Алгоритм решения неравенств второй степени графическим способом

Урок по теме: «Решение неравенств второй степени графическим способом»
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Планируемыми результатами данного урока являются: умение решать квадратные неравенства графическим способом, умение правильно записывать решения неравенств. На уроке ярко выражен деятельностный подход к обучению, использована информационно-коммуникационная технология, здоровьесберегающая, технология проблемного обучения и элементы дифференцированного обучения. Присутствуют межпредметные связи с физикой, военным делом, с окружающей действительностью.

Скачать:

Вложение	Размер
tablitsa_issledovaniya.docx	12.63 КБ
reshenie_neravenstv_vtoroy_stepeni_s_odnoy_peremennoy_s_pomoshchyu_graf._kvadr._funktsii.pptx	2.39 МБ
samostoyatelnaya_rabota.docx	14.19 КБ
svodnaya_tablitsa.docx	54.2 КБ
otsenochnyy_list.docx	16.66 КБ

Предварительный просмотр:

Для исследования постройте график функции y = – 2x − 48

Для исследования нужен график функции y = – 2x − 48

Для исследования постройте график функции y = + 20x + 25

Для исследования нужен график функции y = + 20x + 25

Для исследования постройте график функции y = + 2x + 15

Для исследования нужен график функции y = + 2x + 15

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Может ли помочь график квадратичной функции при решении этого неравенства?

01.12.2014 г. Решение неравенств второй степени с помощью графика квадратичной функции «Я слышу – я забываю , я вижу – я запоминаю , я делаю – я понимаю»

г а б в Назовите число нулей функции 1 . и знак коэффициента a

г в 1.Проверь себя а Знак коэффициента а Число корней а + 2 б — 2 в — 0 г + 1 б

2. Найдите корни квадратного трехчлена

2 .Найдите корни квадратного трехчлена : а ) х 2 +х-12; x 1 =-4 ; x 2 =3 б) х 2 +6х+9; x 1 , 2 =-3

а б в г Назовите промежутки знакопостоянства функции 3.

3.Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен указанным образом: f(x) > 0 при x ϵ (- ∞; 1) ⋃ (2,5;+ ∞); f(x) 0 при x ϵ (- ∞ ;-3) U (-3;+ ∞ ) а) б) а б

3.Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен указанным образом f(x ) > 0 при x ϵ ( -4;3) f(x ) 0 ( f ( x ) 0; f ( x ) 0; f ( x ) 3

L – дальность полета, α = 45°, L >3. >3

Решить неравенство: 1. 5х 2 +9х-2 0 Ответ: ( −∞ ; 2); (3;+ ∞ ) − х 2 + 7х − 12 0 Ответ: ( −∞ ; 3);(3;+ ∞ )

Какой промежуток будет являться решением неравенства?

Крайние промеж: (−∞;); (;+∞) Средний промеж: (; ) x = x0 x ≠ x0 x ∈ R ∅

Крайние промеж: (−∞;); (;+∞) Средний промеж: (; ) x = x0 x ≠ x0 x ∈ R ∅ * * * * * *

Самостоятельная работа: 1 вариант: 1) х 2 − 2х − 48 0 2) − х 2 − 2х + 15 > 0 Для успевающих: 3) − 10х 2 + 9х > 0 4) −5 х 2 + 11х − 7 0 Ответ: ( −∞ ;3);(4;+ ∞ ) 2) − х 2 − 2х + 15 > 0 Ответ: ( − 5;3) Дополнительные: 3) − 10х 2 + 9х > 0 Ответ: ( 0 ;0,9) 4) −5 х 2 + 11х − 7 ⪯ 0 Ответ: x Є R

Задание на самоподготовку: Домашнее задание: переписать в тетрадь алгоритм решения неравенства графическим способом и решить № 30 5 , для успевающих на « 4 » — проанализировать сводную таблицу (вложена в журнал), для успевающих на « 5 » — в дополнительной литературе или интернет — ресурсах найдите, в каких областях применяются квадратные неравенства. Для всех: в свободную минуту попытайтесь разобраться в программе « GeoGebra »

