Аналитический способ это геодезия

Графический и аналитический способы определения площади

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра геоинформатики и геодезии

По курсу «Геодезия»

По лабораторной работе №8

Тема: «Графический и аналитический способы определения площади»

Графический способ определения площади

Графический способ служит для определения по плану или карет площадей небольших участков (до 10-15 ) и применяется в двух вариантах: 1) с разбивкой измеряемого участка на геометрические фигуры; 2) с помощью палеток.

В первом варианте площадь участка разбивают на простейшие геометрические фигуры: треугольники, прямоугольники, трапеции, измеряют соответствующие элементы этих фигур (длины оснований и высоты) и по геометрическим формулам вычисляют площади этих фигур. Площадь всего участка определяется как сумма площадей отдельных фигур. Разбивку участка на фигуры следует выполнять таким образом, чтобы фигуры были возможно больших размеров, а их стороны по возможности ближе совпадали с контуром участка.

Для контроля площадь участка разбивают на другие геометрические фигуры и повторно определяют площадь. Относительное расхождение в результатах двукратных определений общей площади участка не должно превышать 1: 200.

Для малых участков (2-3 ) с резко выраженными криволинейными границами определения площади целесообразно производить с помощью квадратной палетки. Палетку можно изготовить на кальке, расчертив ее сеткой квадратов со сторонами 5 мм. Зная длину сторон и масштаб плана, можно вычислять площадь квадрата палетки.

Для определения площади участка палетку произвольно накладывают на план и подсчитывают число полных квадратов , расположенных внутри контура участка. Затем оценивают на глаз (в десятых долях) каждый неполный квадрат и находят суммарное число для всех неполных квадратов на границах контура. Тогда общая площадь измеряемого участка

S =(+)

Для контроля палетку разворачивают примерно на 45° и производят повторное определение площади. Относительная погрешность определения площади квадратной палеткой составляет 1: 50 – 1: 100.

Аналитический способ определения площади.

Если по контуру площади измеряемого участка набрать достаточно точек, чтобы с требуемой точностью аппроксимировать данный участок многоугольником, образованным этими точками точками, и затем измерить на карте координаты x и y всех точек, то площадь участка можно определить аналитическим способом.

Для многоугольника с числом вершин n при их оцифровке по ходу часовой стрелки площадь будет определяться по формулам:

Для контроля вычисления производят по обеим формулам. Точность аналитического способа зависит от густоты набора точек по контуру измеряемого участка. При значительном числе точек целесообразно вычисления проводить с использованием ЭВМ или программируемых микрокалькуляторов.

Графический способ определения площади

Вычислим площадь одного квадрата на палетке:

=50м*50м = 2500

= 96

= 23

S 1= 2500 ( 96 +2 3 ) = 2975 00 = 29 , 7 5 га

Разворачиваем палетку на 45° и подсчитываем и

= 94

= 22

S 2= 2500 (111+23) = 290 000 = 29 га

Находим среднее значение S = ( S 1+ S 2)/2

S =( 29 , 75 га +29 га) /2 = 29,38 га

Далее разбиваем фигуры на известные геометрические фигуры. В данном случае – треугольники.

Рассчитаем площади для треугольников 1-4:

S=

S1= = 79365,48

S2= = 180876,09

S3= = 24449,95

S4= = 7441,23

Находим = S1+ S2+ S3+ S4=

= 79365,48 +180876,09 +24449,95 +7441,23 =292132.75

Источник

Основы геодезии

О геодезии и разный полезный материал для геодезистов.

Аналитический способ

При наличии прямоугольных координат X и Y вершин n -угольника его площадь можно вычислить по формулам аналитической геометрии; выведем одну из таких формул.

Пусть в треугольнике ABC координаты вершин равны X1 , Y1 (A), X2, Y2 (B) и X3, Y3 (C) – рис.6.2.

Из вершин треугольника опустим перпендикуляры на оси координат и обозначим их длину, как показано на рис.6.2.

Площадь треугольника P будет равна сумме площадей двух трапеций I(aABc) и II(bBCc) за вычетом площади трапеции III(aACc)

Выразим площадь каждой трапеции через ее основания и высоту:

Чтобы избавиться от множителя 0.5, будем вычислять удвоенную площадь треугольника. Выполним умножение, приведем подобные члены, вынесем общие множители за скобки и получим:

или в общем виде:

В этой формуле индекс “i” показывает номер вершины треугольника; индекс “i” означает, что нужно брать следующую или предыдущую вершину (при обходе фигуры по часовой стрелке).

