Лекция 3. Методы решения задач повышенной трудности в начальной школе
Учебные вопросы:
1. Общий план работы (этапы) над задачей повышенной трудности.
2. Методы решения задач повышенной трудности.
Цель лекции: рассмотреть методику обучения решению задач повышенной трудности в начальной школе.
Задачи лекции:
1) Дать представление об этапах решения задачи повышенной трудности в начальной школе;
2) Познакомить с методами, применяемыми при решении задач повышенной трудности в начальной школе;
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| LEKCIYa_3_0.doc | 64.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Лекция 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
- Общий план работы (этапы) над задачей повышенной трудности.
- Методы решения задач повышенной трудности.
Цель лекции: рассмотреть методику обучения решению задач повышенной трудности в начальной школе.
1) Дать представление об этапах решения задачи повышенной трудности в начальной школе;
2) Познакомить с методами, применяемыми при решении задач повышенной трудности в начальной школе;
Список литературы по теме:
1. Лавлинскова Е.Ю. Методика работы с задачами повышенной трудности в начальной школе. – Волгоград, 2006.
2. Лехов В.П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов.// Начальная школа. – 1988. — № 5. – С. 28 – 30.
3. Хомякова Л.В. Индуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов.// Начальная школа. – 1988. — № 5. – С. 31 – 36.
- Общий план работы (этапы) над задачей повышенной трудности.
Общий план работы над любой задачей повышенной трудности может выглядеть следующим образом:
- Самостоятельное обдумывание и поиск путей решения задачи каждым учеником;
- Коллективное обсуждение полученных результатов;
- Обсуждение и исправление допущенных ошибок;
- Поиск других способов решения (если это возможно).
Эта схема может значительно варьироваться в зависимости от результатов, достигнутых на первом этапе решения задачи. Так, если дети затруднились в анализе задачи и не нашли путей решения, лучше предложить им для самостоятельного обдумывания упрощенный вариант задачи, и дальше работать с ней, а первоначальную задачу отложить на некоторое время. Вернуться к первой задаче можно будет когда дети поднимутся в своем развитии на более высокую ступень.
Если решение получено незначительным числом учеников, то с их помощью проводится коллективный анализ задачи, после чего ученики самостоятельно выполняют решение, а уже решившие ищут другие способы решения той же задачи или выполняют другое задание.
Таким образом, наиболее эффективным видом работы с задачами повышенной трудности является самостоятельное решение задачи учащимися. Сначала решение задачи связано с применением указанных учителем средств, методов и способов решения, а затем – с самостоятельным выбором средств, методов, способов и форм решения.
- Методы решения задач повышенной трудности.
Метод, в данном контексте, рассматривается как способ решения задач.
В решении задач повышенной трудности можно выделить три основным метода:
Аналитический метод решения задач повышенной трудности
Аналитический метод решения задачи представляет собой стройную логическую цепь заключений, органически связанных между собой. Аналитический метод характеризуется тем, что рассуждения начинаются с вопроса задачи.
Таким образом, в основе данного метода решения задачи лежит умении строить дедуктивные рассуждения (от общего к частному). В дедуктивных рассуждениях нельзя получить ложное заключение из истинных посылок. Именно поэтому дедуктивные рассуждения используются в математических доказательствах.
Примеры задач повышенной трудности, решаемые аналитическим способом.
В кружках этого треугольника расставьте все девять значений цифр так, чтобы суммы их на каждой стороне составляла 20.
- Какие два числа, если разделить большее из них на меньшее, дают столько же, сколько получится при их перемножении.
- Число 30 легко выразить тремя пятерками: 5х5+5. Трудно это сделать тремя другими одинаковыми цифрами. Попробуй. Может быть, тебе удастся отыскать несколько решений.
Дедуктивные рассуждения используются, как правило, при решении задач на активный подбор вариантов отношений.
Анализ задачи состоит в том, что мы предполагаем её уже решенной и находим различные следствия этого решения, а затем, в зависимости от вида этих предположений, пытаемся найти путь отыскания решения поставленной задачи.
Синтетический метод решения задач повышенной трудности
Сущность синтетического метода поиска решения задачи состоит в установлении связей между данными условия задачи и получение, таким образом, новых данных. Затем устанавливаются связи между полученными данными и так до тех пор, пока не будет получено требуемое.
В основе синтетического метода решения задачи лежит умение строить индуктивные рассуждения. Выводы, полученные индуктивным путем, связаны с наблюдением, анализом. Сравнением и выявлением общих закономерностей с их последующим обобщением.
