Аналитический способ тех мех

Техническая механика. Шпаргалка

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

Оглавление

• 1. Аксиомы и понятие силы статики
• 2. Связи и реакции связей
• 3. Определение равнодействующей геометрическим способом
• 4. Определение равнодействующей аналитическим способом
• 5. Пара сил. Момент силы

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Техническая механика. Шпаргалка предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

4. Определение равнодействующей аналитическим способом

Проекция сил на ось определяется отрезком оси, отсекаемой перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора.

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением сил. Проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси.

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси.

Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определим равнодействующую аналитическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех заданных векторов на эти оси. Складываем проекции всех векторов на оси х и у.

Модуль (величину) равнодействующей можно определить по известным проекциям:

Направление вектора равнодействующей можно определить по величинам и знакам косинусов углов, образуемых равнодействующими с осями координат:

Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, если алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равна нулю.

Система уравнений равновесия плоской системы сходящихся сил:

При решении задач координатные оси выбирают так, чтобы решение было наиболее простым. При этом желательно, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.

Источник

iSopromat.ru

Аналитический метод кинематического исследования механизмов представляет звенья механизма, его характерные размеры и перемещения звеньев в виде векторов.

В результате формируются векторные многоугольники, на основании которых составляются векторные уравнения.

Рассматривая эти векторные уравнения в проекциях на оси произвольно выбранной системы координат, получают системы алгебраических уравнений, решая которые выводят уравнения для определения перемещений (линейных или угловых) исследуемых звеньев.

В качестве параметра выступает обобщенная координата начального звена (обычно угол поворота входного кривошипа).

Задавая различные значения обобщенной координаты, по полученным уравнениям определяют положения исследуемых звеньев в различных положениях механизма. Двойным дифференцированием уравнений перемещений получают уравнения для определения скоростей (линейных или угловых) и ускорений (линейных или угловых) исследуемых звеньев.

Однако, как показывает практика, уравнения скоростей и ускорений даже для простых механизмов получаются весьма громоздкими, с большой вероятностью получения ошибок при многоступенчатом дифференцировании.

Кроме того такой подход требует отдельного программирования для каждого механизма при использовании ЭВМ. Поэтому (как было показано выше) удобно использовать аналитический метод в комбинации с графическим методом в качестве алгоритма машинного решения задачи. Такой подход делает решение задачи весьма рациональным.

Особенностью групп Ассура II класса 1-го и 2-го видов является то, что с геометрической точки зрения они имеют два решения. Поэтому применение общего принципа составления аналитических уравнений, изложенного выше, приводит к решению сложных квадратных уравнений, имеющих два корня.

Возникает новая задача по выявлению того корня, который соответствует заданному механизму. Для упрощения решения задачи надо воспользоваться следующими рекомендациями:

• в группе 1-го вида при составлении векторного многоугольника необходимо «двигаться» от одного крайнего шарнира к другому, а не по звеньям группы;
• в группе 2-го вида при составлении суммы проекций необходимо провести вспомогательную ось перпендикулярно направляющей, по которой движется ползун, и рассмотреть построенный векторный многоугольник в проекции на эту ось.

Изображенный на рисунке 11 механизм содержит оба эти случая. При формировании векторного многоугольника для первой части этого механизма, включающей группу Ассура второго класса первого вида, проведен вектор AC, соединяющий крайние шарниры A и C данной группы (рисунок 11б).

В результате определяются угол γ и размер AC, после чего в треугольнике ABC становятся известными все три стороны. По теореме косинусов можно определить любой из углов этого треугольника. В данном случае определяется угол α (рисунок 11в), т.к. для дальнейшего решения задачи необходимо знать угол φ₂ .

Векторный многоугольник, включающий группу второго класса второго вида, рассматривается в проекции на ось Y₁, проведенной перпендикулярно направляющей ABD (рисунок 11в). Полученное алгебраическое уравнение позволяет определить угол β и далее искомый угол φ₅ .

Конкретно аналитическое определение углового перемещения выходного звена 5, представленного на рисунке 11 механизма (с учетом изложенных выше рекомендаций), будет иметь следующий вид:

По этим уравнениям с помощью ЭВМ определяется угловое перемещение выходного звена φ₅ в рад, угловая скорость ω₅ в рад/с, угловое ускорение ε₅ в рад/с 2 для “n” положений механизма.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

1. Аналитический способ сложение сил (метод проекций).

2. Равновесие системы сходящихся сил.

3. Теорема о трех силах.

4. Реакции геометрических связей.

Порядок решения задач статики.

1. Метод проекций, с помощью которого реализуется аналитический способ сложения любого числа сил, основан на применении следующей теоремы геометрии: проекция векторной суммы на любую ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Рис. 1.10. Иллюстрация метода проекций

Пусть является геометрической суммой векторов, т.е.. Тогда, как видно из рис. 1.10,

R_x =  F_kx , R_y =  F_ky , .

В пространственном случае

R_x =  F_kx , R_y =  F_ky , R_z =  F_kz , .(1.1)

Равновесие системы сходящихся сил

Геометрическая сумма произвольной системы сил называется главным вектором этой системы сил, т.е.:

.

Понятие главного вектора нельзя путать с понятием равнодействующей. Равнодействующая — это сила, эквивалентная по действию на тело всей системе сил, с вполне определенной линией действие. Главный вектор — это формально вычисленная геометрическая сумма всех сил системы и, являясь свободным вектором, может быть приложена в любой точке тела. Но если некоторая система имеет равнодействующую, то она численно равна и параллельна главному вектору этой системы. Например, к таким системам относятся все системы сходящихся сил.

