- Понятие о квадратном неравенстве и его решении, аналитический способ решения — КВАДРАТНОЕ НЕРАВЕНСТВО И ЕГО РЕШЕНИЕ — КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
- Квадратные неравенства.
- Решение квадратных неравенств. Примеры.
- Первый шаг решения.
- Второй шаг решения.
- Третий шаг решения.
- Всё гораздо проще!
- Если Вам нравится этот сайт.
Понятие о квадратном неравенстве и его решении, аналитический способ решения — КВАДРАТНОЕ НЕРАВЕНСТВО И ЕГО РЕШЕНИЕ — КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Цель: рассмотрение квадратного неравенства и его решения, аналитического способа решения.
I. Сообщение темы и цели урока
II. Изучение нового материала (основные понятия)
Понятие квадратного неравенства аналогично понятию квадратного уравнения. Если в одной части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в другой — число нуль, такое неравенство называют квадратным. Например, неравенства 3х2 — 2х — 1 ≤ 0 и -5х2 + 3х + 2 > 0 являются квадратными. Вообще, если в части неравенства переменная х входит в степени 2 и ниже, то после несложных преобразований такое неравенство сводится к квадратному.
В неравенстве 2х2 ≥ 5х — 3 перенесем (изменяя знак) члены 5х и -3 в левую часть и получим квадратное неравенство 2х2 — 5х + 3 ≥ 0.
Напомним, что решением неравенства с одним неизвестным называется такое значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет. Например, для неравенства примера 1 число х = 2 является одним из решений, а число х = 1,2 — нет.
К квадратным неравенствам приводят многие геометрические и текстовые задачи.
Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую — на 6 см. Площадь получившегося прямоугольника стала больше 45 см3. Какова была сторона квадрата?
Пусть сторона квадрата равна х см, тогда стороны прямоугольника (х + 2) см и (х + 6) см и его площадь равна (х + 2)(х + 6) см2. По условию задачи получаем неравенство (х + 2)(x + 6) > 45 или х2 + 8х + 12 > 45, или x2 + 8x – 33 > 0. Разложим левую часть неравенства на множители (х – 3)(х + 11) > 0. Так как по условию х > 0, то и х + 11 > 0. Разделим обе части неравенства на положительное выражение х + 11, (при этом знак неравенства сохраняется) и получаем линейное неравенство х — 3 > 0, откуда х > 3. Итак, сторона квадрата больше 3 см.
На плану производит построение рота солдат, состоящая не менее чем из 72 человек. Оказалось, что шеренг на 6 больше, чем солдат в каждой шеренге. Сколько может быть солдат в каждой шеренге?
Пусть число солдат в каждой шеренге равно х, тогда число шеренг равно х + 6 и число солдат в роте равно х(х + 6). По условию задачи получаем неравенство х(х + 6) ≥ 72 или х2 + 6х – 72 ≥ 0. Разложим левую часть этого квадратного неравенства на множители (х + 12)(х — 6) ≥ 0. Так как по условию х > 0, то и х + 12 > 0. Разделим обе части неравенства на положительное выражение х + 12 (при этом знак неравенства сохраняется) и получаем линейное неравенство х — 6 ≥ 0, откуда х ≥ 6. Итак, в каждой шеренге находится не менее 6 солдат.
Заметим, что в двух последних примерах по условию задачи возникало дополнительное условие х > 0, что позволило легко свести квадратное неравенство к линейному неравенству и решить его. Теперь рассмотрим решение квадратных неравенств (без ограничений на х).
Решим неравенство x2 + 8х – 33 > 0.
Квадратное уравнение х2 + 8х — 33 = 0 имеет два корня x1 = -11 и х2 = 3. Поэтому квадратный трехчлен x2 + 8x — 33 можно разложить на множители x2 + 8x – 33 = (x + 11)(x — 3). Тогда данное неравенство имеет вид (х + 11)(х — 3) > 0. Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая.
1) Пусть оба множителя положительны, т. е. х + 11 > 0 и х — 3 > 0. Получаем систему линейных неравенств 
Решая систему, имеем 
откуда х > 3. Итак, все числа х > 3 являются решениями неравенства (х + 11)(x — 3) > 0.
2) Пусть оба множителя отрицательны, т. е. х + 11 0. Таким образом, решениями неравенства (х + 11)(x — 3) > 0, а следовательно, и данного неравенства х2 + 8х – 33 > 0 являются числа х 3. Итак, х 3.
Итак, при решении квадратного неравенства ax2 + bx + c > 0 или ax2 + bx + c 0 или а(х – х1)(x – х2) 0). Итак, при a = 2 решение данного неравенства х = 2.