Если при группировке членов выносить за скобки Y1, то получится формула:

Вычисления по обоим формулам дают одинаковый результат, поэтому на практике можно пользоваться любой из них.

Хотя формулы (6.11) и (6.12) выведены для треугольника, нетрудно показать, что они пригодны для вычисления площади любого n – угольника.

Оценка точности площади. В большинстве случаев участки на местности имеют форму неправильного n – угольника, причем количество вершин многоугольника n может быть от 30 до 20 и более. Площадь таких участков вычисляют аналитическим способом по прямоугольным координатам вершин, которые, в свою очередь, определяют в результате обработки геодезических измерений. При этом для каждой вершины многоугольника получают координаты и ошибку ее положения относительно исходных пунктов, задающих систему координат на местности.

Выведем формулу для оценки площади многоугольника по известным внутренним углам, длинам его сторон и ошибкам положения mti его вершин.

На рис.6.3 изображен фрагмент многоугольника с вершинами i-1, i, i+1, i+2 и сторонами li-1,li,li+1.

Проведем на вершинах i и i+1 окружности радиусами mti и mt(i+1) и построим биссектрисы углов βi и βi+1. Затем восстановим перпендикуляры к стороне li и найдем проекции отрезков mti и mt(i+1) на эти перпендикуляры:

Построим трапецию, основаниями которой являются отрезки mi и mi+1, а высотой – сторона li и найдем площадь этой трапеции ΔPi. Как известно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, а поскольку основаниями трапеции являются проекции ср.кв. ошибок, то вместо полусуммы нужно взять квадратичную полусумму оснований; таким образом,

Площадь трапеции, построенной на одной стороне многоугольника, является частью ошибки площади всего многоугольника; выполнив квадратичное суммирование площадей ΔPi по всем сторонам, получим:

Из формулы (6.16) можно получить формулу средней квадратической ошибки площади правильного многоугольника с одинаковой ошибкой положения mt всех его вершин:

mP=an * mt * L, (6.17)

где: L – периметр многоугольника,
an – коэффициент, зависящий от n – количества вершин;

его значения:

n 3 4 5 6 7 8 9 10
an 0.204 0.250 0.256 0.250 0.243 0.231 0.222 0.212
n 11 12 15 20 24 30 60 120
an 0.205 0.197 0.179 0.156 0.143 0.128 0.091 0.065

Формула (6.17) является базовой и при оценке площади неправильных n-угольников, для которых ошибка площади mp оказывается лишь на несколько процентов больше, чем для правильного n – угольника. Так, если площадь неправильного n – угольника при том же периметре в два раза меньше площади правильного n-угольника, то ошибка его площади увеличивается лишь на 20 %.

При неодинаковых ошибках положения вершин многоугольника в формуле (6.17) достаточно вместо mt поставить mt(ср).

Примером применения формулы (6.17) является оценка площади участков, координаты вершин которых получены с топографических планов. Например, для плана масштаба 1:2000 ошибку положения точек можно принять равной mt = 0.50 мм * M = 1 м (при условии, что основа плана достаточно жесткая и ее деформацией можно пренебречь). При площади участка 0.12 га и количестве вершин n=4 (5 или 6) средняя квадратическая ошибка его площади при правильной форме (периметр L = 140 м) будет равна 35 кв.м, а при неправильной форме (периметр L>140 м) она может достигать 40 кв.м.

Другим примером применения формулы (6.17) может служить оценка площади многоугольника, координаты вершин которого получены из полярной засечки, выполненной с одного пункта-станции.

При использовании точных приборов (электронных тахеометров или систем GPS) доля ошибок измерений в ошибке положения точек значительно меньше доли ошибки их фиксации mф на местности. Приняв mti= mф, можно использовать формулу (6.17) для любых способов получения координат вершин многоугольника.

Площадь правильного n-угольника можно выразить через его периметр:

И из формулы (6.17) получить формулу относительной ошибки площади:

для треугольника (n=3) mp/P = 4.24* mt/L,
для четырехугольника (n=4) mp/P = 4.00* mt/L,
для пятиугольника (n=5) mp/P = 3.72 mt/L,
для шестиугольника (n=6) mp/P = 3.46 mt/L.