Источник

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ГРАФИЧЕСКИ. : Алгоритм применения графического метода : 1.Найти корни квадратного трехчлена ах 2 +bх+с, т.е. решить. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВера Недокладова

Похожие презентации

Презентация на тему: » РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ГРАФИЧЕСКИ. : Алгоритм применения графического метода : 1.Найти корни квадратного трехчлена ах 2 +bх+с, т.е. решить.» — Транскрипт:

1 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ГРАФИЧЕСКИ

2 : Алгоритм применения графического метода : 1.Найти корни квадратного трехчлена ах 2 +bх+с, т.е. решить уравнение ах 2 +bх+с=0. 2.Отметить найденные значения на оси х в координатной плоскости. 3. Схематично построить график параболы. 4. Записать ответ в соответствии со знаком неравенства. Частные случаи при D 0 ах 2 + bх + с > 0 (-;+) ах 2 + bх + с 0 нет решений ах 2 + bх + с 0 нет решений 0 ах 2 + bх + с > 0 (-;+) ах 2 + bх + с 0 нет решений ах 2 + bх + с 0 нет решений»>

0 х 2 – х – 6 0 3. х 2 – х – 6 0 х 2 – х – 6 0 3. х 2 – х – 6 3 о х у у = х 2 – х – 6 1. х 2 – х – 6 > 0 х 2 – х – х 2 – х – 6 0 х 2 – х – 6 0 3. х 2 – х – 6 0 х 2 – х – 6 0 3. х 2 – х – 6 0 х 2 – х – 6 0 3. х 2 – х – 6 0 х 2 – х – 6 0 3. х 2 – х – 6

0 у = – х 2 – 3х 6. Решите неравенство – х 2 – 3х 0″ title=»о х 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 у 987654321987654321 -2 -3 -4 -5 -6 5. Решите неравенство – х 2 – 3х > 0 у = – х 2 – 3х 6. Решите неравенство – х 2 – 3х 0″ > 4 о х у Решите неравенство – х 2 – 3х > 0 у = – х 2 – 3х 6. Решите неравенство – х 2 – 3х 0 0 у = – х 2 – 3х 6. Решите неравенство – х 2 – 3х 0″> 0 у = – х 2 – 3х 6. Решите неравенство – х 2 – 3х 0″> 0 у = – х 2 – 3х 6. Решите неравенство – х 2 – 3х 0″ title=»о х 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 у 987654321987654321 -2 -3 -4 -5 -6 5. Решите неравенство – х 2 – 3х > 0 у = – х 2 – 3х 6. Решите неравенство – х 2 – 3х 0″>

0 у = – х 2 + 5х –9,6 8. Решите неравенство – х 2 +5х–9,6 0 у = – х 2 + 5х –9,6 8. Решите неравенство – х 2 +5х–9,6 5 х 7. Решите неравенство – х 2 + 5х–9,6 > 0 у = – х 2 + 5х –9,6 8. Решите неравенство – х 2 +5х–9,6 0 у = – х 2 + 5х –9,6 8. Решите неравенство – х 2 +5х–9,6 0 у = – х 2 + 5х –9,6 8. Решите неравенство – х 2 +5х–9,6 0 у = – х 2 + 5х –9,6 8. Решите неравенство – х 2 +5х–9,6 0 у = – х 2 + 5х –9,6 8. Решите неравенство – х 2 +5х–9,6

0 12. Решите неравенство х 2 –6х + 9 0″ title=»х 9. Решите неравенство х 2 – 6х+ 9 0 12. Решите неравенство х 2 –6х + 9 0″ > 6 х 9. Решите неравенство х 2 – 6х+ 9 Решите неравенство х 2 –6х + 9 0 0 12. Решите неравенство х 2 –6х + 9 0″> 0 12. Решите неравенство х 2 –6х + 9 0″> 0 12. Решите неравенство х 2 –6х + 9 0″ title=»х 9. Решите неравенство х 2 – 6х+ 9 0 12. Решите неравенство х 2 –6х + 9 0″>

Источник

Решение квадратных неравенств графически

Графический метод является одним из основных методов решения квадратных неравенств. В статье мы приведем алгоритм применения графического метода, а затем рассмотрим частные случаи на примерах.