3) Пусть a > 2. Тогда получаем две системы линейных неравенств: 
или 
(решение этой системы 2 ≤ х ≤ a) и 
или 
(такая система решений не имеет, т. к. а > 2). Итак, при а > 2 решение данного неравенства 2 ≤ х ≤ а.
Так как в задачах с параметрами очень важен правильный ответ, то выпишем ответ данной задачи: при а 2 2 ≤ х ≤ а.
Заметим, что аналогичный подход можно использовать и при решении неравенств с модулями. При этом надо помнить, что при возведении в квадрат неотрицательных частей неравенства знак неравенства сохраняется и получается равносильное неравенство (т. е. имеющее те же решения, что и данное неравенство). Учитывая свойство модуля |а| = а2, отпадает необходимость раскрытия модуля.
Решим неравенство 
Возведем в квадрат обе неотрицательные части данного неравенства и получим: 
или 
(при этом знак модуля исчезает). Перенесем все члены неравенства в левую часть 
Используя формулу разности квадратов, разложим эту часть на множители. Имеем: 
или 
или 
Произведение множителей положительно, если множители х — 2 и х + 1 имеют одинаковые знаки. Получаем две системы линейных неравенств.
1) 
или 
Решение этой системы х > 2.
2) 
или 
Решение этой системы х 2.
Решим неравенство 
Возведем в квадрат обе неотрицательные части данного неравенства и получим: 
или 
(при этом знаки модулей исчезают). Перенесем все члены неравенства в левую часть 
Используя формулу разности квадратов, разложим эту часть на множители. Имеем: 
или 
или 
Произведение множителей отрицательно, если множители 2 — х и 3х — 1 имеют разные знаки. Получаем две системы линейных неравенств.
1) 
или 
Решение этой системы x 2.
Итак, решение данного неравенства х 2.
III. Контрольные вопросы
1. Какое неравенство называется квадратным? Приведите примеры.
2. Что называется решением неравенства с одной переменной?
3. Что значит решить неравенство?
4. Как решают квадратное неравенство (опишите алгоритм)?
IV. Задание на уроке
№ 649; 650 (1, 4); 651 (1, 2); 652 (2, 3); 653 (1, 4); 654 (5); 655 (1, 4); 657.
V. Задание на дом
№ 650 (2, 3); 651 (3, 4); 652 (1,4); 653 (2, 3); 654 (6); 655 (2, 3); 658.
VI. Творческие задания
1. При всех значениях параметра а решите неравенство:
Ответы: а) при всех а х = a/2;
б) при всех а х — любое число, кроме х = -3/4а;
в) при всех а решений нет;
г) при всех а х — любое число;
д) при а 1, при а = 1 х — любое число, кроме х = 1, при а > 1 х a;
е) при а 1 2 ≤ х ≤ 2а;
ж) при а 3 3 -4 х ≤ -4 и х ≥ a;
и) при a > 0 х ≤ 2а и х ≥ a, при a = 0 х — любое число, при a > 0 х ≤ a и х ≥ 2a.
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.
© 2014-2021 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.
Источник
Квадратные неравенства.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )
Что такое «квадратное неравенство»? Не вопрос!) Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак «=» (равно) на любой значок неравенства (> ≥ 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства — решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине — неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.
Готовое для решения неравенство имеет вид: слева — квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c, справа — ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.
Подготовка заключается в тождественных преобразованиях неравенств. Прогуляйтесь по ссылке, если хотите узнать главную ошибку учеников при решении любых неравенств.) Там всё просто. Да и полезная информация по неравенствам имеется.
Решение квадратных неравенств. Примеры.
Квадратные неравенства можно решать двумя способами. Один способ — это метод интервалов. Великий и могучий! Годится для любых неравенств вообще! Ему будет посвящён отдельный урок. Здесь же мы разберём более простой способ с использованием парабол. Зачем из пушки по воробьям палить?) Способ годится только для решения квадратных неравенств. Но прост, очень нагляден и не требует никаких особых расчётов. Что, между прочим, резко уменьшает количество ошибок.
Решение будем разбирать на конкретных примерах. Сразу обрадую: любые квадратные неравенства решаются так, как написано далее. Любое решение состоит из трёх шагов. Первый пример я распишу очень подробно. Для понимания. Кто осилит решение до конца, получит приятный бонус.)
1. Решить неравенство:
x 2 -8x+12 ≥ 0
Это неравенство уже готово для решения. Слева — квадратный трёхчлен, справа — ноль. Можно приступать.
Первый шаг решения.
