Аналитическое представление функций алгебры логики
Существует много способов задания логических функций. В табличном способе каждому набору значений переменных в таблице истинности указывается значение самой логической функции. Этот способ нагляден и может быть применен для записи функций от любого количества переменных. Однако при анализе свойств функций алгебры логики (ФАЛ) такая запись не является компактной. Проще выглядит аналитическая запись в виде формул.
Рассмотрим фиксированный набор переменных <х1, х2,…, хn>, на котором задана функция алгебры логики. Так как любая переменная х1=<0,1>, то набор значений переменных фактически представляет собой некоторое двоичное число. Представим, что номером набора будет произвольное число i, получаемое следующим образом:
,
.
Фi
Функцию Фi называют термом.
Дизъюнктивный терм(макстерм) – терм, связывающий все переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком дизъюнкции (иногда в литературе используется термин «конституэнта нуля»).
Конъюнктивный терм (минтерм)– терм, связывающий переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком конъюнкции (иногда в литературе используется термин «конституэнта единицы»). Обозначается минтерм следующим образом:
Fi
Ранг терма rопределяется количеством переменных, входящих в данный терм.
На основании вышесказанного можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 1.1. Любая таблично заданная ФАЛ может быть представлена аналитически в виде
где i – номера наборов, на которых функция равна 1; vi – знак дизъюнкции, объединяющий все термы Fi, равные единице. Таким образом, каждому набору i, для которого fi=1, соответствует элемент Fi= 1, а наборам i, на которых fi=0, не соответствует ни одного элемента fi=1. Поэтому таблица истинности однозначно отображается приведенной аналитической записью, которую в дальнейшем будем называть объединением термов.
Нормальная дизъюнктивная форма (НДФ)– объединение термов, включающее в себя минтермы переменного ранга.
Количество всех термов, входящих в состав аналитической записи, равно количеству единичных строк таблицы.
Для представления ФАЛ используется совокупность термов, объединенных знаками дизъюнкции (v или +). Можно использовать также другую элементарную логическую операцию. Сформулируем основные требования к этой операции:
Требование 1: если какой-либо терм Fi= 1, то функция f должна быть равна единице.
Требование 2: если какой-либо терм Fi= 0, то функция fможет быть равна единице.
Необходимо, чтобы при значениях термов F= 0 функция f была равна нулю.
Табличное представление искомой логической операции имеет вид табл. 1.8 и 1.9.
Логическая операция требования 1
∆ =
Источник
Способы задания функций алгебры логики.
Дата добавления: 2015-08-31 ; просмотров: 9962 ; Нарушение авторских прав
При сопоставлении функций АЛ с дискретными автоматами аргументы функций, сопоставляются с входами, а сами функции с выходами дискретного автомата.
Поскольку дискретный автомат имеет конечное число входов, то мы будем иметь дело с функцией конечного числа аргументов. Если автомат имеет m входов, то количество входных переменных тоже m и число возможных комбинаций наборов значений этих входных аргументов (переменных) К=2 m .
Поскольку автомат имеет конечное число входов, его состояние описывается конечным числом значений функций выходов. Существует несколько способов задания функций АЛ и дискретного автомата.
1. Табличный способ. При этом способе функция задается в виде таблицы истинности, представляющей собой совокупность всех наборов переменных и соответствующих им значений функции.
Таблица истинности содержит 2 m строк, m столбцов (по количеству входов) и один столбец для записи значения функции.
Например: пусть требуется задать функцию трех переменных F1(Х1,Х2,Х3) (рис. 1.4), т.е. автомат на три входа и на один выход, следовательно, M=3, К=8.
Следующий способ задания дискретного автомата – числовой. В Этом случае функция задается в виде десятичных эквивалентов номеров наборов аргументов, при которых функция принимает единичное значение. Например, для рассмотренного выше примера функция F1 принимает единичные значения на наборах переменных со следующими номерами: 1, 2, 5, тогда числовой способ задания будет иметь вид
.
