Алгоритм решения задач алгебраическим способом

Алгоритм решения задач алгебраическим способом

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

• Главная
• 9-Класс
• Алгебра
• Видеоурок «Алгебраический способ решения текстовых задач»

Существует несколько способов решения текстовых задач:

• арифметический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью чисел и знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;

• алгебраический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью введения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;

• геометрический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;

• схематический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью схем;

• графический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Каждый из этих способов предполагает перевод условий задачи на язык математики. Это действие математики называют математическим моделированием. Результат этого действия называют математической моделью. При применении различных способов решения получаются различные математические модели.

В арифметическом способе математической моделью является числовое выражение, то есть числовой пример с несколькими действиями, а конечный результат вычислений будет решением задачи.

В алгебраическом способе математической моделью чаще всего является уравнение, а решение уравнения даёт решение задачи.

В геометрическом способе математической моделью является геометрическая фигура, а решение задачи – это один из найденных элементов этой фигуры.

В схематическом способе математической моделью является схема, с помощью которой находят решение задачи.

В графическом способе математической моделью является график, построенный по условию задачи. При этом способе решением задачи являются координаты определённых точек графиков.

На этом занятии более подробно будет рассмотрен алгебраический способ решения задачи.

Решить текстовую задачу алгебраическим способом означает:

1. Ввести удобную переменную выразить через неё неизвестные величины.

2. По явным условиям, описанным в задаче, составить уравнение или неравенство.

3. Решить уравнение или неравенство

4. Выбрать из всех найденных решений те, которые подходят по смыслу задачи, то есть удовлетворяют неявным условиям задачи и, таким образом, найти ответ на главный вопрос задачи. Рассмотрим методику алгебраического способа решения текстовых задач с помощью уравнений и неравенств.

1 этап. Арифметическая краткая запись условий задачи.

Цель этого этапа: осмысление задачи.

Форма записи: схематический чертёж или таблица всех известных и неизвестных данных задачи.

• этот этап может отсутствовать, если решение задачи элементарно или она не особо усложнена условиями;

• на этом этапе решения задачи происходит понимание или осмысление её текста. Намного облегчает этот процесс умение правильно «увязать» все известные и неизвестные величины в таблицу данных задачи или составить чертёж; неизвестные величины удобно обозначать знаком «?», а «главный вопрос» задачи для того, чтобы потом на последних этапах не запутаться и правильно найти «Ответ», так как в некоторых задачах, содержащих неявный вопрос искомую величину приходится довычислять;

• все единицы измерения перевести в единые;

• значительно облегчает решение и делает задачу более понятной введение обозначений, общепринятых в физике, химии, геометрии, алгебре, экономике и так далее. Например: V,t,s-скорость, время, расстояние (длина пути или отрезка); р,V,m-плотность вещества, объём тела, масса тела; W,t,V–производительность, время работы, объём работы; a,b,P,S–две стороны прямоугольника, его периметр, его площадь; А0,р,n,An-первоначальная величина, процент её увеличения, количество увеличений, конечная величина после увеличения А0 на р процентов n раз; MА,СА,M–масса вещества А в растворе или в смеси, концентрация вещества А в растворе или смеси (доля), масса раствора или смеси; mn=10m+n–запись двузначного числа, где m,n–цифры;

• Большую помощь в задачах «на движение» оказывает схематический чертёж. Он позволяет увидеть динамику движения, а также учесть все характерные ситуации–встречи, остановки, повороты и тому подобное.

2 этап. «Легенда» или алгебраическая краткая запись условий задачи.

Цель этого этапа: удачно выбрать переменную и выразить все неизвестные величины задачи через неё.

Форма записи: такая, как и на 1этапе, но только вместо знаков «?» везде надо записать выражения с переменной.

• обычно этот этап в оформлении задачи начинается с фразы «Пусть х ед.-…,тогда…»;

• не следует пытаться обойтись небольшим числом неизвестных; наоборот, чем больше неизвестных, тем легче составлять уравнения или неравенства;

• выбирая неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи; точнее, набор переменных представляет собой список параметров, определяющих эту модель, поэтому все они должны быть независимы, и все соотношения должны следовать лишь из конкретных условий задачи;

• при введении переменных следует руководствоваться принципом наибольшего удобства математической записи условий задачи, при этом искомая величина может не входить в их число. В большинстве задач «главный вопрос» подсказывает выбор переменной.

3 этап. Составление и решение уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).

Цель этого этапа: опираясь на условия задачи составить уравнение или неравенство ( систему уравнений или неравенств ) и найти его (её) решение.

