Аналитический способ задания функции двух переменных

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Тема 1. Функции двух переменных, частные производные,

Определение функций двух переменных.

Способы задания функций двух переменных.

Частные производные высших порядков.

*Дифференциал функции двух переменных и его применение.

*Дифференциал второго порядка

Тема 2. Экстремум функции двух переменных

Условный экстремум функции двух переменных

Тема 3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

* Нахождение наибольшего (наименьшего) значений линейной функции в области, заданной линейными ограничениями

Тема 1. Функции двух переменных.

частные производные, дифференциалы, градиент

Определение функций двух переменных.

Способы задания функций двух переменных.

Частные производные высших порядков.

Дифференциал функции двух переменных и его применение.

Дифференциал второго порядка

Определение функций двух переменных

Функцией двух переменных называется правило (закон, соответствие), по которому каждой упорядоченной паре чиселиз некоторого множества на плоскостипоставлено в соответствие единственное числоиз множества. Множествоназываетсяобластью определения, а множество — множеством значений функции .

Для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек на плоскости (область), а областью значений — промежуток на оси.

Пример 1. Найти область определения функции .

Запишем неравенство . Отсюда. Множество точекна плоскости, координаты которых удовлетворяют полученному неравенству, образуеткруг с центром в начале координат и радиусом . Это и есть область определения функции.

z

В прямоугольной системе координат каждой упорядоченной паре чиселсоответствует единственная точкакоординатной плоскости, и наоборот. Поэтому функцию двух переменныхудобно рассматривать какфункцию точки и записывать в виде.

2. Способы задания функций двух переменных

Основными способами задания функций являются аналитический, табличный, графический.

Существует и другие способы задания функций — алгоритмический, с помощью программы на ЭВМ.

Аналитический способ задания функции.

одной формулой, разрешенной относительно зависимой переменной (например, ), или

разными формулами на определенных числовых промежутках

Функция двух переменных называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенной относительно зависимой переменной. Например, .

Табличный способ задания функции — с помощью таблицы, в которой указаны значения аргументов и соответствующие им значения зависимой переменной.

Таблица функции двух переменных

Графический способ задания функции.

Графиком функции двух переменных являетсяповерхность в трехмерном пространстве ХУZ, состоящая из точек , где парыпринадлежат области определения функции.

Графиком линейной функции является плоскость в пространстве.

Пример 2. Построить график функции .

Для функции график представляет собой плоскость, проходящую через точки,,.

4

Одним из способов представления функции двух переменных являются линии уровня.

Линией уровня функции называется линия на плоскости, состоящая из точек области определения, в которых значение функции постоянно, или.

Для линейной функции двух переменных линии уровня задаются уравнениеми представляют собой совокупностьпараллельных прямых на плоскости ХОУ.

Пример 3. Линиями уровня функцииявляются параллельные прямые, уравнение которых.

Y

Источник

Функции многих переменных

Способы задания функции многих переменных

Как и функции одной переменной, функции многих переменных можно задавать аналитически, при помощи таблиц, при помощи графика, при помет щи некоторого алгоритма (например, компьютерной программы — см. далее пример 6).

• При аналитическом способе задания функции ее значение определяется формулой от аргументов функции. Функции из примера 1 и из подп. «а», «б» примера 2 были заданы именно так» а функции из подп. «в», «г» примера 2 при желании тоже могли бы быть заданы формулой от соответствующих показателей.

Табличный способ для задания функций многих переменных применяется весьма часто. Например, он иногда необходим в сложных расчетах на ЭВМ. Однако многие, наверное, и не подозревают, что прейскурант обувной или автомастерской частенько табличный способ задания стоимости ремонта в зависимости от выполненных работ. Перечень этих работ — это область определении» а стоимость — значение функции.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример с решением 1:

В мастерской «Шиномонтаж» висит таблица стоимости работ;

Пусть означает число работ -го вида, тогда стоимость всей работы для клиента подсчитывается по формуле:

Например, клиент привез 5 новых покрышек и хочет сменить все старые покрышки, камеры при этом хочет оставить старые. Тогда и суммарная стоимость работ равна (6000 4- 8000 + 12 000) х 5 = 130 000 руб.

Конечно, никакой «науки» в этом примере нет, и работник мастерской прекрасно справляется с получением денег от клиентов и без знания, что его прейскурант есть табличный способ задания стоимости ремонта в зависимости от выполненных работ. Графический способ задания функции более чем двух переменных почти не применяется из-за трудностей изображения графика такой функции, В случае же функции двух переменных их можно обозначить через х и у, значение функции через Графиком такой функции будет поверхность в пространстве трех измерений, состоящая из точек — области определения функции

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример с решением 2:

Например, для функции такой поверхностью является

полусфера над началом координат Радиусом 4 (рис. 1).

Для образного представления функции многих переменных используются линии заданного уровня.

Пусть — функция переменных и с — какое-нибудь число, X тогда множество называется линией уровня с, Конечно, если , то это не линия, а нечто большее, которое может быть названо поверхностью уровня с (при это настоящая поверхность в пространстве трех переменных). Из определения функции следует, что различные линии уровня не пересекаются.

Пример с решением 3:

Пусть Ес линия уровня с есть

. Легко видеть, что линии уровня — это «веточки» гиперболы в 1-ми 3-м квадрантах. При увеличении с линии уровня отодвигаются от начала координат (рис. 2).

Компьютерный способ задания функции проиллюстрируем таким примером.

Пример с решением 4:

Рассмотрим линейную задачу оптимального планирования: найти такой план производства X который бы был допустимым и обеспечивал наибольшую прибыль из всех Рис. 2 допустимых планов;

Напомним, что здесь Ф — матрица норм расхода, С — вектор-строка удельных прибылей, В — вектор — столбец запасов ресурсов, Х — вектор-столбец объемов выпускаемой продукции (об этой задаче см. п. 1 раздела 3.1).

Решением этой задачи является оптимальный план Х* и максимальная прибыль Заметим теперь, что в конечном итоге максимальная прибыль есть функция но значение этой функции можно найти (кроме совсем простых задач) лишь с помощью подходящего алгоритма, например с помощью симплекс-метода.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Источник