Главная > Учебные материалы > Математика: Основные законы распределения
1.Биномиальный закон распределения. 2.Геометрическое распределение. 3.Гипергеометрическое распределение. 4.Закон распределения Пуассона. 5.Равномерный закон распределения. 6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса). 7.Показательный закон распределения. 8.Логарифмически-нормальное распределение. 9. χ ² распределение. 10.Распределение Стьюдента (t — распределение). 11.Распределение Фишера-Снедекора.
1.Биномиальный закон распределения.
Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.
Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей.
Рис.1
В таблице m — число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. Сn m — число сочетаний m телевизоров по n, p — вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q — вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n — вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.
2.Геометрическое распределение.
Геометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:
P m — вероятность наступления события А в испытание под номером m. р — вероятность наступления события А в одном испытании. q = 1 — p
Пример. В компанию по ремонту бытовой техники поступила партия из 10 запасных блоков для стиральных машин. Бывают случаи, что в партии оказывается 1 блок бракованный. Проводится проверка до обнаружения бракованного блока. Необходимо составить закон распределения числа проверенных блоков. Вероятность того, что блок может оказаться бракованным равна 0,1. Построить полигон распределения вероятностей.
Рис.2
Из таблицы видно, что с увеличением числа m, вероятность того, что будет обнаружен бракованный блок, снижается. Последняя строчка (m=10) объединяет две вероятности: 1 — что десятый блок оказался неисправным — 0,038742049 , 2 — что все проверяемые блоки оказались исправными — 0,34867844. Так как вероятность того, что блок окажется неисправным относительно низкая (р=0,1), то вероятность последнего события P m (10 проверенных блоков) относительно высокая. Рис.2.
3.Гипергеометрическое распределение.
Гипергеометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:
Например, составить закон распределения 7-ми угаданных чисел из 49. В данном примере всего чисел N=49, изъяли n=7 чисел, M — всего чисел, которые обладают заданным свойством, т.е. правильно угаданных чисел, m — число правильно угаданных чисел среди изъятых.
Рис.3
Из таблицы видно, что вероятность угадывания одного числа m=1 выше, чем при m=0. Однако затем вероятность начинает быстро снижаться. Таким образом, вероятность угадывания 4-х чисел уже составляет менее 0,005, а 5-ти ничтожно мала.
4.Закон распределения Пуассона.
Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если закон ее распределения имеет вид:
λ = np = const n — число испытаний, стремящиеся к бесконечности p — вероятность наступления события, стремящаяся к нулю m — число появлений события А
Например, в среднем за день в компанию по продаже телевизоров поступает около 100 звонков. Вероятность заказа телевизора марки А равна 0,08; B — 0,06 и C — 0,04. Составить закон распределения заказов на покупку телевизоров марок А,В и С. Построить полигон распределения вероятностей.
Из условия имеем: m=100, λ 1 =8, λ 2 =6, λ 3 =4 ( ≤10 )
(таблица дана не полностью)
Если n достаточно большое и стремится к бесконечности, а значение p стремится к нулю, так что произведение np стремится к постоянному числу, то данный закон является приближением к биномиальному закону распределения. Из графика видно, что чем больше вероятность р, тем ближе кривая расположена к оси m, т.е. более пологая. (Рис.4)
Необходимо отметить, что биномиальный, геометрический, гипергеометрический и закон распределения Пуассона выражают распределение вероятностей дискретной случайной величины.
5.Равномерный закон распределения.
Если плотность вероятности ϕ(х) есть величина постоянная на определенном промежутке [a,b], то закон распределения называется равномерным. На рис.5 изображены графики функции распределения вероятностей и плотность вероятности равномерного закона распределения.
6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса).
Среди законов распределения непрерывных случайных величин наиболее распрастраненным является нормальный закон распределения. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:
где а — математическое ожидание случайной величины σ — среднее квадратическое отклонение
График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, симметричен относительно прямой х=а, т.е х равному математическому ожиданию. Таким образом, если х=а, то кривая имеет максимум равный:
При изменении величины математического ожидания кривая будет смещаться вдоль оси Ох. На графике (Рис.6) видно, что при х=3 кривая имеет максимум, т.к. математическое ожидание равно 3. Если математическое ожидание примет другое значение, например а=6, то кривая будет иметь максимум при х=6. Говоря о среднем квадратическом отклонении, как можно увидеть из графика, чем больше среднее квадратическое отклонение, тем меньше максимальное значение плотности вероятности случайной величины.
Функция, которая выражает распределение случайной величины на интервале (-∞,х), и имеющая нормальный закон распределения, выражается через функцию Лапласа по следующей формуле:
Т.е. вероятность случайной величины Х состоит из двух частей: вероятности где x принимает значения от минус бесконечности до а, равная 0,5 и вторая часть — от а до х. (Рис.7)
7.Показательный закон распределения.
Закон распределения случайной величины Х называется показательным (или экспоненциальным), если плотность вероятности имеет вид:
где λ — параметр обратно-пропорциональный математическому ожиданию.
График плотности вероятности с параметрами λ = 2, λ = 4, λ =6 изображен на рис.8
Функция распределения случайной величины Х, которая имеет показательное распределение, имеет вид:
График функции изображен на рис.9
Если функцию распределения случайной величины выразить через плотность вероятности при х ≥ а, то она примет вид:
8.Логарифмически-нормальное распределение.