• обычно этот этап в оформлении задачи начинается словами «По условию задачи (выписать условия из текста задачи), значит,…(запись уравнения или неравенства).»;

• необходимо учитывать Область Допустимых Значений переменной или переменных помня условия существования уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств);

• для составления уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств) из текста задачи выбираем условие (условия), которое позволяет увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы: S=vt-вычисление длины пути, пройденного телом; m=pV-вычисление массы тела; V=Wt-вычисление объёма работы;S=ab–вычисление площади прямоугольника; MА=САM-вычисление массы вещества А в смеси или растворе; An=A0(1±p)n или An=A0(1±p1) … (1±pn) вычисление сложных процентов;

• если неизвестных следует брать столько, сколько потребуется, то уравнений будет cтолько, сколько получится; в простейших ситуациях мы получаем уравнение (неравенство) с одной переменной или систему уравнений (неравенств), в которой число уравнений (неравенств) совпадает с числом неизвестных.

4 этап. Анализ решения уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).

Цель: из всех найденных решений уравнений или неравенств (систем уравнений или неравенств) выбрать те, которые подходят по смыслу задачи и, по мере необходимости, довычислить искомую величину.

обычно этот этап в оформлении задачи начинается фразой «По смыслу задачи х должна быть величиной… (натуральной, положительной, целой, принадлежащей промежутку и так далее), и, если смысловое условие не выполнено, то найденную величину называют посторонним решением, а , если смысловое условие выполнено, то записывают единицы измерения и пояснение к найденной величине.

• т.о., не каждое решение уравнения может являться решением задачи; особенности отбора значений переменных в различных типовых задачах будут рассмотрены ниже;

• для всякой текстовой задачи полезно провести проверку её решения, причём проверять нужно соответствие полученного ответа условию задачи, а не составленным уравнениям.

Цель этого этапа: записать правильный ответ, удовлетворяющий всем описанным условиям задачи и отвечающий на её «главный вопрос».

Рассмотрим полное решение задачи по указанной схеме.

Задача. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24км от А, одновременно отправились пешеход и велосипедист. Велосипедист прибыл в пункт В на 4часа раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найти скорость пешехода.

1 этап. Арифметическая краткая запись.

По условию задачи надо определить скорость пешехода, значит, это и является «Главным вопросом» задачи.

2 этап. «Легенда» или алгебраическая краткая запись. Поскольку путь от А до В известен, то неизвестные величины–скорости пешехода и велосипедиста и время их движения. Т.к. «главный вопрос» задачи–скорость пешехода, то обозначим за переменные скорости, а время выразим через введенные неизвестные. Пусть х км/ч–скорость пешехода, у км/ч–скорость велосипедиста, тогда

В задаче описаны два условия движения пешехода и велосипедиста, значит, получим два уравнения «увязанные» с изменением времени движения.

3 этап. Составление и решение системы уравнений.

24(х + 2) – 12х – 4х(х + 2) = 0, х(х + 2)≠ 0 – ОДЗ. х2-х-12=0; По теореме Виета х1 х2=-12, х1+х2=1. Получаем два решения первого уравнения системы: х1=4ДЗ,

х2=-3ОДЗ. Оба решения удовлетворяют неравенству системы, т.е. ОДЗ дробно–рационального уравнения.

4 этап. Анализ решения системы уравнений.

По смыслу задачи х–положительное число, х=-3 постороннее решение,

х=4>0 =>4км/ч скорость движения пешехода.

Проверка решения задачи.

Она часто бывает полезна, но не обязательна. В задаче поставлены четыре условия существования искомой величины–скорости пешехода: 1условие–расстояние между пунктами А и В 24км; 2условие–время движения велосипедиста меньше времени движения пешехода на 4часа; 3условие–изменённая скорость велосипедиста на 4км/ч меньше фактической скорости; 4условие–изменённое время движения велосипедиста в 2раза меньше времени движения пешехода. Для проверки достоверности решения допустим выполнение двух из них при найденном решении задачи. Если два других условия при этом выполнятся, то будем считать, что задача решена верно. Если два других условия не выполнятся, то решение найдено неверно.

24км:4км/ч = 6ч – время движения пешехода; (использовали 1 условие)

6ч – 4ч = 2ч – время движения велосипедиста; (использовали 2 условие)

24км:2ч = 12км/ч – скорость движения велосипедиста;

12км/ч – 4км/ч = 8км/ч – изменённая скорость велосипедиста;

24км:8км/ч = 3ч – изменённое время движения велосипедиста; (выполнено 3 условие)

6ч:3ч = 2(раза) – отношение времени движения пешехода и велосипедиста; (выполнено 4 условие)

Все условия задачи выполнены =>скорость пешехода 4км/ч найдена верно.