В начальной школе возможно использование двух видов индукции: полной (когда частные посылки исчерпывают все возможные случаи) и неполной. Неполная индукция является мощным эвристическим средством.
Индуктивные рассуждения, как правило, используются в решении задач на комбинаторные действия.
Аналитико-синтетический метод решения задач повышенной трудности
Большинство задач решается не аналитическим или синтетическим способом в чистом виде, а сочетанием этих способов.
Аналитико-синтетический способ используется в частности при решении задач на установление соответствий между элементами различных множеств. Под множеством здесь понимается коллекция, собрание объектов, объединенных по некоторому признаку. Предметы, входящие во множество, называются его элементами.
Решению таких задач помогает использование таблиц и графиков. Если в рассматриваемой задаче каждому элементу первого множества должен соответствовать единственный элемент второго множества, а двум различным элементам первого множества соответствуют два различных элемента второго множества, то такое соответствие называется взаимнооднозначным.
Пример задачи, решаемой аналитико-синтетическим методом.
Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой – брюнет, третий рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей?
Решение. Для решения задачи мы воспользуемся таблицей, отмечая по горизонтали фамилии, а по вертикали – цвет волос. Заполняя таблицу, мы в каждой строке (столбце) должны получить только одну клетку со знаком «+». Таблица принимает вид:
Источник
Аналитический способ решения задач начальная школа
Необходимое условие решения сложной задачи – умение решать простые задачи, к которым сводится любая составная задача. При наличии такого умения вся проблема состоит в том, чтобы найти ту совокупность простых задач, решение которых приведет к выполнению требования основной задачи. Здесь возможны два основных пути поиска решения: синтетический и аналитический (по Н.В. Метельскому).
Часто при решении составной задачи многие ученики берут любое данное из условия задачи и к нему присоединяют какое-либо из остальных данных. Если эти данные образуют простую задачу, то ее решают, если простой задачи не получилось, образуют другую пару данных и в результате решения первой простой задачи получают первое вспомогательное данное. Используя вспомогательное данное и какое-либо из остальных данных основной задачи, решают вторую простую задачу и получают второе вспомогательное данное и т. д., до тех пор, пока не получат такой простой задачи, результат которой является искомым основной задачи.
Это и есть синтетический метод решения задач. Если основную задачу условно записать: АÞX, а первую и последнюю из конечной совокупности простых задач, из которых состоит решение основной задачи, обозначить соответственно через а1 и аn, то процесс решения задачи синтетическим методом можно записать в виде:
Синтетический метод широко применяется при решении задач арифметическим способом.
Основной недостаток синтетического метода – отсутствие какого бы то ни было критерия в вопросе, с чего, с каких данных начинать решение и какие вспомогательные величины определять, какие простые задачи решать в дальнейшем, чтобы решить основную задачу. Этот метод мало пригоден для отыскания новых решений и слабо способствует научению школьников самостоятельно решать задачи, логически рассуждать, продуктивно мыслить. Пользуясь синтетическим методом, учащиеся нередко выполняют лишнюю работу, а иногда слабый ученик может предложить бессмысленное действие. Единственное, на что в некоторой степени можно опереться, применяя синтетический метод – это прошлый опыт ученика в решении задач, аналогии, ассоциации, которые может вызвать решаемая задача. Некоторую помощь учащимся оказывает здесь и анализ, проявляющийся в скрытой, неявной форме.
Достоинством синтетического метода является компактность, достигаемая при изложении готовых решений, полученных в процессе синтетического или аналитического поиска.
Несмотря на низкую поисковую и дидактическую эффективность синтетического метода, он пользуется популярностью у школьников и даже учителей, поскольку весьма прост и не требует большого мыслительного напряжения.
При аналитическом методе решения отправляются не от условия задачи, как это делают при синтетическом методе, а от ее требования, вопроса. Это характерно для всех разновидностей аналитического метода, применяемых при решении задач.
Решение задач аналитическим методом начинается с постановки следующего вопроса, связанного с требованием решаемой задачи: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос данной задачи (выполнить ее требование)?» Для правильного ответа на поставленный вопрос необходимо знать данные задачи и учитывать те зависимости, которые связывают их с искомым числом.