Суть графического метода

Метод применим для решения любых неравенств, не только квадратных. Суть его вот в чем: правую и левую части неравенства рассматривают как две отдельные функции y = f ( x ) и y = g ( x ) , их графики строят в прямоугольной системе координат и смотрят, какой из графиков располагается выше другого, и на каких промежутках. Оцениваются промежутки следующим образом:

• решениями неравенства f ( x ) > g ( x ) являются интервалы, где график функции f выше графика функции g ;
• решениями неравенства f ( x ) ≥ g ( x ) являются интервалы, где график функции f не ниже графика функции g ;
• решениями неравенства f ( x ) g ( x ) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• решениями неравенства f ( x ) ≤ g ( x ) являются интервалы, где график функции f не выше графика функции g ;
• абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f ( x ) = g ( x ) .

Рассмотрим приведенный выше алгоритм на примере. Для этого возьмем квадратное неравенство a · x 2 + b · x + c 0 ( ≤ , > , ≥ ) и выведем из него две функции. Левая часть неравенства будет отвечать y = a · x 2 + b · x + c (при этом f ( x ) = a · x 2 + b · x + c ) , а правая y = 0 (при этом g ( x ) = 0 ).

Графиком первой функции является парабола, второй прямая линия, которая совпадает с осью абсцисс О х . Проанализируем положение параболы относительно оси О х . Для этого выполним схематический рисунок.

Решение с двумя корнями у квадратного трехчлена

Ветви параболы направлены вверх. Она пересекает ось О х в точках x 1 и x 2 . Коэффициент а в данном случае положительный, так как именно он отвечает за направление ветвей параболы. Дискриминант положителен, что указывает на наличие двух корней у квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c . Корни трехчлена мы обозначили как x 1 и x 2 , причем приняли, что x 1 x 2 , так как на оси О х изобразили точку с абсциссой x 1 левее точки с абсциссой x 2 .

Части параболы, расположенные выше оси О х обозначим красным, ниже – синим. Это позволит нам сделать рисунок более наглядным.

Выделим промежутки, которые соответствуют этим частям и отметим их на рисунке полями определенного цвета.

Красным мы отметили промежутки ( − ∞ , x 1 ) и ( x 2 , + ∞ ) , на них парабола выше оси О х . Они являются решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 . Синим мы отметили промежуток ( x 1 , x 2 ) , который является решением неравенства a · x 2 + b · x + c 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Сделаем краткую запись решения. При a > 0 и D = b 2 − 4 · a · c > 0 (или D ‘ = D 4 > 0 при четном коэффициенте b ) мы получаем:

• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 является ( − ∞ , x 1 ) ∪ ( x 2 , + ∞ ) или в другой записи x x 1 , x > x 2 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является ( − ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞ ) или в другой записи x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c 0 является ( x 1 , x 2 ) или в другой записи x 1 x x 2 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c ≤ 0 является [ x 1 , x 2 ] или в другой записи x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

где x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c , причем x 1 x 2 .

Решение с одним корнем у квадратного трехчлена

На данном рисунке парабола касается оси O х только в одной точке, которая обозначена как x 0 . Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a > 0 . D = 0 , следовательно, квадратный трехчлен имеет один корень x 0 .

Парабола расположена выше оси O х полностью, за исключением точки касания координатной оси. Обозначим цветом промежутки ( − ∞ , x 0 ) , ( x 0 , ∞ ) .

Запишем результаты. При a > 0 и D = 0 :

• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 является ( − ∞ , x 0 ) ∪ ( x 0 , + ∞ ) или в другой записи x ≠ x 0 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является ( − ∞ , + ∞ ) или в другой записи x ∈ R ;
• квадратное неравенство a · x 2 + b · x + c 0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси O x );
• квадратное неравенство a · x 2 + b · x + c ≤ 0 имеет единственное решение x = x 0 (его дает точка касания),

где x 0 — корень квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c .

