Аналитическая функция определение способы аналитической

АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ

В книжной версии

Том 1. Москва, 2005, стр. 658

Скопировать библиографическую ссылку:

• 
• 
• 
• 
• 

АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ, функ­ция, ко­то­рая мо­жет быть пред­став­ле­на сте­пен­ны­ми ря­да­ми. Ис­клю­чи­тель­ная важ­ность клас­са А. ф. оп­ре­де­ля­ет­ся сле­дую­щим. Во-пер­вых, этот класс дос­та­точ­но ши­рок: он ох­ва­ты­ва­ет боль­шин­ст­во функ­ций, встре­чаю­щих­ся в осн. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки и её при­ло­же­ни­ях в ес­те­ст­во­зна­нии и тех­ни­ке. Ана­ли­ти­че­ски­ми яв­ля­ют­ся эле­мен­тар­ные функ­ции – мно­го­чле­ны, ра­цио­наль­ные функ­ции, по­ка­за­тель­ные и ло­га­риф­ми­че­ские, сте­пен­ные, три­го­но­мет­ри­че­ские и об­рат­ные три­го­но­мет­ри­че­ские, ги­пер­бо­ли­че­ские и об­рат­ные ги­пер­бо­ли­че­ские функ­ции, а так­же ал­геб­раи­че­ские функ­ции и спе­ци­аль­ные функ­ции (эл­лип­ти­че­ские, ци­лин­д­ри­че­ские и др.). Во-вто­рых, класс А. ф. замк­нут от­но­си­тель­но осн. опе­ра­ций ариф­ме­ти­ки, ал­геб­ры и ана­ли­за: при­ме­не­ние ариф­ме­тич. дей­ст­вий к функ­ци­ям это­го клас­са, ре­ше­ние ал­геб­ра­ич. урав­не­ний с ана­ли­тич. ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние и ин­тег­ри­ро­ва­ние А. ф. сно­ва при­во­дят к А. ф. На­ко­нец, А. ф. об­ла­да­ют свой­ст­вом един­ст­вен­но­сти: ка­ж­дая А. ф. об­ра­зу­ет «ор­га­ни­че­ски свя­зан­ное це­лое», пред­став­ля­ет со­бой «еди­ную» функ­цию во всей сво­ей ес­те­ст­вен­ной об­лас­ти су­ще­ст­во­ва­ния. Это свой­ст­во, ко­то­рое в 19 в. счи­та­лось не­от­де­ли­мым от са­мо­го по­ня­тия функ­ции , при­об­ре­ло прин­ци­пи­аль­ное зна­че­ние по­сле то­го, как в 19 в. ус­та­но­ви­лась об­щая точ­ка зре­ния на функ­цию как на про­из­воль­ное со­от­вет­ст­вие.

Источник

Определение функции. Способы задания функции.

Что значить задать функцию? Какими способами можно задать функцию? Что такое определение функции?

Задать функцию — это значит указать правило, при задании любого значения аргумента x вы найдете значение функции y.

Функция y=f(x) – зависимость переменной y от переменной x. Когда задаем значение аргумента x, получаем единственное значение функции y.

Способы задания функции.

В данной статье рассмотрим 3 способа задания функции. На самом деле их больше, в школьной программе чаще всего разбирают эти способы задания функции.

Аналитический способ задания функции.

Чаще всего в школьной программе правило задают в виде формулы y=f(x), x∈X или нескольких формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Примеры аналитического задания функции:

Графический способ задания функции.

Также если по формуле построить график функции, то данный способ задания функции будет называться графическим. Не всегда вам будут давать график совместно с формулой. Иногда вам в заданиях будут давать только график функции, по которому вы должны будете найти определенные данные. По графику функции можно восстановить его формулу, но это не всегда легко сделать, все зависит от начерченного графика. В школьной программе вам будут задавать графики, по которым вы сможете рассчитать формулу.

Примеры, графического задания функции:

Табличный способ задания функции.

Следующий способ задания функции применяется чаще всего на практике называется табличный.

Все данные представлены в виде таблице. У этого способа имеется конечное множество значений аргумента. Такими таблицами вы уже пользовались в алгебре, например, таблица квадратов, таблица корней и т.д.

Примеры, табличного задания функции:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	1	4	9	16	25	36	49	64	81

Рассмотрим примеры по теме «Способы задания функции»:

Пример №1:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

Сколько бы мы не проводили вертикальных линий, всегда будет одно пересечение с графиком. Следовательно, изображенная фигура является графиком функции.

Пример №2:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

Сколько бы мы не проводили вертикальных линий, всегда будет одно пересечение с графиком. Следовательно, изображенная фигура является графиком функции.

Пример №3:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

При проведении вертикальных линий у нас имеется два пересечения. То есть у одной вертикальной линии два пересечения с фигурой. По определению переменной x должно соответствовать только одно значение переменной y, а у нас два пересечения фигуры. Следовательно, данная фигура не является графиком функции.

Источник

Аналитические функции

Аналитические функции — очень мощный инструмент в SQL. Со слов Тома Кайта, можно написать отдельную книгу по аналитическим функциям, настолько они полезны.