Если логарифм непрерывной случайной величины изменяется по нормальному закону, то случайная величина имеет логарифмически-нормальное распределение. Функция логаривмически-нормального распределения имеет вид.
Рис.10
Из графика видно, что чем меньше σ и больше математическое ожидание а, тем кривая становится более пологая и больше стремится к симметрии. Данный закон, чаще всего, используется для описания распределения поступления денежных средств (доходов), банковских вкладов, износа основных средств и т.д. (Рис.10)
9. χ ² распределение
Сумма квадратов k независимых случайных величин, которые распределены по нормальному закону, называется χ ² распределением.
χ ² распределение имеет вид:
А i — i-ая случайная величина, распределенная по нормальному закону (i = 1,2,3. k).
Плотность вероятности случайной величины, распределенной по распределению χ ² имеет вид:
Из графика видно, что чем больше n=k, тем кривая стремиться к нормальному распределению. Рис.11.
10.Распределение Стьюдента (t — распределение)
Распределение непрерывной случайной величины называется распределением Стьюдента, если оно имеет вид:
Z — случайная величина, распределенная по нормальному закону. χ ² — случайная величина, имеющая χ ² — распределение с k степенями свободы.
Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид:
На рис.12 изображена плотность вероятности распределения Стьюдента. Из графика можно увидеть, что чем больше k, тем больше кривая приближается к нормальному распределению.
11. Распределение Фишера-Снедекора.
Распределение случайной величины Фишера-Снедекора имеет вид:
Плотность вероятности случайной величины имеет вид:
При стремлении n к бесконечности распределение Фишера-Снедекора стремится к нормальному закону распределения.(Рис.13)
Источник
Законы распределения случайных величин — определение и вычисление с примерами решения
Содержание:
Законы распределения:
Распределение случайных переменных: Каждая из случайных переменных имеет ряд возможных значений, могущих возникнуть с определенной вероятностью.
Случайные переменные величины могут носить прерывный (дискретный) и непрерывный характер. Возможные значения прерывной случайной переменной отделены друг от друга конечными интервалами. Возможные значения непрерывной случайной переменной не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Примерами прерывных случайных переменных могут служить:
число попаданий при п выстрелах, если известна вероятность попадания при 1 выстреле. Число попаданий может быть 0, 1, 2. n;
число появлений герба при n бросаниях монеты.
Примеры непрерывных случайных переменных:
ошибка измерения;
дальность полета снаряда.
Если перечислить все возможные значения случайной переменной и указать вероятности этих значений, то получится распределение случайной переменной. Распределение случайной переменной указывает на соотношение между отдельными значениями случайной величины и их вероятностями.
Распределение случайной переменной будет задано законом распределения, если точно указать, какой вероятностью обладает каждое значение случайной переменной.
Закон распределения имеет чаще всего табличную -форму изложения. В этом случае перечисляются все возможные значения случайной переменной и соответствующие им вероятности:
Такая таблица называется также рядом распределения случайной переменной.
Для наглядности ряд распределения изображают графически, откладывая на прямоугольной системе координат по оси абсцисс возможные значения случайной переменной, а по оси ординат — их вероятности. В результате графического изображения получается многоугольник или полигон распределения (график 1). Многоугольник распределения является одной из форм закона распределения.
Функция распределения
Ряд распределения является исчерпывающей характеристикой прерывной случайной перемен-
Вероятность того, что Х
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Источник
Случайные события, случайные величины. Их законы распределения и числовые характеристики
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение , наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Обозначим: X, Y, Z – случайные величины
xi, yi, zi – возможные значения случайных величин.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные возможные значения или с определенными вероятностями.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины, независимо от величины промежутка, бесконечно
Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность .
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически (в виде многоугольника распределения).
Графическое задание закона распределения представлено на рис.6.1.
Способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически применим только для дискретных случайных величин .
Интегральная функция распределения позволяет задать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.
Интегральная функция распределения (ИФР)– это функция F(x) , определяющая для каждого возможного значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее x , т. е.
Геометрический смысл интегральной функции распределения – это вероятность того, что случайная величина X примет значение , которое на числовой оси лежит левее точки x .
Свойства интегральной функции распределения:
Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку [0;1] : ..
Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенной в интервале (a,b) , равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале
, если ,
, если .
График ИФР непрерывной случайной величины представлен на рис. 6.2
График ИФР дискретной случайной величины представлен на рис. 6.3
Для описания распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется дифференциальная функция распределения.
Дифференциальная функция распределения (ДФР) (или плотность вероятности) – это первая производная от интегральной функции.
Интегральная функция распределения является первообразной для дифференциальной функции распределения. Тогда
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение , принадлежащее интервалу (a,b) , равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b :
Геометрический смысл ДФР состоит в следующем: вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение , принадлежащее интервалу (a, b) , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью x , кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b (рис. 6.4).
График дифференциальной функции распределения принято называть кривой распределения.
или 
с определенными вероятностями.
возможные значения случайной величины;
вероятности появления случайной величины.
— интенсивность потока событий.
..
, если 
,
, если 
.