Решение квадратного трехчлена, не имеющего корней

Рассмотрим третий случай, когда ветви параболы направлены вверх и не касаются оси O x . Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a > 0 . Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как D 0 .

На графике нет интервалов, на которых парабола была бы ниже оси абсцисс. Это мы будем учитывать при выборе цвета для нашего рисунка.

Получается, что при a > 0 и D 0 решением квадратных неравенств a · x 2 + b · x + c > 0 и a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a · x 2 + b · x + c 0 и a · x 2 + b · x + c ≤ 0 не имеют решений.

Нам осталось рассмотреть три варианта, когда ветви параболы направлены вниз. На этих трех вариантах можно не останавливаться подробно, так как при умножении обеих частей неравенства на − 1 мы получаем равносильное неравенство с положительным коэффициентом при х 2 .

Алгоритм решения неравенств с использованием графического способа

Рассмотрение предыдущего раздела статьи подготовило нас к восприятию алгоритма решения неравенств с использованием графического способа. Для проведения вычислений нам необходимо будет каждый раз использовать чертеж, на котором будет изображена координатная прямая O х и парабола, которая отвечает квадратичной функции y = a · x 2 + b · x + c . Ось O у мы в большинстве случаев изображать не будем, так как для вычислений она не нужна и будет лишь перегружать чертеж.

Для построения параболы нам необходимо будет знать две вещи:

• направление ветвей, которое определяется значением коэффициента a ;
• наличие точек пересечения параболы и оси абсцисс, которые определяются значением дискриминанта квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c .

Точки пересечения и касания мы будет обозначать обычным способом при решении нестрогих неравенств и пустыми при решении строгих.

Наличие готового чертежа позволяет перейти к следующему шагу решения. Он предполагает определение промежутков, на которых парабола располагается выше или ниже оси O х . Промежутки и точки пересечения и являются решением квадратного неравенства. Если точек пересечения или касания нет и нет интервалов, то считается, что заданное в условиях задачи неравенство не имеет решений.

Теперь решим несколько квадратных неравенств, используя приведенный выше алгоритм.

Необходимо решить неравенство 2 · x 2 + 5 1 3 · x — 2 графическим способом.

Решение

Нарисуем график квадратичной функции y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x — 2 . Коэффициент при x 2 положительный, так как равен 2 . Это значит, что ветви параболы будут направлены вверх.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена 2 · x 2 + 5 1 3 · x — 2 для того, чтобы выяснить, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки. Получаем:

D = 5 1 3 2 — 4 · 2 · ( — 2 ) = 400 9

Как видим, D больше нуля, следовательно, у нас есть две точки пересечения: x 1 = — 5 1 3 — 400 9 2 · 2 и x 2 = — 5 1 3 + 400 9 2 · 2 , то есть, x 1 = − 3 и x 2 = 1 3 .

Мы решаем нестрогое неравенство, следовательно проставляем на графике обычные точки. Рисуем параболу. Как видите, рисунок имеет такой же вид как и в первом рассмотренном нами шаблоне.

Наше неравенство имеет знак ≤ . Следовательно, нам нужно выделить промежутки на графике, на которых парабола расположена ниже оси O x и добавить к ним точки пересечения.

Нужный нам интервал − 3 , 1 3 . Добавляем к нему точки пересечения и получаем числовой отрезок − 3 , 1 3 . Это и есть решение нашей задачи. Записать ответ можно в виде двойного неравенства: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Ответ: − 3 , 1 3 или − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Решите квадратное неравенство − x 2 + 16 · x − 63 0 графическим методом.

Решение

Квадрат переменной имеет отрицательный числовой коэффициент, поэтому ветви параболы будут направлены вниз. Вычислим четвертую часть дискриминанта D ‘ = 8 2 − ( − 1 ) · ( − 63 ) = 64 − 63 = 1 . Такой результат подсказывает нам, что точек пересечения будет две.