Координатный способ. При этом способе дискретный автомат задается с помощью карты его состояния, которая известна как карта Карно.
Карта Карно содержит 2 m клеток по числу наборов значений переменных. Каждая клетка определяется координатами строк и столбцов, соответствующими определенному набору переменных. Все входные переменные разбиваются на 2 группы так, что одна группа определяет координаты строк, а другая — координаты столбцов. В каждой клетке карты Карно проставляется соответствующее значение функции на заданном наборе. Пример задания функции трех переменных приведен на рис. 1.5. Числовое выражение этой функции выглядит так:
Пример построения карты Карно для функции 4-х переменных. Пусть функция задана в числовой форме и имеет вид:
,
следовательно, К=16, m=4.
Сначала проводим разметку координат карты Карно без указания значений функции. Для удобства воспользуемся указанием «шапки» в виде прямых линий, “под” которыми переменные входят в значение координат без отрицания (рис.1.6). Таким образом, по столбцам и по строкам переменные входят без отрицания в пределах линии-шапки.
Для наглядности координаты клеток карты Карно указаны в трех формах: в виде наборов переменных; в виде двоичного числа, соответствующего порядковому номеру набора переменных; в десятичном эквиваленте номеров наборов переменных. На практике координаты внутри клеток не записывают (рис. 1.7), в клетках указываются единичные значения функции, соответствующие “координатным” наборам переменных. Нулевые значения функции в клетки можно не записывать, т.е. клетки, координаты которых определяются наборами переменных с нулевыми значениями функции, можно оставить пустыми.
Следует отметить, что перестановка местами переменных Х1 и Х2, а так же переменных Х3 и Х4 допускается, допускается также перестановка местами переменных Х1Х2 и Х4Х3. При построении карты Карно, т.е. при задании логической функции, указывают лишь внешние элементы разметки координат (рис. 1.7).
Аналитический способ задания функции алгебры логики. При этом способе функция задается в виде аналитического выражения, полученного путем применения каких-либо логических операций.
Например: .
Совершенная нормальная дизъюнктивная форма (СНДФ). По таблице истинности можно составить логическое выражение, содержащее наборы переменных, в которые входят все переменные с отрицанием или без. Одна из его форм называется СНДФ.
В качестве примера получения СНДФ рассмотрим случай задания логической функции в виде таблицы истинности. Пусть задана функция трех переменных. Таблица истинности этой функции показана на рис. 1.8. (очевидно, что значения функции взяты произвольно и могут быть любыми).
Из таблицы истинности видно, что функция принимает значение логической единицы только на трех наборах переменных, т.е. на 2, 4 и 5-м наборах. Для второй строки (второго набора переменных) можно записать: Х1=0, Х2=1, Х3=0, следовательно, функция f(0,1,0)=1. Принято (по умолчанию) считать, что если переменная в «нормальном» состоянии имеет значение логической единицы, а в инверсном — логического нуля, тогда функцию для второй строки можно представить в виде `X1Х2X3 = 1. Для четвертой строки — `X1X2Х3 = 1 и для пятой строки — Х1X2Х3 = 1. Аналитическое выражение функции выглядит как
.
Каждое произведение содержит все три переменные с отрицанием или без отрицания и соответствует только одной строке набора переменных, на котором функция принимает значение логической единицы. Произведения, в которых содержатся все переменные с отрицанием или без, называются конституентами единицы илиминтермами. Функция будет представлять логическую сумму всех произведений, равных логической единице. В нашем примере вся сумма (дизъюнкция) соответствует совокупности произведений переменных для трех строк.
СНДФ любой функции записывается по таблице истинности согласно следующему правилу.
Для каждого набора переменных, на которых функция принимает значение логической 1, записываются конституенты, и все эти конституенты объединяются дизъюнктивно.
