Аналитический способ задания поверхности

Аналитический способ задания поверхности

Поверхность рассматривается как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют некоторому заданному уравнению вида F(x,y,z)=0 (рис. 48, а, б, в). Порядок уравнения соответствует порядку поверхности. Порядок поверхности можно определить и геометрически, как порядок кривой, по которой плоскость пересекает поверхность, или как число точек пересечения прямой с поверхностью.

б – гиперболоид однополостный

в – гиперболический цилиндр

Аналитический способ задания поверхности находит широкое применение в практике, особенно если требуется исследовать свойства поверхности.

Кинематическую поверхность можно рассматривать как непрерывную совокупность последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по некоторым неподвижным линиям. Таким образом, на любой кинематической поверхности можно выделить два семейства линий: семейство образующих и семейство направляющих. Направляющие и образующие обладают следующим свойством: никакие две линии одного семейства не пересекаются между собой, но каждая линия одного семейства пересекает все линии другого.

Рассмотрим формирование конической поверхности (рис. 49). Такая поверхность образована движением прямой образующей l, постоянно проходящей через точку S и во всех своих положениях пересекающей некоторую направляющую кривую m. Если направляющая m – окружность, каждая точка которой равноудалена от вершины S, образуется прямой круговой конус.

Совокупность точек, линий и различных условий, определяющих закон перемещения образующей, называют также определителем поверхности. Например, определителем конуса вращения могут быть ось и образующая или вершина и направляющая линия. Определителем цилиндра вращения может быть ось и образующая (прямая или кривая) или ось и направляющая (окружность). Окружность может быть и направляющей линией цилиндра и его образующей. В начертательной геометрии все поверхности рассматриваются как кинематические, то есть образованные непрерывным перемещением в пространстве какой – либо линии или поверхности.

Поверхности, к которым нельзя применить математические закономерности или поверхности с произвольными образующими называются скульптурными или поверхностями произвольных форм (рис. 50). Такие поверхности обычно задают достаточно плотной сетью линий и точек, принадлежащих этим поверхностям. Совокупность таких линий называется каркасом поверхности. При этом точки, лежащие между линиями каркаса, определяются приближенно.

Одним из наиболее распространенных в промышленности методов конструирования поверхностей является метод конструирования с помощью непрерывного каркаса. Метод каркасного конструирования используется при изготовлении кузовов автомобилей, самолетов и в судостроении, для выполнения штампов при изготовлении поверхностей из листового материала, в топографии, горном и дорожном деле.

Источник

Способы задания поверхностей

Поверхность, образованная каким-либо способом, считается заданной, если относительно произвольной точки пространства можно однозначно решить вопрос о ее принадлежности данной поверхности. Для поверхности, заданной на чертеже, это условие становится следующим: поверхность считается заданной, если по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить вторую проекцию. Совокупность условий, необходимых для задания поверхности, называется определителем поверхности. Он состоит из геометрической и алгоритмической частей. Геометрическая часть определителя – это перечень геометрических элементов и фигур, которые участвуют в образовании поверхности. Алгоритмическая часть определителя описывает взаимосвязи между элементами и фигурами, входящими в геометрическую часть, а также представляет совокупность правил, по которым образуется поверхность. Например, поверхность сферы можно образовать, вращая некоторую точку вокруг другой неподвижной точки (центра сферы) и поворачивая при этом плоскость вращения вокруг оси, проходящей через центр сферы. В этом случае в геометрическую часть определителя войдут две точки, а в алгоритмическую часть – описание правил вращения одной точки вокруг другой.

Следует иметь в виду, что при задании поверхности можно в ряде случаев вместо геометрических элементов задавать числовые параметры. Например, сферу можно было бы задать центром и величиной радиуса. Для задания конуса вращения необходимо определить ось вращения и величину угла между образующей конуса и осью. Такие параметры поверхности принято разделять на параметры формы и положения. Параметры, изменение которых приводит к изменению формы поверхности, называются параметрами формы. Если же при изменении параметра меняется положение поверхности в пространстве, то такой параметр относят к параметрам положения. В случае задания сферы ее радиус является параметром формы, а координаты центра сферы – параметрами положения. Число независимых параметров поверхности называется ее параметрическим числом.

Существует три наиболее распространённых способа задания поверхностей: аналитический, графический и графоаналитический. Рассмотрим каждый из этих способов.

Аналитический способ. В этом случае поверхность рассматривается как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению вида:

F(x, y, z) = 0или z = Ф(х, у),

где Fи Ф — алгебраическая или трансцендентная функция.

Поверхность также может задаваться системой уравнений, определяющих зависимость координат точек поверхности от некоторого параметра:

x = X(t)

y = Y(t)

z = Z(t).