Вычислим корни квадратного трехчлена: x 1 = — 8 + 1 — 1 и x 2 = — 8 — 1 — 1 , x 1 = 7 и x 2 = 9 .

Получается, что парабола пересекает ось абсцисс в точках 7 и 9 . Отметим эти точки на графике пустыми, так как мы работаем со строгим неравенством. После этого нарисуем параболу, которая пересекает ось O х в отмеченных точках.

Нас будут интересовать промежутки, на которых парабола располагается ниже оси O х . Отметим эти интервалы синим цветом.

Получаем ответ: решением неравенства являются промежутки ( − ∞ , 7 ) , ( 9 , + ∞ ) .

Ответ: ( − ∞ , 7 ) ∪ ( 9 , + ∞ ) или в другой записи x 7 , x > 9 .

В тех случаях, когда дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, необходимо внимательно подходить к вопросу о том, стоит ли включать в ответ абсциссы точки касания. Для того, чтобы принять правильное решение, необходимо учитывать знак неравенства. В строгих неравенствах точка касания оси абсцисс не является решением неравенства, в нестрогих является.

Решите квадратное неравенство 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9 ≤ 0 графическим методом.

Решение

Ветви параболы в данном случае будут направлены вверх. Она будет касаться оси O х в точке 0 , 7 , так как

Построим график функции y = 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9 . Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2 положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0 , 7 , так как D ‘ = ( − 7 ) 2 − 10 · 4 , 9 = 0 , откуда x 0 = 7 10 или 0 , 7 .

Поставим точку и нарисуем параболу.

Мы решаем нестрогое неравенство со знаком ≤ . Следовательно. Нас будут интересовать промежутки, на которых парабола располагается ниже оси абсцисс и точка касания. На рисунке нет интервалов, которые удовлетворяли бы нашим условиям. Есть лишь точка касания 0 , 7 . Это и есть искомое решение.

Ответ: Неравенство имеет только одно решение 0 , 7 .

Решите квадратное неравенство – x 2 + 8 · x − 16 0 .

Решение

Ветви параболы направлены вниз. Дискриминант равен нулю. Точка пересечения x 0 = 4 .

Отмечаем точку касания на оси абсцисс и рисуем параболу.

Мы имеем дело со строгим неравенством. Следовательно, нас интересуют интервалы, на которых парабола расположена ниже оси O х . Отметим их синим.

Точка с абсциссой 4 не является решением, так как в ней парабола не расположена ниже оси O x . Следовательно, мы получаем два интервала ( − ∞ , 4 ) , ( 4 , + ∞ ) .

Ответ: ( − ∞ , 4 ) ∪ ( 4 , + ∞ ) или в другой записи x ≠ 4 .

Не всегда при отрицательном значении дискриминанта неравенство не будет иметь решений. Есть случаи, когда решением будет являться множество всех действительных чисел.

Решите квадратное неравенство 3 · x 2 + 1 > 0 графическим способом.

Решение

Коэффициент а положительный. Дискриминант отрицательный. Ветви параболы будут направлены вверх. Точек пересечения параболы с осью O х нет. Обратимся к рисунку.

Мы работаем со строгим неравенством, которое имеет знак > . Это значит, что нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это как раз тот случай, когда ответом является множество всех действительный чисел.

Ответ: ( − ∞ , + ∞ ) или так x ∈ R .

Необходимо найти решение неравенства − 2 · x 2 − 7 · x − 12 ≥ 0 графическим способом.

Решение

Ветви параболы направлены вниз. Дискриминант отрицательный, следовательно, общих точек параболы и оси абсцисс нет. Обратимся к рисунку.

Мы работаем с нестрогим неравенством со знаком ≥ , следовательно, интерес для нас представляют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Судя по графику, таких промежутков нет. Это значит, что данное у условии задачи неравенство не имеет решений.

Источник