Формы представления синусоидальных электрических величин.
Любая, синусоидально изменяющаяся, электрическая величина (ток, напряжение, ЭДС) может быть представлена в аналитическом, графическом и комплексном видах.
1). Аналитическая форма представления
I = Im·sin(ω·t + ψi), u = Um·sin(ω·t + ψu), e = Em·sin(ω·t + ψe),
где I, u, e – мгновенное значение синусоидального тока, напряжения, ЭДС, т. е. Значения в рассматриваемый момент времени;
Im, Um, Em – амплитуды синусоидального тока, напряжения, ЭДС;
(ω·t + ψ) – фазовый угол, фаза; ω = 2·π/Т – угловая частота, характеризующая скорость изменения фазы;
ψi, ψu, ψe – начальные фазы тока, напряжения, ЭДС отсчитываются от точки перехода синусоидальной функции через нуль к положительному значению до начала отсчета времени (t = 0). Начальная фаза может иметь как положительное так и отрицательное значение.
Графики мгновенных значений тока и напряжения показаны на рис. 2.3
Начальная фаза напряжения сдвинута влево от начала отсчёта и является положительной ψu > 0, начальная фаза тока сдвинута вправо от начала отсчёта и является отрицательной ψi
в). Тригонометрической
U = U·(cosψu + jsinψu)
I = I·(cosψi – jsinψi).
При решении задач в основном применяют алгебраическую форму (для операций сложения и вычитания) и показательную форму (для операций умножения и деления). Связь между ними устанавливается формулой Эйлера
е j ·ψ = cosψ + jsinψ.
Неразветвлённые электрические цепи
Источник
Шпаргалки к экзаменам и зачётам
студентам и школьникам
Шпаргалки по электротехнике и электронике — Способы представления синусоидального тока
Способы представления синусоидального тока
В современной технике широко используют разнообразные по форме переменные токи и напряжения: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. Значение тока, напряжения, ЭДС в любой момент времени t называется мгновенным значением и обозначается малыми строчными буквами, соответственно: i = i(t); u = u(t); e = e(t).
Токи, напряжения и ЭДС, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения происходят, называют периодом Т.
Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, то ток называют синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды, то ток несинусоидальный.
В промышленных масштабах электрическая энергия производится, передается и расходуется потребителями в виде синусоидальных токов, напряжений и ЭДС,
При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин.
1. Аналитический способ
Для тока: i ( t ) = Im sin (ω t + ψ i ), для напряжения: u(t) = Um sin (ωt +ψu), для ЭДС: e(t) = Em sin (ωt +ψe),
Im, Um, Em – амплитуды тока, напряжения, ЭДС;
значение в скобках – фаза (полная фаза);
ψi, ψu, ψe – начальная фаза тока, напряжения, ЭДС;
ω – циклическая частота, ω = 2πf;
f – частота, f = 1 / T; Т – период.
Величины i, Im – измеряются в амперах, величины U, Um, e, Em – в вольтах; величина Т (период) измеряется в секундах (с); частота f – в герцах (Гц), циклическая частота ω имеет размерность рад/с. Значения начальных фаз ψi, ψu, ψe могут измеряться в радианах или градусах. Величина ψi, ψu, ψe зависит от начала отсчета времени t = 0. Положительное значение откладывается влево, отрицательное – вправо.
Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени i(t) = Im sin(ωt — ψi).
Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.
Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.
Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.
Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.
В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.
i1(t) = Im1 sin( ω t)→ i2(t) = Im2 sin( ω t + ψ 2) →i(t) = ?
Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:
i(t) = i1(t) + i2(t) = Im1 sin( ω t) + Im2 sin( ω t — ψ 2) = Im sin( ω t + ψ ).
Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси
Im sin ψ = Im2 sin ψ 2; Im cos ψ = Im2 cos ψ2 + Im1;
Из равенств получаем 
4.Аналитический метод с использованием комплексных чисел
Синусоидальный ток i(t) = Im sin(ωt + ψ) можно представить комплексным числом Ím на комплексной плоскости Ím = Im ejψ ,
где амплитуда тока Im – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.
Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока.
Источник
Формы представления синусоидальных электрических величин
Любая, синусоидально изменяющаяся, электрическая величина (ток, напряжение, ЭДС) может быть представлена в аналитическом, графическом и комплексном видах.
Аналитическая форма представления
I = Im·sin(ω·t + ψi), u = Um·sin(ω·t + ψu), e = Em·sin(ω·t + ψe),
где I, u, e – мгновенное значение синусоидального тока, напряжения, ЭДС, т. е. Значения в рассматриваемый момент времени;
Im, Um, Em – амплитуды синусоидального тока, напряжения, ЭДС;
(ω·t + ψ) – фазовый угол, фаза; ω = 2·π/Т – угловая частота, характеризующая скорость изменения фазы;
ψi, ψu, ψe – начальные фазы тока, напряжения, ЭДС отсчитываются от точки перехода синусоидальной функции через нуль к положительному значению до начала отсчета времени (t = 0). Начальная фаза может иметь как положительное так и отрицательное значение.
Графики мгновенных значений тока и напряжения показаны на рис. 3.1.