Пусть для вычисления искомого Х основной задачи требуется знать, например, числа pi и qi, из которых при помощи некоторого математического действия можно получить X, т. е. решить основную задачу. Таким образом, сначала основная задача с требованием Х преобразовалась в первую серию вспомогательных задач с искомыми pi и qi, Обозначим первую серию вспомогательных задач через В1. Ставим тот же вопрос к каждой из вспомогательных задач: «Что нужно знать, чтобы найти p1 (q1), и опять при ответе на этот вопрос используем условие (А) основной задачи, а также взаимосвязи между этими данными.
Пусть для вычисления p1 требуется знать p2 и q2, а для вычисления q1, — знать p2’ и q2’. Теперь основная задача преобразовалась во вторую серию (B2) вспомогательных задач, включающую задачи по нахождению p2 и q2, p2’ и q2’,
Продолжая процесс преобразования, получаем, наконец, такую серию (Вn) вспомогательных задач, искомые которых содержатся во множестве данных основной задачи. Искомое число любой из вспомогательных задач предыдущих серий также могло оказаться известным, и тогда эта вспомогательная задача не подвергается преобразованию с помощью аналитического метода.
Таким образом, основная задача решена аналитическим методом, поскольку этим методом проведен поиск и найден путь решения задачи, главное здесь именно в этом, а не в оформлении записи уже известного решения.
Найденное аналитическое решение можно изложить различными способами, в том числе и синтетическим. В последнем случае пришлось бы следовать от конца аналитического рассуждения к его началу, не производя при этом никаких поисков.
Если основную задачу условно записать формулой АÞX, описанный выше аналитический путь преобразования задачи изобразится схемой: а первую и последнюю из конечной совокупности простых задач, из Х –В1 –В2 – … – Вn-1 – Bn, где АÞ Bn, BnÞВn-1, …, В1ÞX
Если после внимательного ознакомления ученика с условием и требованием задачи путь решения ему очевиден или почти очевиден, поиск решения лучше осуществлять синтетическим методом. Аналитический метод применяется тогда, когда задача достаточно сложная и прошлый опыт ученика не подсказывает ему плана решения или примерного направления поиска.
В практике решения задач методы анализа и синтеза полностью разделить, изолировать друг от друга невозможно. Они полезно сочетаются. При аналитическом методе имеют место скрытые элементы синтеза. Например, преобразуя требование основной задачи в требования первой серии вспомогательных задач, мы неявно проверяем правильность этого преобразования, возможность синтезирования из искомых чисел задач первой серии искомого основной задачи.
Хотя путь поиска на основе аналитического метода решения не всегда однозначен, однако он все же менее многозначен и более определенен, чем путь поиска при синтетическом методе решения. Аналитический метод удобен для поиска пути решения новой для учащихся задачи, он опирается на определенное умение школьника рассуждать и эффективно способствует развитию его продуктивного, логического и функционального мышления. В результате систематического применения аналитического метода решения у учащихся быстрее формируется умение самостоятельно решать новые для него задачи, чем при пользовании синтетическим методом. Аналитический метод решения задач на вычисление должен найти достаточно широкое применение и рациональное сочетание с другими методами.
Источник
Доклад на тему: «СИСТЕМА РАБОТЫ НАД ТЕКСТОВОЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕЙ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ. Виды анализа задачи».
Система работы над задачей- значима для учащихся начальных классов.Как правильно анализировать данные задачи и вести разбор? Какие пути решения должны четко представлять учащиеся., алгоритм рассуждения при решении задачи и помощь в построении данного алгоритма.
Содержимое разработки
«СИСТЕМА РАБОТЫ НАД ТЕКСТОВОЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕЙ
В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ. Виды анализа задачи».
«Ребёнок не должен получать готовых знаний, должен напрягать свой ум и волю, должен чувствовать себя соавтором в решении возникающих проблем». (В. В. Давыдов)
1 Теоретические аспекты опыта
Обучение детей самостоятельному анализу решения простых и составных задач волнует каждого учителя. Ключ к решению задачи — это прежде всего пошаговый анализ действий, которые необходимо выполнить для того, чтобы ответить на главный вопрос задачи.
Во время анализа устанавливается зависимость между данными и искомыми значениями величин.