Таким образом, для приближенной оценки площади 3-4-5-6- угольника в аналитическом способе можно применять формулу:

ошибка этой формулы может достигать 15% – 20% для участков, форма которых заметно отличается от формы правильного n -угольника.

Источник

Использование аналитического, картометрического и фотограмметрического методов

Автор: Дехканова Н.Н., к.э.н., начальник отдела геодезии и картографии Управления Федеральной службы государственной регистрации, кадастра и картографии по Кировской области.

Мы рассмотрим лишь три из пяти методов, использование которых законодательно установлено при определении координат характерных точек границ земельного участка, а также контура здания, сооружения или объекта незавершённого строительства на земельном участке. Это картометрический, фотограмметрический и аналитический методы.

Разговор коснётся заполнения реквизитов «1» и «2» раздела «Сведения о выполненных измерениях и расчётах» межевого/технического плана в части указания одного из трёх рассматриваемых методов определения координат, который может применяться при осуществлении кадастровых работ, а также формул для расчёта средней квадратической погрешности положения характерных точек границ при использовании данных методов.

Законодательную основу рассматриваемых вопросов составляют положения:

1. Федерального закона от 24.07.2007 №221-ФЗ (ред. от 30.12.2015) «О государственном кадастре недвижимости» (далее – Закон о кадастре);
2. Приказа Минэкономразвития РФ от 28.07.2011 №375 «Об определении требований к картам и планам, являющимся картографической основой государственного кадастра недвижимости» (далее – Приказ №375);
3. Приказа Минэкономразвития России от 13.11.2015 №848 «Об утверждении требований к картам и планам, являющимся картографической основой Единого государственного реестра недвижимости, а также к периодичности их обновления» (далее – Приказ №848);
4. Приказа Минэкономразвития России от 24.11.2008 №412 (ред. от 12.11.2015) «Об утверждении формы межевого плана и требований к его подготовке, примерной формы извещения о проведении собрания о согласовании местоположения границ земельных участков» (далее – Приказ №412);
5. Приказа Минэкономразвития России от 08.12.2015 №921 «Об утверждении формы и состава сведений межевого плана, требований к его подготовке» (Зарегистрировано в Минюсте России 20.01.2016 №40651) (далее – Приказ №921);
6. Приказа Минэкономразвития России от 01.09.2010 №403 (ред. от 04.12.2015) «Об утверждении формы технического плана здания и требований к его подготовке»;
7. Приказа Минэкономразвития России от 23.11.2011 №693 (ред. от 25.02.2014) «Об утверждении формы технического плана сооружения и требований к его подготовке»;
8. Приказа Минэкономразвития России от 10.02.2012 №52 (ред. от 03.12.2015) «Об утверждении формы технического плана объекта незавершенного строительства и требований к его подготовке»;
9. Приказа Минэкономразвития России от 17.08.2012 №518 «О требованиях к точности и методам определения координат характерных точек границ земельного участка, а также контура здания, сооружения или объекта незавершенного строительства на земельном участке» (далее – Приказ №518);
10. Письма ФГБУ «ФКП Росреестра» от 14.10.2015 №10-3613-КЛ «О рассмотрении обращения»;
11. Письма Роснедвижимости от 03.03.2008 №ВК/0834@ «О выдаче заинтересованным лицам сведений государственного кадастра недвижимости»;
12. ГКИНП-05-029-84. Основные положения по созданию и обновлению топографических карт масштабов 1:10000, 1:25000, 1:50000, 1:100000, 1:200000, 1:500000, 1:1000000 (утв. ГУГК СССР);
13. ГКИНП-02-033-82. Инструкция по топографической съемке в масштабах 1:5000, 1:2000, 1:1000 и 1:500 (утв. ГУГК СССР 05.10.1979);
14. ГКИНП (ГНТА)-02-036-02. Инструкция по фотограмметрическим работам при создании цифровых топографических карт и планов.

Перейдём теперь к вопросу использования картометрического метода.

Что предусматривает данный метод? Естественно, использование некой картографической основы.

В соответствии с частью 2 статьи 6 Закона о кадастре картографической основой государственного кадастра недвижимости (далее – картографическая основа кадастра) являются карты, планы, требования к которым определяются органом нормативно-правового регулирования в сфере кадастровых отношений.

Приказом №375 утверждены «Требования к картам и планам, являющимся картографической основой государственного кадастра недвижимости».

Важно! Документ утрачивает силу с 01.01.2017 в связи с изданием Приказа №848.