Начальная фаза напряжения сдвинута влево от начала отсчёта и является положительной ψu > 0, начальная фаза тока сдвинута вправо от начала отсчёта и является отрицательной ψi
φ = ψu – ψi = ψu – ( — ψi) = ψu + ψi.
На практике приходится иметь дело не с мгновенными значениями синусоидальных величин, а с действующими. Все расчёты проводят для действующих значений, в паспортных данных различных электротехнических устройств указаны действующие значения (тока, напряжения), большинство электроизмерительных приборов показывают действующие значения.
Рис 3.1 – График мгновенных значений
Действующий ток является эквивалентом постоянного тока, который за одно и то же время выделяет в резисторе такое же количество тепла, как и переменный ток. Действующее значение связано с амплитудным простым соотношением
Векторная форма представления синусоидальной электрической величины – это вращающийся в декартовой системе координат вектор с началом в точке 0, длина которого равна амплитуде синусоидальной величины, угол относительно оси х – её начальной фазе, а частота вращения – ω = 2πf. Проекция данного вектора на ось у в любой момент времени определяет мгновенное значение рассматриваемой величины.
Совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции, называют векторной диаграммой, рис. 3.2
Рис. 3.2 – Представление синусоидального напряжения и тока векторной диаграммой в момент времени t=0
В дальнейшем обозначение осей координат можно опускать. Векторная диаграмма строится также для действующих значений синусоидальных величин.
Комплексное представление синусоидальных электрических величин сочетает наглядность векторных диаграмм с проведением точных аналитических расчётов цепей.
Ток и напряжение изобразим в виде векторов на комплексной плоскости, рис. 3.3. Ось абсцисс называют осью действительных чисел и обозначают +1, ось ординат называют осью мнимых чисел и обозначают +j. (В некоторых учебниках ось действительных чисел обозначают Re, а ось мнимых – Im). Рассмотрим векторы U и I в момент времени t = 0. Каждому из этих векторов соответствует комплексное число, которое может быть представлено в трех формах:
Источник
Вопрос №3. Способы представления синусоидальных величин (10 мин.)
Синусоидальные величины могут быть представлены различными способами.
Примеры способов представления синусоидальных величин.
1. Тригонометрические функции (алгебраический)
, 
.
2. Временные диаграммы или графики изменения функции во времени (графический)
Характер изменения синусоидальных ЭДС, тока и напряжения с течением времени полностью определен формулами:
; 
; 
.
Недостаток формул – отсутствие наглядности. Для того, чтобы наглядно представить характер изменения исследуемой величины, принято изображать рассматриваемые зависимости графически в прямоугольной системе координат (рис. 11).
3. Вращающиеся вектора позволяют упростить действия над синусоидальными величинами по сравнению с двумя предыдущими методами (рис. 12).
Векторная диаграмма – совокупность нескольких векторов, соответствующих нулевому моменту времени. Необходимо иметь в виду, что на векторной диаграмме векторы изображают токи (напряжения) одинаковой частоты.
Вектор изображает синусоиду, если выполнены следующие условия:
· модуль вектора равен амплитудному значению синусоидальной величины (в масштабе);
· вектор наклонен к горизонтальной оси под углом, равным начальной фазе y;
· вектор вращается против часовой стрелки с угловой скоростью, равной угловой частоте тока;
· берутся проекции вектора на оси (рис. 13).
На рис. 14 показан вектор, изображающий синусоиду при начальной фазе, равной нулю (рис. 14).
На рис. 15 изображен вектор, изображающий синусоиду при начальной фазе y=π/4.
Ответьте на ряд вопросов.
Укажите выражение для тока, изображенного этими векторами.
 Im=2 А |  |
 | |
 | |
 |  |
 | |
 |
В практике расчета электрических цепей переменного тока начальная фаза часто не имеет существенного значения, но важен сдвиг по фазе между синусоидальными величинами. Этот сдвиг легко определить по векторной диаграмме. например, если в ветви протекает ток 
, а на зажимах ветви приложено напряжение 
, то разность фаз напряжения и тока, или сдвиг по фазе, определяется выражением 
(рис. 16).
На рис. 17 изображены векторные диаграммы, также иллюстрирующие сдвиг фаз:
а – сдвиг фаз между током и напряжением φ=0;
б — сдвиг фаз между Е1 и Е2 φ=90°
Вектора можно складывать и вычитать. При сложении векторов используют правило параллелограмма или переноса.
Вектора можно вычитать (рис. 20).
4. Комплексными числами. Вращающиеся векторы и изображаемые ими синусоидальные величины можно представить комплексными числами. Т.к. расположение векторов относительно друг друга на векторной диаграмме с течением времени не изменяется их можно изобразить в начальный момент времени на комплексной плоскости, т.е. представить комплексами (рис. 21):
в тригонометрической форме: 
;
в показательной форме: 
;
в алгебраической форме (см. рис. 11): 
,
где А – модуль комплекса 
;
Yа=arctg
– аргумент комплекса 
и 
— соответственно вещественная и мнимая части
комплекса
;
— поворотный множитель вектора .
Вывод по третьему вопросу:синусоидальные токи и напряжения как функции времени могут быть описаны различными способами: алгебраически, векторными диаграммами и комплексами.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