Первый шаг всегда одинаков и прост до ужаса.) Делаем из неравенства уравнение:
Решаем это уравнение.
Знак неравенства на этом этапе нас совершенно не интересует.
Решаем, как обычно, без всяких фокусов, через дискриминант. Получаем корни:
Первый шаг сделан. Можно передохнуть.) Сейчас начнётся самое интересное.
Второй шаг решения.
На этом шаге мы ничего решать не будем. Мы будем рисовать.) Да-да! Квадратные неравенства, как правило, решаются графически.
Знак неравенства и на этом этапе нас совершенно не интересует.
Слово «парабола» вам знакомо?) Вам повезло. В этом случае специально запоминать ничего не придётся. Один раз разобраться, и проблем не будет. В противном случае придётся запомнить алгоритм решения механически. Алгоритм приведён ниже.
Итак, на первом шаге мы из неравенство сделали уравнение. Решили его. На втором шаге из уравнения сделаем параболу:
Нарисуем эту параболу на графике. Вот такая она получится:
Точки 2 и 6 — это корни уравнения x 2 -8x+12 = 0, если помните. ) Они располагаются прямо на оси ОХ. Почему так? А как же!? Сравните уравнение и параболу:
Корни уравнения — это иксы, при которых в правой части уравнения получается ноль. Стало быть, при таких иксах, и игрек нулевой будет. Выражения-то одинаковые. А нулевой игрек — это, как раз, ось ОХ и есть.
Фиксируем в голове: корни уравнения (2 и 6) — это значения икса, при которых выражение x 2 -8x+12 равно нулю. Это важно!
А теперь прикинем: при каких иксах выражение x 2 -8x+12 будет больше нуля? Как раз для такой прикидки нам и нужна парабола. Выражение x 2 -8x+12 это же и есть наш игрек. На графике чётко видно, где игрек больше нуля (положительный) и где он меньше нуля (отрицательный). Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и всё видим.
Если возьмём любую точку левее х=2, например х2, то соответствующий ему у2 будет положительный. Если возьмём точку х1 ещё левее, то пунктир пересечёт график далеко вверху, за пределами картинки, но игрек будет всё равно положительный.
Если мы возьмём икс правее точки х=6, скажем, х5, снова получим положительный у5.
Если же мы возьмём любую точку между х=2 и х=6, например х3 или х4 — мы получим соответствующие им отрицательные значения у3 и у4.
По параболе сразу видно, при каких иксах наш игрек (а это выражение x 2 -8x+12, между прочим!) больше нуля, меньше нуля и равен нулю!
По параболе, визуально, мы мгновенно определили знаки выражения x 2 -8x+12 при различных иксах. Можно нарисовать вот такую картину:
При всех иксах, которые меньше (левее) двойки, парабола проходит выше оси ОХ. Игрек при таких иксах — положительный, т.е. больше нуля. Следовательно, наше выражение x 2 -8x+12 при таких иксах больше нуля. Если мы убежим влево за рисунок, возьмём икс, равный минус сто миллионов, всё равно наше выражение будет больше нуля. Много-много больше.) Парабола — она бесконечная, и внезапно загибаться вниз не может.)
Аналогичная картина получится, если мы возьмём любой икс, больше (правее) шестёрки. Эти области на графике отмечены знаком «плюс»
А вот если мы возьмём любой икс в промежутке между 2 и 6, получим игрек отрицательный. Следовательно, при таких иксах, наше выражение меньше нуля.
Вот, практически и всё. На этом шаге мы руками нарисовали график, глазами увидели параболу, головой сообразили где какие знаки.) Осталось всего ничего.
Третий шаг решения.
На последнем шаге нужно вспомнить, что нам НЕ сказано было «решать уравнение». НЕ сказано было «строить график». Это, всего лишь, наши подручные средства.
Нам было сказано: решать квадратное неравенство!
Знак неравенства на этом этапе играет главную роль!
Смотрим на исходное неравенство:
x 2 -8x+12 ≥ 0
Нам нужно найти все иксы, при которых выражение в левой части неравенство больше, либо равно нулю. А чего их искать? Мы уже всё нашли.) Смотрим на график и видим, что это условие выполняется в областях, где стоит знак «+», (игрек больше нуля) и в точках х=2 и х=6 (игрек равен нулю).
Остаётся просто записать ответ.
Собственно, это и есть третий шаг решения любого квадратного неравенства.)