Аналитические функции — это те же агрегирующие функции, но их главная особенность в том, что они работают без необходимости группировки строк.

Аналитические функции выполняются последними в запросе, поэтому они могут быть использованы только в SELECT части запроса, либо в ORDER BY .

Для примера возьмем данные, которые мы использовали при разборе агрегирующих функций:

Посмотрим, какие данные теперь хранятся в таблице:

Теперь напишем запрос, который бы возвращал максимальный стаж среди всех сотрудников отдельной колонкой. Для этого можно использовать подзапрос:

Усложним задачу: напишем запрос, который будет возвращать отдельной колонкой максимальный стаж на должности каждого сотрудника. Для этого также можно использовать подзапрос, только уже коррелированный:

Теперь решим эти же задачи при помощи аналитический функций:

Аналитические функции позволяют использовать агрегирующие функции без подзапросов, что уменьшает размер запроса( примеры, когда использование подзапроса усложняет чтение запроса, будут немного дальше).

Помимо этого, вот еще два примера запросов с аналитическими функциями.

Две колонки, max_exp_asc и max_exp_desc , считают максимальный стаж среди сотрудников в порядке возрастания и убывания их имен соответственно.

С простыми примерами аналитических функций мы познакомились, теперь разберемся,как они работают.

Когда агрегирующая функция становится аналитической

В первом примере агрегирующая функция max превратилась в аналитическую после добавления к ней части over() . В итоге, было найдено максимальное значение колонки exp среди всего набора данных, и это значение было добавлено к каждой строке выборки, без группировки.

Подсчет результатов по группам. Partition by

Для того, чтобы результаты считались по определенным группам, нужно использовать конструкцию partition by , в которой нужно указать колонки, по которым будет производиться вычисление.

В данном примере, который уже приводился раньше, максимальный стаж вычисляется в отдельности для каждой из профессий, и затем добавляется к каждой строке.

Посчитаем количество сотрудников по должностям и выведем отдельной колонкой:

Результаты можно считать по нескольким группам. Выведем напротив каждого сотрудника общее число сотрудников, родившихся в том же месяце(колонка mnth_cnt ) и количество сотрудников, родившихся в том же месяце и занимающих такую же должность:

Всего есть три сотрудника, которые родились в одном и том же месяце — июле. Поэтому в колонке mnth_cnt отображается число 3. В то же время, есть лишь два сотрудника, которые родились в одном и том же месяце, и при этом занимают одну и ту же должность — это сотрудники с id равными 2 и 3.

Порядок вычисления. Order by

В аналитических функциях можно указывать порядок, в котором они будут работать с итоговым набором данных. Для этого используется конструкция order by .

Пронумеруем строки в нашей таблице в порядке возрастания и убывания дней рождения сотрудников.

Функция row_number возможно является одной из самых часто используемых аналитических функций. Она возвращает номер строки в итоговой выборке. До ее появления в Oracle подобного функционала можно было достичь лишь при использовании подзапросов и псевдостолбца ROWNUM .

Аналитические функции могут работать не только по группам или в определенном порядке, но и в определенном порядке в пределах заданной группы:

Здесь нумерация производится отдельно для каждой группы. У двух сотрудников с одинаковой должностью нумерация была проставлена в порядке их дней рождения.

Диапазон работы аналитических функций

Аналитические функции всегда, явно или неявно, применяются к определенному набору строк, называемому окном аналитической функции.

Не во всех аналитических функциях можно указывать окно. Среди самых часто используемых функций, для которых можно указывать окно, находятся MIN , MAX , SUM , AVG , COUNT , LAST_VALUE , FIRST_VALUE и другие.

Чтобы примеры были немного более практичными, создадим еще одну таблицу, в которой будем хранить данные о начисленных зарплатах сотрудникам по месяцам:

Общие данные выглядят следующим образом:

Теперь добавим колонку к выборке, которая будет показывать, как изменялась минимальная заработная плата сотрудников с течением времени.

Сейчас может показаться, что результат, который получился в запросе такой же, как если бы мы и не задавали размер окна. Действительно, для текущих данных запрос без добавления лишних ключевых слов выдает такой же результат:

Чуть позже станет понятно, что это 2 совершенно разных запроса, а пока разберем подробнее различные варианты указания окна в аналитических функциях.

Строки и значения

Строки, которые определяют окно работы аналитической функции, можно указывать физически, т.е. сказать БД: «Для текущей строки в выборке аналитическая функция должна обработать две строки перед ней и три строки после нее»; или: «Для текущей строки в выборке аналитическая функция должна обработать все строки начиная с текущей и заканчивая всеми последующими строками».

Вторым возможным способом определения окна является определение не по физическому расположению строки в выборке, а по значениям, которые строки в себе содержат. Мысленно это можно произнести: «Для текущей строки в выборке аналитическая функция должна обработать те строки, в которых значение колонки А будет больше, чем значение в колонке А текущей строки»; или: «Для текущей строки в выборке аналитическая функция должна обработать те строки, в которых значение колонки А будет в пределах от 10 до 20 включительно».