Если сегодня в соответствии с пунктом 2 Приказа №375 картографической основой кадастра являются:

1. карты (планы), представляющие собой фотопланы местности масштаба 1:5000, созданные на основе данных дистанционного зондирования Земли с разрешающей способностью 0,5м (космическая съёмка, аэрофотосъёмка), не содержащие сведений, отнесённых к государственной тайне, созданные в картографической проекции и системе координат, установленной для ведения государственного кадастра недвижимости;

2. карты (планы), представляющие собой цифровые топографические карты и планы, не содержащие сведений, отнесённых к государственной тайне, сформированные в векторной форме, созданные в государственной системе координат.

То в соответствии с пунктом 2 Приказа № 848 картографической основой будут:

1. фотопланы (ортофотопланы) и (или) цифровые топографические планы масштаба 1:2000 – для территории населённых пунктов, и только при их отсутствии допускается использовать фотопланы (ортофотопланы) и (или) цифровые топографические планы масштабов 1:5 000 и 1:10 000;

2. фотопланы (ортофотопланы) и (или) цифровые топографические карты масштаба 1:10000 и масштаба 1:25000 – для экономически освоенных территорий, территорий повышенного риска возникновения чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера и приграничных территорий, а при их отсутствии допускается использовать цифровые топографические карты масштаба 1:50000;

3. цифровые топографические карты масштаба 1:50000, 1:100000 – для территорий за границами населённых пунктов.

Что мы имеем на сегодняшний день?

В ряде субъектов РФ имеются созданные в разное время различными организациями ортофотопланы, отнесённые большей частью к документам государственного фонда данных, полученных в результате проведения землеустройства.

Ещё в письме Роснедвижимости от 03.03.2008 №ВК/0834@ «О выдаче заинтересованным лицам сведений государственного кадастра недвижимости» было отмечено, что материалы геодезических и картографических работ не относятся к документам государственного фонда данных, полученных в результате проведения землеустройства. Следовательно, создаваемые Роснедвижимостью и передаваемые ею в территориальные органы Роснедвижимости по субъектам Российской Федерации цифровые ортофотопланы в силу закона причисленные к материалам государственного картографо-геодезического фонда, являются единой картографической основой кадастра и предназначены в первую очередь для создания кадастровых карт различной тематической направленности.

Как это понимать? Кто может пользоваться картографической основой кадастра?

Что могут и должны использовать кадастровые инженеры в своей деятельности?

В соответствии с пунктом 1 Приказа №375 картографическая основа кадастра создается в целях составления и ведения кадастровых карт, а также предоставления сведений, внесённых в государственный кадастр недвижимости (далее – ГКН). Кто осуществляет эти полномочия? Конечно же, орган, осуществляющий кадастровый учёт и ведение государственного кадастра недвижимости (на сегодняшний день это ФГБУ «ФКП Росреестра» и его филиалы) [1] .

Состав сведений ГКН об объекте недвижимости указан в статье 7 Закона о кадастре, при этом в указанной статье приведён исчерпывающий список.

Важно! Данные ортофотопланов не являются сведениями государственного кадастра недвижимости, как и данные инвентаризационных планов, поэтому при обращении заинтересованных лиц орган кадастрового учёта выдаёт сведения ГКН в виде кадастровых планов территорий, а не копии цифровых ортофотопланов. И это правильно!

Поэтому неверно будет считать, что картографическая основа кадастра – это именно та основа, которая предназначена для деятельности кадастровых инженеров при выполнении работ по определению координат картометрическим методом.

Что же тогда использовать в качестве картографического материала для определения координат?

Рассмотрим сначала требования к точности определения координат картометрическим методом.

Для использования картометрического метода определения координат необходимо иметь картографический материал, основной частью которого является картографическое изображение. В качестве картографической основы кадастровых работ используются: государственные топографические карты различных масштабов, крупномасштабные планы городов или планы городов, создаваемые силами муниципальных управлений по архитектуре и градостроительству (масштабы 1:200 – 1:10000), ортофотопланы, планы лесоустройства масштабов 1:25000 и 1:10000, планы землеустройства различных масштабов.

Исходный картографический материал может быть представлен на бумажном и электронном носителе. Картографический материал на бумажном носителе представлен бумажными листами карт и планов, планами на жёсткой основе (фанера или алюминий) и картографическим изображением, построенным на пластике.