5 этап. Ответ. Ответ: 4км/ч.

Таким образом, на этом занятии мы познакомились с алгебраическим способом решения текстовой задачи и разобрали методику её решения на примере задачи «на движение».

Источник

Конспект урока Тема: Составление алгоритма алгебраического способа решения задач.

Тема: Составление алгоритма алгебраического способа решения задач.

Исследование алгебраического способа решения задач и составление алгоритма.
Формирование действия моделирования.
Развитие компонентов УД.

1. Карточки:
арифметический способ решения;
алгебраический способ решения;
задача.
2. Фломастеры, мелки, чистые листы, магниты, компьютеры.
3. Учебные принадлежности.

Чему учимся на уроке математики?

Что уже знаем хорошо?

Чему надо учиться?

Тему урока сформулируем позже.

Откроем тетради, оформим начало работы.

1.Вспомним некоторые умения, которые помогут в дальнейшем.

Составить по схеме уравнения и записать их.

Все остальные учащиеся выполняют любое из этих заданий:

Запиши уравнения и реши их.

1.Число 40 увеличили на произведение числа 6 и неизвестного и получили 76.

2.Составьте уравнение и решите задачи.

В классе 28 учеников. Сколько мальчиков в классе, если девочек 13?

В трех вазах 27 гвоздик. В первой вазе на 3 гвоздики меньше, чем во второй вазе, и на 6 гвоздик больше, чем в третьей. Сколько гвоздик в третьей вазе?

1.187 * (33467 : 49 – 362)

Что мы должны знать об уравнении?

Для чего нужны уравнения?

2. Построение моделей к уравнениям выполняем неплохо.

Вспомним, как они решаются.

Нам поможет компьютер.

Сели за компьютер. Задания выполняем в уме.

Подумай, а потом выполняй.

Какие инструменты нам необходимы:

в конце посмотреть результаты, сравнить с прошлым.

(Даются 11 заданий: сложные уравнения на : и х в пределах 100)

Кто закончил на черновике, составляет уравнения с числами а, 8, 32, 4 .

3. Нам необходимо еще вспомнить одно умение.

(арифметический способ решения задач на листочках.)

Задача. В трех одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько апельсинов в 8 таких же ящиках?

Работаем в паре.

Модель, решение. (Можно записать выражением, можно по действиям.)

Составление алгоритма алгебраического способа решения задач.

Постановка учебной задачи.

Скажите, а можно было решить эту задачу другим способом?

Что нужно иметь для решения алгебраическим способом?

А он есть у нас?

А может ли его составить?

Да, мы с вами уже решали задачи таким способом.

Скажите, а есть ли подсказка к составлению алгоритма?

Составляем алгоритм, записываем на листочках. Работаем в группах.

Определите, кто будет записывать, кто рассказывать.

Кто закончит, прикрепляем алгоритм на доску.

Вместе будем выбирать пункты алгоритма.

Идет самостоятельная работа по составлению алгоритма.

Выделение известных и неизвестных величин.

Установление связи между условием и вопросом.

Выражение через это неизвестное других величин.

Решение задачи способом уравнения.

Вернемся к нашей задаче, решим ее уравнением.

Х кг – в 8 ящиках

(21 : 3) кг – масса одного ящика из 3

(Х : 8) кг – масса одного ящика из 8

Уравнение: 21 : 3 = Х : 8

Упрощаем: Х : 8 = 7

Ответ: 56 кг в 8 ящиках.

Какая тема урока сегодня?

(Составление алгоритма алгебраического способа решения задач).

Учительница по труду попросила, чтобы ученики составили чертеж выкройки прямоугольной повязки для дежурства. Она сказала: “Периметр повязки – 22 см, а длина на 3 см больше, чем ширина”.

Будем строить на компьютере. (не можем)

Почему не можем? (необходимо найти ширину и длину).

Чего не хватает в данном тексте? (должен быть вопрос).

Задача: Периметр прямоугольника равен 22 см, длина на 3 см больше, чем ширина. Чему равна ширина и длина прямоугольника?

Работаем в паре. Каким способом решаем?

Строим на компьютере.

Работаем в паре.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 832 человека из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Специфика преподавания предмета «Родной (русский) язык» с учетом реализации ФГОС НОО

• Сейчас обучается 331 человек из 60 регионов

Курс повышения квалификации

Скоростное чтение

• Сейчас обучается 627 человек из 79 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1585064

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Пензенские родители смогут попасть в школы и детсады только по QR-коду

Время чтения: 1 минута

В Москве запустили онлайн-проект по борьбе со школьным буллингом

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

В Пензенской области запустят проект по снижению административной нагрузки на учителей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник