векселя по простой учетной ставке 10%?
Используя формулу (14) для r при заданных временных базах, получим:
r = 365 × 0,1 / (360 – 250 × 0,1) = 0,1089, или 10,89%.
Допустим, что настоящая стоимость векселя — 100 000 руб. Тогда его номинальная стоимость по формуле (3) составит:
Учет векселя за 250 дней позволит рассчитать по формуле (5) его настоящую стоимость:
Наращение по сложным процентам
Сложные проценты применяются, как правило, в финансовых операциях, срок проведения которых более года. При этом базой исчисления процентов является как исходная сумма финансовой операции, так и сумма уже накопленных к этому времени процентов.
Наращение по сложным процентам имеет вид:
FVn = PV (1 + r)n. (16)
Наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доходов или капитализацию.
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.
При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j / m. Тогда, если срок финансовой операции составляет n лет, выражение для определения наращенной суммы (16) примет вид:
При увеличении числа периодов начисления m будущая величина FVmn также возрастает.
Первоначальная сумма вложения 200 тыс. руб. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании сложной ставки процентов в размере 28% годовых. Решить пример для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.
По формуле (16) для сложных процентных ставок:
FV = 200(1 + 0,28)5 = 687,2 тыс. руб.
По формуле (17) для начисления по полугодиям:
FV = 200(1 + 0,28 / 2)10 = 741,4 тыс. руб.
По той же формуле для поквартального начисления:
FV = 200(1 + 0,28 / 4)20 = 773,9 тыс. руб.
Если срок финансовой операции n в годах не является целым числом, множитель наращения k определяется по формуле:
k = (1 + r)na (1 + nb × r), (18)
na — целое число лет;
nb — оставшаяся дробная часть года.
На практике в данном случае часто применяют формулу (16) с соответствующим нецелым показателем степени. Однако этот способ является приблизительным. Чем больше значения входящих в формулу величин, тем погрешность при вычислениях будет больше.
Первоначальная сумма долга равна 50 000 тыс. руб. Необходимо определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 25% годовых.
По формуле (18) получаем:
FV = 50 000(1 + 0,25)2 (1 + 0,5 × 0,25) = 87 890,6 тыс. руб.
Для второго способа используем формулу (16) с нецелым показателем степени:
FV = 50 000(1 + 0,25)2,5 = 87 346,4 тыс. руб.
При использовании приблизительного метода упущенная выгода могла бы составить около 550 тыс. руб.
Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году и общее число интервалов начисления не является целым числом (mn — целое число интервалов начисления, l — часть интервала начисления), то выражение (17) принимает вид:
Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (16), а для оставшейся части — формула простых процентов (1).
На практике часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае соответствующие процентные ставки приводят к их годовому эквиваленту по формуле:
Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate — EPR), или ставкой сравнения.
На четырехлетний депозит в 10 000 руб. производится ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 2,5%, то есть из расчета 10% годовых. Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000 руб., вложенный на тот же срок под 10%, начисляемых один раз в год?
Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций:
ежеквартально: EPR = (1 + 0,1 / 4)4 – 1 = 0,103813;
ежегодно: EPR = (1 + 0,1 / 1)1 – 1 = 0,10.
Таким образом, условия помещения суммы в 10 000 руб. на депозит сроком на четыре года под 2,5%, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813%. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.
Если известна величина EPR, номинальная ставка процентов может быть определена следующим образом:
Дисконтирование по сложным процентам
Рассмотрим использование при математическом дисконтировании сложных процентных ставок:
Если проценты будут начисляться m раз в году, то формула (22) примет вид:
Банк производит начисление процентов на внесенную сумму по сложной процентной ставке, равной 20% в год. Какую сумму следует положить на депозит при условии, что вкладчик рассчитывает получить 10 000 тыс. руб. через 10 лет? Требуется рассмотреть два варианта начисления процентов — ежегодное и ежеквартальное.
При ежегодном начислении процентов по формуле (22):
PV = 10 000 / (1 + 0,2)10 = 1615,1 тыс. руб.
При ежеквартальном начислении процентов по формуле (23):
PV = 10 000 / (1 + 0,2 / 4)40 = 1420,5 тыс. руб.
Использование сложной учетной ставки
Для расчета операции дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:
PVn = FVn(1 – d)n. (24)
Владелец векселя номинальной стоимостью 500 тыс. руб. и периодом обращения 1,5 года предложил его банку сразу для учета, то есть за 1,5 года до погашения. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 20% годовых. Требуется определить дисконт, полученный банком, и сумму, выданную владельцу векселя.
Используя формулу (24), находим:
PV = 500 (1 – 0,2)1,5 = 357,77 тыс. руб.
Дисконт банка составит: 500 – 357,77 = 142,23 тыс. руб.
Для данных условий определим сумму, которую получил бы владелец векселя, если бы банк произвел учет векселя по простой учетной ставке 20%. Для этого используем формулу (5):
PV = 500 (1 – 0,2 × 1,5) = 350 тыс. руб.
Дисконт банка составит 500 – 350 = 150 тыс. руб.
Таким образом, банку выгоднее учитывать вексель по простой учетной ставке.
Если дисконтирование по сложной учетной ставке производится m раз в году, расчетная формула будет иметь следующий вид:
Сохраним условия предыдущего примера, но пусть расчет дисконтирования производится ежеквартально, то есть m = 4.
По формуле (25) получим:
PV = 500 (1 – 0,2 / 4)6 = 367,55 тыс. руб.
Дисконт банка составит: 500 – 367,55 = 132,45 тыс. руб.
Доход банка при ежеквартальном дисконтировании будет меньше, чем при ежегодном дисконтировании, на: 142,23 – 132,45 = 9,78 тыс. руб.
При дисконтировании с начислением процентов за периоды менее года может использоваться понятие «эффективная сложная учетная ставка». Эффективная сложная учетная ставка, эквивалентная сложной учетной ставке при заданном значении m, определяется по формуле:
dэф = 1 – (1 – d / m)m. (26)
Долговое обязательство номинальной стоимостью 500 тыс. руб. должно быть погашено через пять лет. Сложная учетная ставка равна 20% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Требуется определить настоящую величину стоимости обязательства и эффективную учетную ставку.
Используя формулы (25) и (26), получим:
PV = 500 (1 – 0,2 / 4)20 = 179,243 тыс. руб.
dэф = 1 – (1 – 0,2 / 4)4 = 0,18549, или 18,549%.
Подставив значение 18,549% в формулу (24), получим:
PV = 500 (1 – 0,18549)5 = 179,247 тыс. руб.
Расхождение между величинами настоящей суммы, рассчитанными по этим формулам, находятся в пределах точности расчета.
Определение процентной ставки и срока проведения операции
При известных величинах FV, PV и n процентную ставку можно определить по формуле:
Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк на четыре года, составила величину 14 641 руб. Необходимо определить доходность операции.
По формуле (27) находим:
r = (14 641 / 10 000)1/4 – 1 = 0,1, или 10%.
Длительность операции определяется логарифмированием:
Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк под 10% годовых, составила величину в 14 641 руб. Необходимо определить срок проведения операции.
По формуле (28) находим:
n = log (14 641 / 10 000) / log (1 + 0,1) = 4 года.
Вывод
Приведенные расчетные формулы описывают механизм влияния фактора времени на результат финансовых операций. Их использование позволит избежать ошибок и потерь в условиях снижения покупательной способности денег.
Автор — Е. Г. Моисеева
Канд. экон. наук, Арзамасский политехнический институт
Источник