Основные традиционные приёмы анализа задачи – это разбор от вопроса к числовым данным (анализ) и от числовых данных к вопросу ( синтез). Анализ – логический прием, состоящий в расчленении исследуемого объекта на составные элементы и исследовании каждого из них в отдельности. Он может использоваться многократно. Разбор задачи от вопроса к данным — это суждение, которое состоит в том, чтобы подобрать два числовых значения одной или разных величин таким образом, чтобы дать ответ на вопрос задачи. Одно из значений или оба могут быть неизвестными. Для их нахождения подбираются два других, и так продолжается процесс подбора, пока не приходим к известным числовым значениям величин. В результате такого разбора учащиеся устанавливают зависимость между числовыми значениями величин, расчленяют ее на простые задачи и составляют план ее решения
При аналитическом способе решения задачи выясняется, что нужно предварительно узнать, чтобы ответить на вопрос задачи. Чтобы помочь детям вести рассуждения аналитическим способом, можно использовать прием, называемый “деревом рассуждений”. Суть его состоит в том, что по ходу рассуждений строится схема, которая помогает увидеть, какие простые задачи следует выделить и каким будет план решения данной составной задачи.
Синтез – логическая операция установления связи между составными частями исследуемого объекта и изучения его как единого целого. Исследуемый объект называется в требовании задачи, а его элементы описываются в условии. Разбор задачи от числовых данных состоит в том, что к двум числовым данным подбирается вопрос, затем к следующим двум данным, одно из которых может быть результатом первого действия, подбирается следующий вопрос. И этот процесс продолжается, пока не будет получен ответ на вопрос задачи
Синтетический способ характеризуется тем, что основным вопросом при поиске решения задачи является вопрос о том, что можно найти по двум или нескольким известным в тексте задачи числовым значениям. По вновь полученным числовым значениям и другим известным в задаче данным вновь ищется ответ на вопрос, что можно узнать по этим значениям. И так до ответа на вопрос составной задачи. Иными словами, суть этого способа состоит в вычленении простой задачи из предложенной составной и решении ее.
Аналитико-синтетический метод. Значительно чаще, используется на практике, чем аналитический и синтетический методы. Он сочетает элементы и анализа и синтеза. Так при решении сложной задачи она с помощью синтеза разбивается на ряд более простых задач, а затем при помощи синтеза происходит соединение решений этих задач в единое целое. Обучение учащихся начальных классов рассмотренным методам поиска решения задач сводится к обучению их правильному формулированию вопросов, соответствующих аналитическому или синтетическому методу. При разборе задачи нового вида учитель должен в каждом отдельном случае поставить детям вопросы так, чтобы навести их на правильный или осознанный выбор арифметических действий.
2. Обратимся к практике.
Анализ задачи аналитическим способом. Будем идти от вопроса к данным.
ЗАДАЧА.
Лида нарисовала 4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нарисовали дети ?
Составляем дерево рассуждения с пояснением:
Чтобы ответить на вопрос задачи необходимо знать 2 величины: сколько домиков нарисовала Лида и сколько нарисовал Вова. Сколько нарисовала Лида нам известно-4, а сколько нарисовал Вова неизвестно, но сказано что на 3 домика больше, вспомню на 3 больше значит столько же и еще з, поэтому к 4 прибавлю 3 , теперь зная величину сколько прочитал Вова и сколько прочитала Лида я отвечу на вопрос задачи.
АНАЛИЗ ЗАДАЧИ СИНТЕТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ .
Начинаем от числовых данных.
В двух пачках 160 тетрадей, причем в одной из них на 20 тетрадей больше, чем в другой.
Сколько тетрадей в каждой пачке?
I ?
II ? 20т.
Составляем дерево рассуждения, сопровождая пояснением:
В задаче нам известны 2 величины : 160-сколько тетрадей в двух пачках и 20 на столько во второй больше, зная эти величины, найду третью: сколько тетрадей в двух пачках, если количество их равное, для этого 160 – 20, теперь мне известна величина сколько тетрадей в пачках при их равном количестве и величина 2 – сколько пачек тетрадей , разделим эти величины и узнаем сколько тетрадей в одной пачке при равном количестве тетрадей. Мы ответили лишь на один вопрос задачи : сколько тетрадей в одной пачке, чтобы узнать количество тетрадей во второй пачке прибавим 20 т.к. сказано,что во второй пачке на 20 тетрадей больше.
Таким образом, рассуждение можно строить двумя способами:
от вопроса задачи к числовым данным;
от числовых данных идти к вопросу;
Нужно помнить, что введение понятия «СОСТАВНАЯ ЗАДАЧА» вводится тогда, когда научились решать все виды простых задач.
Разбор составной задачи заканчивается составлением дерева рассуждения –
это объяснение того, что узнаем, выполнив то или иное действие, и указание по порядку арифметических действий.
Нужно обратить внимание и на то, что полный анализ задачи, решаемой в 4-5 действий , является многословным, забирает много времени. Здесь целесообразно использовать схему неполного анализа , при котором в условие задачи записываются не только числа, но и выражения, это
во-первых укорачивает условие задачи, а во-вторых,делает более прозрачный путь к её решению.