Переменные каждой строки, имеющие значение логического 0, в конституенты входят с отрицанием (записываются в произведение в инвертированном виде), а переменные, имеющие значения логической 1 — без отрицания.
Любую логическую (булеву) функцию можно представить дизъюнкцией конституент. Если одно из произведений не содержит хотя бы одной переменной, то такая форма называется нормальной дизъюнктивной формой (НДФ).
Например: .
Совершенная нормальная конъюнктивная форма (СНКФ). СНКФ можно построить по таблице истинности также как СНДФ. Для чего все значения функции представляют в инверсном виде и записывают СНДФ для инверсной функции. Далее, используя закон де Моргана, получают конъюнкцию всех дизъюнкций. В каждую дизъюнкцию входят все переменные строки таблицы, для которой функция до инвертирования принимала значение логической 1.
Если (хотя бы одна) дизъюнкции, которые называются также макстермами (конституентами нуля), не содержат отдельные переменные, то такая форма записи функции называется нормальной конъюнктивной формой (НКФ).
Пример записи СНКФ. Пусть функция представлена в виде таблицы истинности (рис. 1.9).
Элементарные функции алгебры-логики.Среди всех функций алгебры логики особое место занимают функции одной и двух переменных, называемые элементарными. В качестве логических операций над переменными, эти функции позволяют реализовать различные функции от любого числа переменных.
CoinPot: собирайте и обменивайте криптовалюты в одном месте бесплатно
Примеры сайтов, разработанных с использованием фреймворка Angular
Ремонт цепи питания ноутбука
Тенденции в веб-дизайне в 2019 году
Тенденции в веб-дизайне в 2019 году. Часть вторая
Новый iPad Air 2019
Как разогнать видеокарту? Разгон графического процессора
Как проверить, замедлила ли Apple ваш iPhone
AirPods. Зарядка и использование наушников
Дополнительные функции и интересные факты об AirPods. Как заряжать? Пошаговая инструкция.
Что делать, если AirPods не заряжаются? Чехол для зарядки AirPods.
Новости
Texas Instruments запускает новые контроллеры Pico DLP
ZMorph VX — универсальный настольный 3D-принтер
Различия между аппаратными версиями Raspberry Pi 4B
Обратная связь
Структура сайта
Структура сайта (укр.)
Микропроцессоры и микроконтроллеры :: Микроконтроллерные вычислители :: 2.3. Способы задания логических функций. Словесный, табличный и аналитический способы
2.3. Способы задания логических функций. Словесный, табличный и аналитический способы
1)Словесный. В словесной форме выражается взаимосвязь между аргументами функции и ее значениями.
Пример: функция трех аргументов принимает значение «1», когда любые два или более аргументов функции равны «1».
2)Табличный. Состоит в построении таблицы истинности, содержащей
значения функции для всех наборов значений аргументов.
3)Аналитический. Функция задается в виде алгебраического уравнения, в котором логические переменные связаны логическими операциями. Используются две формы записи:
ДНФ — дизъюнктивная нормальная форма — это логическая сумма элементарных логических произведений аргументов. Каждое логическое произведение образуется таким набором аргументов, для которого функция равна 1. В данном примере по таблице истинности получаем такую запись в виде ДНФ:
КНФ — конъюнктивная нормальная форма — это логическое произведение логических сумм аргументов; для функции из примера получаем:
Если в каждом произведении в функции вида ДНФ присутствуют все аргументы функции, то такая запись называется СДНФ — совершенная ДНФ. Входящие в запись произведения называются минтермами.
Если в суммах функции вида КНФ участвуют все аргументы функций, то такая запись называется СКНФ — совершенная КНФ, а сами суммы — макстермами.
Функция может быть записана в КНФ в виде суммы произведений, но при этом каждое произведение характеризует нулевые значения функции.
При использовании любых материалов с сайта обратная ссылка на сайт Микропроцессоры и микроконтроллеры обязательна.
,
.
.
,
.
.
.