Для равновесия тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая (а, следовательно и главный вектор данной системы сил) были равны нулю.

Условия, которым при этом должны удовлетворять силы системы, можно выразить в геометрической и в аналитической форме.

Геометрические условия равновесия.

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из сил системы, был замкнутым. Это означает равенство нулю равнодействующей и главного вектора данной системы сил. Напомним, что векторная сумма — это вектор, соединяющий конец последнего из слагаемых векторов с началом первого из них.

Аналитические условия равновесия.

Очевидно [см. формулы (1.1)], что равнодействующая системы сходящихся сил и ее главный вектор будут равны нулю, если суммы проекций всех сил на координатные оси будут равны нулю, т.е.

Равенства (1.2) выражают условия равновесия системы сходящихся сил в аналитической форме.

Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Так как по условию теоремы все три силы непараллельны, перенесем две любые из них в точку пересечения их линий действий (на рис 1.11 силы А! и А@ переносятся в точку Е) и заменим равнодействующей ™. Поскольку тело по условию находится в равновесии, а операция по переносу сил вдоль линий их действия и последующего сложения этого равновесия не нарушит, то линия действия третьей силы А# должна пройти через точку Е в соответствие с первой аксиомой статики.

Рис. 1.11. К доказательству теоремы о трех силах

Реакции геометрических связей

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется силой реакции связи или просто реакцией связи. Значения реакций связей определяются в процессе решения соответствующей задачи механики. Направлена же реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Ниже представлены наиболее часто встречающиеся типы связей и направления их реакций.

Гладкая плоскость (поверхность или опора)(рис. 1.12). Реакция гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке.

Нить (канат, цепь, ремень, трос).Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис. 1.13), не дает телуМ удаляться от точки подвеса нити по направлениюАМ.Поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нее от тела к точке подвеса.

Неподвижный цилиндрический шарнир или подшипник (шарнирно-неподвижная опора).Цилиндрическим шарниром (рис. 1.14) называется совокупность неподвижной обоймы (втулки)1и помещенного в нее валика (пальца)2, жестко соединенного с телом3. В точкеСсоприкосновения втулки с валиком возникает сила опорной реакции, направленная по нормали к идеально гладким поверхностям. Эта нормаль проходит через геометрический центрАвалика. Так как положение точкиСсоприкосновения валика со втулкой заранее не известно, то невозможно сразу указать направление силы реакции , но можно утверждать, что линия действия реакции всегда пройдет через центрАшарнира. На расчетных схемах шарнирно-неподвижная опора условно изображается так, как показано на рис. 1.15. Неизвестную по модулю и направлению реакцию при решении задач представляют в виде двух ее взаимноперпендикулярных составляющих и . После определения их значений находят значение реакции и ее направление:

Рис. 1.14 Рис. 1.15

,

Шарнирно-подвижная опора (опора на катках).Реакция такой связи проходит через центр шарнира (рис.1.16) и направлена перпендикулярно к опорной

Сферический шарнир(рис. 1.17). Сферическим шарниром называется устройство, выполненное в виде двух контактирующих сфер, геометрический центрАкоторых неподвижен. Тело3, равновесие которого рассматривается, жестко связано с внутренней подвижной сферой1. При условии, что сферические поверхности гладкие, реакция направлена по нормали к этим поверхностям и проходит через центрАсферы. На расчетных схемах реакцию представляют в виде трех ее взаимно-перпендикулярных составляющих , и , направленных вдоль координатных осей.

Подпятник (рис. 1.18). Подпятник представляет собой соединение цилиндрического шарнира 2 и опорной плоскости 3, на которую опирается вал 1. Реакция подшипника, лежащая в плоскости перпендикулярной оси вала, представляется двумя ее взаимно-перпендикулярными составляющими и , а реакция опорной плоскости  реакцией , направленной по нормали к этой плоскости.

Невесомый стержень(рис. 1.19). Реакция прямолинейного невесомого (идеального) стержня направлена вдоль этого стержня. Если связью является криволинейный стержень, то реакция направлена вдоль прямойАВ, соединяющей концевые шарнирыАиВ.

Жесткая заделка (неподвижное защемление)конца балки (рис. 1.20). Такая связь не допускает не только линейных перемещений балки1вдоль координатных осей, но и вращения балки в плоскостихАу.

Нахождение реакций жесткой заделки сводится к определению трех неизвестных величин: составляющих и реакции и так называемого реактивного моментаМ_А, препятствующего вращению балки в плоскостихАувокруг точкиА.

5. Порядок решения задач статики

Большинство задач статики решаются в следующем порядке:

а). Для решения задачи нужно рассмотреть равновесие твердого тела, к кото-

рому приложены заданные и искомые силы (или силы равные искомым).

б). На чертеже изображаем все силы, приложенные к данному телу, включая

в). Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия.

г) Решая данную систему уравнений равновесия, определяем искомые величины.

Пример. Однородная балка АС длиной L = 3 м и весом P= 40 кН поднимается вверх с помощью крана. Определить минимальную длину троса АВС, при котором возможен подъем балки, если трос выдерживает натяжение T = 30 кН.

Решение. Рассмотрим равновесие балки, поскольку именно к ней приложены заданная сила (вес балки) и силы натяжения троса. Пусть оси системы координат направлены как обычно: ось x вправо, ось y — вверх. Тогда уравнения равновесия запишутся в виде:

Подставляя во второе уравнение численные значения веса Р и максимальное значение силы натяжения Т, определяем значение sin, а затем и минимальную длину троса:

Источник