Птицефабрика должна отправить в магазины 6000 яиц. Она уже отправила 10 ящиков по 350 яиц и 4 ящика по 150 яиц. Сколько яиц осталось отправить в магазины?
Отправили – (350 х10) яиц
(150 х 4) яиц 6000 яиц
При этом рассуждаем: если было 10 ящиков по 350 яиц в каждом, то яиц было 350 × 10. Отправила также 4 ящика по 150 яиц, это составляет (150×4) яиц.
Выполняя анализ от вопроса, учащиеся рассуждают примерно так:
«Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать две величины : сколько всего яиц надо отправить (6 000 яиц) и сколько яиц птицефабрика уже отправила. Чтобы узнать, сколько яиц фабрика отправила, надо знать, сколько она отправила в первый и во второй раз. В первом вопросе узнаем, сколько птицефабрика отправила яиц в 10 ящиках, во втором – сколько она отправила яиц в 4 ящиках, в третьем – сколько она отправила всего яиц и в четвертом – сколько яиц осталось отправить».
Схемы полного (рис.1) и неполного (рис.2) анализа наглядно показывают преимущество и недостатки каждого из них.
После анализа учащиеся самостоятельно записывают решение в форме математического выражения или по отдельным действиям. Для учащихся, которые затрудняются , ведется более подробный анализ.
Такая работа, которая проводится в системе, способствует развитию учебной мотивации, большинству детей помогает видеть взаимосвязь между величинами, овладевать разными способами решения задач, т.е. способствует формированию математической компетентности.
Исследовательская деятельность помогает разнообразить деятельность детей на уроке, поддерживает интерес к математике и, главное, помогает им овладеть умением решать задачи. Конечно, подобный вид работы, требует больших затрат времени. Однако время, потраченное на них, окупается умением решать задачи не только на уровне государственных стандартов, но и нестандартные задачи. А самое главное у детей появляется желание решать задачи.
Вспомним старую притчу о том, как один мудрец бедняков накормил.
— Пришёл мудрец к бедным и сказал: «Я вижу, вы голодны. Давайте я дам вам рыбу, чтобы вы утолили голод». Но время прошло, и люди опять проголодались.
Притча гласит: «Не надо давать рыбу, следует научить ловить её»
Не надо давать готовый путь к решению, надо побуждать учащихся к действию, учить их анализировать, рассуждать и находить путь решения самостоятельно.
Аргинская И.И., Дмитриева Н.Я.Обучаем по системе Л.В. Занкова: 2кл.: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1993. – 160с.
Занков Л.В. Беседы с учителями. (Вопросы обучения в начальных классах.) М., Просвещение, 1970. — 200с.
Иванов Д.А., Митрофанов К. Г., Соколова О.В. Компетентностный подход в образовании. Проблемы, понятия, инструментарий. М.: изд-во Академии повышения квалификации и проф. переподготовки работников образования.- 2006г.
Лысенкова. С. Н.. Когда легко учиться: из опыта работы учителя начальных классов школы №587 Москвы.- 2-е изд.М.: Педагогика, 1985 – 176с.(пед. поиск: опыт, проблемы, находки)
Мамыкина М. Ю. Работа над задачей в системе Л. В. Занкова. Начальная школа
Матвеева Н.А.. Различные арифметические способы решения задач. Начальная школа №3.2001г.
Математика. 1-4 классы: обучение решению текстовых задач/ авт.-сост. И.Л. Кустова. – Волгоград: Учитель, 2009. – 103с.
Новиков А.Учебный процесс в логике исторических типов организационной культуры. Народное образование №1, 2008г.с.163
Петерсон Л.Г., Кубышева М.А., Мазурина С.Е., Зайцева И.В. Что значит «уметь учиться». – М.: АПК и ППРО, УМЦ «Школа 2000…», 2008. – 80с.
Узорова, Нефёдова. 500 задач с пояснением, пошаговым решением и правильным оформлением. 1класс. АСТ.: Астрель. Москва.2004г.
Фадеева. Схемы записи задач. Начальная школа №4.2003г.
Фонин С.Н.. Моделирование, как важное средство обучения решению задач. Начальная школа. №3.1990г.
Шульга Р.П. Решение задач разными способами – средство повышения интереса к математике. Начальная школа №12. 1990г.
Ф.Семья. Совершенствование работы над составными задачами. Начальная школа №5.1991г.
Источник