Такой способ задания называется параметрическим.

Широкое распространение в последнее время получила векторная форма задания поверхности, в этом случае поверхность определяется вектор-функцией R некоторой точки N, принадлежащей поверхности. Эта функция зависит от двух скалярных аргументов u и v:

R = R(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k,

где x,y,z – координаты вектор-функции. Параметры u и v называются криволинейными координатами поверхности. Каждой паре значений u, v из области их изменения соответствует точка поверхности, координаты которой определяются функциями

x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v).

Если один из параметров принять постоянным, например, задаться v=v₁, то вектор функции R=R(u,v₁) опишет на поверхности некоторую линию v₁=const, называемую координатной линией. Переходя к другому значению v=v₂, получим следующую линию семейства v₂=const. Совокупность линий v_i=const (i=1, …, m) образует линейный каркас поверхности (линейным каркасом поверхности называется множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества).

Аналогично, фиксируя u и изменяя v, можно получить координатную линию u=const.Множество линий u_j=const (j=1, . n) образует другой линейный каркас той же поверхности. Через каждую точку поверхности можно провести две координатные линии (одну – семейства u_j=const, другую – v_i=const).Совокупность двух линейных каркасов образует сетчатый каркасповерхности или сеть.

Векторная форма задания поверхностей часто используется для задания кинематических поверхностей. Действительно, пусть образующая линия поверхности задана параметрически в виде r = r(u). Вводя второй параметр v, определяющий перемещение образующей в пространстве, можно получить сетчатый каркас поверхности, описывающийся уравнением r =r (u,v). Причем линии каркаса v_i = const в этом случае представляют собой семейство образующих, а линии каркаса u_j =const — семейство направляющих линий поверхности (рис.9.2).

Графический способзадания поверхностей предполагает задание поверхности на комплексном чертеже. При этом, как уже было сказано выше, поверхность считается заданной, а ее чертеж – метрически определенным, если по одной проекции точки, лежащей на поверхности, можно построить другую ее проекцию. Чаще всего поверхность задается на чертеже проекциями элементов своего определителя, т.е. тех геометрических объектов, с помощью которых поверхность была образована. Алгоритмическая часть определителя поверхности переводится при этом в алгоритм графических и аналитических операций, которые необходимо осуществить над проекциями элементов определителя, чтобы построить проекции произвольных точек или линий поверхности. Однако наглядность такого чертежа поверхности очень низкая. Для улучшения наглядности чертеж поверхности приходится дополнять проекциями наиболее характерных или важных точек и линий поверхности, в том числе очерковымилиниями ее проекций. Очерковыми линиями (или очерком) проекций поверхности называются линии, ограничивающие области ее проекций (рис.9.3).

Часто поверхность задается на чертеже некоторой совокупностью ее точек (называемой точечным каркасом поверхности) или линий (линейный или сетчатый каркас). Например, поверхность, образованная кинематическим способом, может задаваться на чертеже проекциями семейства направляющих линий и семейства образующих линий. Однако в этом случае поверхность будет не вполне определена, так как между точками и линиями каркаса поверхность не задается. Поэтому построить промежуточные точки и линий поверхности можно лишь приближенно. Для придания однозначности чертежу поверхности обычно пользуются одним из двух способов:

1. Задается алгоритм графических операций перехода от заданных линий каркаса к промежуточным линиям.

2. С помощью аналитических методов аппроксимации и какого-либо класса моделирующих функций рассчитывают математическую модель поверхности, содержащую заданные точки и линии каркаса. Эту модель в дальнейшем используют для получения промежуточных точек и линий. Однако нужно иметь в виду, что точность результата во многом определяется выбранным классом моделирующих функций.

Графоаналитический способ. При этом способе задания поверхности часть линий (например, образующая поверхности) может задаваться аналитически в виде уравнения

где – параметры образующей, а направляющие линии задаются графически, в виде графиков изменения параметров в зависимости от значения третьей координаты z (рис.9.4). Тогда при необходимости получения положения некоторой образующей для определяют сначала значения параметров , которые затем подставляются в уравнение образующей.

Источник

Способы задания поверхности

Существуют различные способы задания поверхности.

Поверхность в этом случае описана математическим выражением и представляется как геометрическое место точек или линий, удовлетво­ряющих уравнению F(x, у, z) = 0.

Например, поверхность шара задана уравнением: х 2 +у 2 +z 2 =г 2 .

1. Задание поверхности каркасом.

Этот способ используется при задании сложных поверхностей. По­верхность задается семейством линий, принадлежащих поверхности (каркасом). Каркасы могут быть сетчатые, линейчатые, точечные.