Определение уникальных характеристик точек (координат) связано с математической основой карты или плана. Согласно географической энциклопедии математическая основа карт и планов отражает геометрические законы построения карты и геометрические свойства изображения, обеспечивает возможность измерения координат, нанесения объектов по координатам, достаточно точные картометрические определения длин, площадей, объёмов, углов и др. К математической основе относят также проекцию карты, координатные сетки (географические, прямоугольные и иные) и масштаб.

Для определения координат точки Т1 (рисунок 1) необходимо восстановить перпендикуляры на соответствующие стороны координатной сетки, измерить отрезки и вычислить координаты по формулам:

где X₀, Y₀ – координаты юго-западного угла квадрата координатной сетки;

Δx, Δy – измеренные приращения координат.

Рис. 1. Определение координат точки с использованием координатной сетки

Согласно пункту 12 Приказа №518 при определении местоположения характерных точек, изображенных на карте (плане), величина средней квадратической погрешности зависит от категории земель и разрешённого использования земельных участков и принимается равной 0,0005м в масштабе карты (плана).

В этой связи средняя квадратическая ошибка определения положения точки может быть выражена формулой:

где M _T1 – средняя квадратическая ошибка определения положения точки;

m_XT1, m_YT1 – средние квадратические ошибки определения координат X, Y точки Т1 соответственно.

Как правило, средние квадратические ошибки равны и формула (2) преобразуется к виду:

Согласно пункту 24 «Основных положений по созданию и обновлению топографических карт масштабов 1:1000, 1:2000, 1:5000, 1:10000, 1:25000, 1:50000, 1:100000» (ГКИНП-05-029-84) точность нанесения координатной сетки не должна превышать 0,2мм в масштабе картографического материала. Минимизировать ошибки восстановления перпендикуляров можно путём контрольных измерений отрезков на противоположных сторонах квадрата координатной сетки (до точек a и b, см. рис.1) или другими способами.В свою очередь средние квадратические ошибки определения координат X, Y зависят от точности нанесения координатной сетки, точности восстановления перпендикуляра к стороне квадрата координатной сетки и точности измерения линейных отрезков.

Принимая во внимание вышесказанное, средние квадратические ошибки могут быть определены по формуле:

где m ₀ – средняя квадратическая ошибка положения координатной сетки;

m_{ΔX, ΔY} – средняя квадратическая ошибка измерения отрезков.

Значения длин отрезков перпендикуляров на практике можно получить, используя в качестве технического средства измерения поперечный масштаб или линейку с миллиметровыми делениями. Точность измерений в случае применения поперечного масштаба, определяется ценой наименьшего деления, которое соответствует 0,1 величины основания поперечного масштаба. Основание поперечного масштаба принято равным двум сантиметрам. Величину точности измерения линейкой принимают равной точности графических определений – 1мм.

Но эти методы на практике сейчас применяются крайне редко, наиболее распространено определение координат методом, так называемой, электронной сколки, т. е. «оцифровки» чертежей, планов, карт и ввода этой информации в компьютер в виде растрового или векторного формата. Сканер также оцифровывает исходное изображение и с помощью соответствующих программ может превращать изображения в векторную форму. При снятии координат чертежа или карты местности оцифровываются только нужные, выбранные точки и линии.

Разрешающая способность и точность цифровой картографической продукции (далее – ЦКП) – это две её основные характеристики. Разрешающая способность – это минимальный шаг, с которым картографическая основа позволяет считывать координаты. Точность – это погрешность снятия координат, определяемая как отклонение измеренных значений координат точки от значений координат, полученных при наложении на исходный копируемый документ идеальной координатной сетки. Чем выше разрешающая способность, тем выше точность.

Точность существующих цифровых карт/планов колеблется в пределах от 0,005 до 0,03 дюйма. На результат работы также влияет точность действий исполнителя работ. В среднем хороший специалист вносит погрешность не более 0,004 дюйма » 0,0001м (1 дюйм = 2,54 сантиметра).

Точность цифровых ортофотопланов определяется: масштабом исходных фотоснимков; ошибками элементов внутреннего, взаимного и внешнего ориентирования исходных фотоснимков или их растровых полутоновых изображений; ошибками цифровой модели рельефа; величиной пикселя сканирования исходных фотоснимков и др [2] .

В таблице 1 представлены величины средних квадратических ошибок для различных способов измерений.

Значения средних квадратических ошибок определения
координат для различных способов измерения

Источник