В первом случае, при указании физических строк, используется ключевое слово ROWS , во втором случае, при указании строк по их значениям, используется ключевое слово RANGE .

Смещения при определении окна

Итак, при указании окна мы должны задать его верхнюю и нижнюю границу.

В общем виде указание границы выглядит следующим образом:

Теперь рассмотрим варианты для этих границ:

• UNBOUNDED PRECEDING — указывает, что окно начинается с первой строки в разделе. Может быть указано только для верхней границы, в качестве нижней границы использовать нельзя.
• UNBOUNDED FOLLOWING — указывает, что окно заканчивается на последней строке в разделе. Может быть указано только для нижней границы.
• CURRENT ROW — обозначает текущую строку или значение. Может быть использовано как для нижней границы, так и для верхней.
• PRECEDING — значение в строке или физическая строка, которая предшествует текущей строке на
• FOLLOWING — значение в строке или физическая строка, которая находится впереди текущей строки на

Следует помнить, что если окно задается с использованием ROWS , т.е. указываются строки, то и границы окна будут задаваться в строках, и наоборот, если используется , то границы окна будут учитываться по значениям в строках.

Если окно не указывается, то по-умолчанию оно имеет вид RANGE BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW .

Теперь посмотрим на один из предыдущих запросов:

Рассмотрим, как будет работать аналитическая функция.

PARTITION BY не указан, значит результаты будут «сплошные» и не будут разбиваться по группам. Обрабатываться строки будут в порядке возрастания даты в колонке sal_date , а диапазон строк, для которых будет вычисляться функция, задается первой строкой во всем наборе данных и заканчивается текущей строкой.

Теперь должна быть понятна разница между данным запросом и запросом без указания окна, о которой говорилось в начале раздела — по-умолчанию окно задается по значению, а мы установили размер окна со смещениями в строках.

Еще один важный момент: значения в колонке sal_date не являются уникальными. Это означает, что результат будет недетерминированным, т.е. может отличаться от запуска к запуску, т.к. порядок следования строк в выборке может измениться.

Чтобы избавиться от такого эффекта, можно добавить еще одну колонку в конструкцию order by, чтобы сделать порядок следования строк уникальным и не меняющимся. В данном случае мы можем дополнительно сортировать данные по id сотрудника:

В общем, когда несколько колонок имеют одинаковые значения, аналитические функции работают по определенным правилам:

• Функции CUME_DIST , DENSE_RANK , NTILE , PERCENT_RANK и RANK возвращают одинаковый результат для всех строк
• Функция ROW_NUMBER присвоит каждой строке уникальное значение. Порядок присваивания будет зависеть от порядка обработки строк БД, который мы не можем предугадать
• Все остальные функции будут работать по-разному в зависимости от спецификации окна. Если окно задавалось при помощи RANGE , то функция вернет одинаковое значение для всех строк. Если использовалось ключевое слово ROWS , то результат нельзя будет предугадать — он опять же будет зависеть от порядка обработки строк базой данных, который может отличаться для одного и того же набора данных от запуска к запуску.

Размеры окна можно задавать в виде смещений:

Здесь в колонке avg_sal считается средняя заработная плата по трем строкам — двум предшествующим и текущей. Порядок следования, как мы помним, задается при помощи ORDER BY, поэтому две предшествующие строки — это строки, у которых значение в колонках sal_date будет меньше либо равным значению в текущей строке.

Значение функции округляется до двух знаков после запятой при помощи функции round . Аналитическая функция берется в скобки полностью, начиная от имени функции и заканчивая определением окна. К значениям, полученным при помощи аналитических функций можно применять другие функции или операторы — например, можно было бы добавить 100 к среднему значению:

Или даже получить разность между значениями двух аналитических функций:

В следующем примере смещение задается не в строках, а в диапазоне значений, которые содержит колонка sal_value:

Т.к. использовался RANGE , то сумма рассчитывается для всех строк, значение которых находится в диапазоне от 1000 до значения в текущей строке.

Еще раз, следует обратить внимание, что строки, которые находятся после текущей, также обрабатываются функцией, если значение колонки sal_value входит в заданный диапазон. Это можно видеть на изображении выше, в строках, где значение sal_value равно 1000 — для первой строки в сумму посчиталось и значение следующей.

Следующий пример считает сумму по четырем строкам — в окно входят 2 предшествующие строки, текущая строка и одна строка, следующая за текущей:

Т.к. окно задавалось с использованием ROWS , сумма считается именно по строкам, а не по их значениям. Для первой строки в сумму были взяты данные из нее самой и следующей, т.к. предыдущих строк у нее нет. Для второй строки была лишь одна предыдущая строка, а у последней не было следующей.

Ограничения на ORDER BY

ORDER BY в аналитических функциях может использоваться только с одной колонкой, за исплючением случаев, когда используется RANGE и окно задается одним из следующих способов:

• RANGE BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW
• RANGE BETWEEN CURRENT ROW AND UNBOUNDED FOLLOWING
• RANGE BETWEEN CURRENT ROW AND CURRENT ROW
• RANGE BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND UNBOUNDED FOLLOWING

Источник