При задании поверхности каркасом необходимо иметь ряд ее па­раллельных сечений, которые можно рассматривать как положения обра­зующей переменного вида. Такой способ применяется при изготовлении кузовов автомобилей, в самолетостроении и судостроении.

Способ задания поверхности каркасом с помощью линий пересе­чения поверхности плоскостями уровня применяется в топографии, гор­ном и дорожном деле. Проекции линии уровня на плоскость проекций с соответствующими отметками представляют собой карту рельефа мест­ности. Поверхность, отнесенная к земной поверхности, называется топо­графической (рис. 1).

рис. 1

1. Кинематический способ

В начертательной геометрии поверхности рассматриваются как множество последовательных по­ложений движущейся линии. Та­кой способ образования поверх­ности называется кинематиче­ским.

Линия (кривая или прямая) движется в пространстве и созда­ет поверхность. Она называется образующей. Как правило, образующая движется по второй линии. Эта линия называется направляющей (рис. 2).

Классификация поверхностей

Поверхности можно разделить на несколько классов в зависимости от формы образующей, а также от формы, числа и расположения направ­ляющих:

1. Поверхности закономерные и незакономерные.
2. Линейчатые (образованные перемещением прямой линии) и не­линейчатые (криволинейные) поверхности.
3. Поверхности развертывающиеся (или торсы) и неразвертываю- щиеся.

Развертывающиеся поверхности — поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть односторонне совмещены с плос­костью без наличия разрывов и складок.

Неразвертывающиеся поверхности — поверхности, которые не мо­гут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

1. Поверхности с образующей постоянной формы и поверхности с образующей переменной формы.
2. Поверхности с поступательным, вращательным или винтовым движением образующей.

Задание поверхности на чертеже

Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже, достаточно иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволяют постро­ить каждую ее точку. Совокупность этих элементов называется определи­телем поверхности.

Определитель поверхности состоит из двух частей:

включающей постоянные геометри­ческие элементы (точки, линии), ко­торые участвуют в образовании по­верхности;

задающей закон движения зующей, характер изменения ее формы.

Когда какая-нибудь поверх­ность С! проецируется с помощью параллельных лучей на плоскость проекций Р, то проецирующие пря­мые, касающиеся поверхности О, образуют цилиндрическую поверхность (рис. 3).

Эти проецирующиеся прямые касаются поверхности Ω в точках, образующих некоторую ли­нию т, которая называется контурной линией.

Проекция контурной линии m на плоскость Р, m_р, называется очер­ком поверхности.

Чтобы сделать чертеж более наглядным строят очерк поверхности, а также ее наиболее важные линии и точки.

Линейчатые поверхности

Гранной поверхностью называется поверхность, образованная пе­ремещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. Гранные поверхности можно разделить на два вида: пирамидальные (рис. 4, а) и призматические (рис. 4, б).

Пирамидальной называется поверхность, образованная перемеще­нием прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят через некоторую неподвижную точку S. Опре­делитель поверхности — ломаная направляющая т и точка S.

Призматической называется поверхность, образованная переме­щением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят параллельно некоторому заданному на­правлению I. Определитель поверхности — ломаная направляющая т и направление I.

Точка на поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-нибудь линии, принадлежащей поверхности.

Линия принадлежит поверхности, если она проходит через точки, принадлежащие поверхности.

Следовательно, если точка принадлежит поверхности, то ее проек­ции принадлежат одноименным проекциям линии этой поверхности.

Точки М и N принадлежат соответственно пирамидальной и приз­матической поверхностям, так как принадлежат прямым, расположен­ным на этих поверхностях.

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется телом.

Многогранники

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими много­угольниками. Рассмотрим два многогранника — пирамиду и призму.

Пирамида представляет собой многогранник, у которого одна грань — основание (произвольный многоугольник). Остальные грани (бо­ковые) — треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пи­рамиды.

Для задания на чертеже пирамиды достаточно задать ее основание и вершину. Чтобы построить проекции точки на поверхности пирамиды, нужно через эту точку провести вспомогательную прямую, принадлежа­щую поверхности пирамиды (рис. 5).

Призмой называется многогранник, у которого основания — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами. Боковые грани призмы — параллелограммы. Если ребра боковых граней перпен­дикулярны основанию, то призму называют прямой (рис. 6), если нет — наклонной (рис. 7).

Для задания призмы достаточно задать одно ее осно­вание и боковое ребро. Чтобы построить недостающую проекцию точки, лежащей на грани призмы, нужно через эту точку провести прямую.

рис. 6 рис. 7

Источник