Вот и записываем окончательный ответ:
х ∈ (-∞; 2] ∪ [6; +∞)
Отмечу один полезный момент в графическом методе. На втором шаге мы определили все области для всех знаков. Махом. Что это значит? А то, что если бы у нас было неравенство противоположного смысла, т.е:
x 2 -8x+12 ≤ 0
то первые два шага были бы те же самые! Отличие прорезалось бы только на последнем, третьем шаге. Этот шаг, если кратко — просто выбор и запись ответа.
Ещё раз повторю: так решаются все квадратные неравенства. В три шага.
Что, долго? График строить, то, сё.
Спокойствие! Обещанный бонус резко упростит жизнь!)
Всё гораздо проще!
Для тех, кто героически добрался до этих строк и понял смысл использования параболы.) Сейчас, прямо на ваших глазах, я упрощу второй шаг решения до шести секунд. Без потери качества.)
Предположим, что вы сделали первый шаг и правильно решили квадратное уравнение. Теперь надо рисовать наш график:
Собственно, этот процесс и напрягает.) Но. Математики (вы удивитесь!) тоже люди.) И тоже не любят лишнюю работу. Смотрим на график, и соображаем: без чего на этой картинке можно обойтись?
Нужна ли нам ось ОУ? Если мы и так знаем, что часть параболы выше оси ОХ даёт положительные значения выражения, а ниже — отрицательные.
Не нужна нам ось ОУ. Её наличие никак не сказывается на правильном решении.
Нужна ли нам математически точная форма параболы?
Не нужна. Точная форма никак не сказывается на правильном решении.
Наводим мышку на график и. видим рисунок, который много проще графика. Рисуется за несколько секунд. На этом неказистом рисунке есть вся необходимая информация для верного ответа. И ничего лишнего.
Выделю главные элементы рисунка, которые необходимы для верного решения:
1. Ось иксов требуется, да. )
2. Корни соответствующего квадратного уравнения. Они отмечаются точками на оси. Точки могут быть чёрные, закрашенные (как в нашем случае), или белые, пустые внутри, как будет в следующем примере. Пустые внутри точки ещё называются выколотые точки. Чёрные точки ставятся для нестрогих неравенств (≤; ≥). Они визуально напоминают нам, что корни включаются в ответ. Выколотые точки ставятся для строгих неравенств ( ; ≠) и напоминают, что корни в ответ не включаются.
3. Схематичный рисунок параболы. Здесь важно только одно: куда направлены ветви параболы, вверх или вниз.
Всё. Штриховка, знаки плюс/минус — на любителя. Нужны поначалу, пока глаза и мысли разбегаются.)
Сейчас можно записать алгоритм решения квадратных неравенств по схематичному рисунку. Собственно, это те же самые три шага, только более подробно.
Алгоритм решения квадратных неравенств.
1. Подготавливаем неравенство к решению путём тождественных преобразований. Если неравенство уже готово, этот пункт пропускаем.
2. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.
3. Рисуем ось Х, отмечаем точками корни уравнения. Если исходное неравенство нестрогое, точки — черные (закрашенные). Если строгое — белые (пустые внутри).
4. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.
5. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному неравенству и записываем ответ.
Потренируемся в применении алгоритма?)
-x 2 +3x > 0
Первый пункт пропускаем. Неравенство уже готово к решению.
Второй пункт. Делаем из неравенства уравнение:
Решаем (любым способом), находим корни:
Третий пункт. Рисуем ось иксов, отмечаем на ней корни уравнения:
Здесь точки на оси белые, т.к. исходное неравенство — строгое.
Четвёртый пункт. Рисуем (схематично!) параболу:
Парабола будет вверх ногами, извиняюсь, вниз ветвями.) Это потому, что в исходном выражении перед x 2 стоит минус. Минус перед одночленом с квадратом икса всегда переворачивает параболу.
Пятый пункт. Определяем области «+» и «-» на рисунке. Смотрим на исходное неравенство и соображаем, какое условие должно выполняться: больше нуля, или меньше? Нам надо больше нуля. Можно этот промежуток подштриховать. Для красоты):
Смотрим на картину и записываем ответ:
х ∈ (0; 3)
x 2 ≤ 4
Очень простое неравенство. Такое простое, что многие тут же косячат!) Не надо писать сразу x≤ ±2! Это редкий бред, да. ) Надо выполнять первый пункт.
Первый пункт. Готовим неравенство к решению. Переносим четвёрку влево, получаем:
x 2 — 4≤ 0
Вот теперь, всё как надо. Слева — выражение, справа — ноль.
Второй пункт:
Третий пункт:
Четвёртый пункт:
Пятый пункт:
х ∈ [-2; 2]
Вот и все дела! Десяток-другой примеров — и проблем с квадратными неравенствами не будет. Алгоритм прост и безотказен в обращении!)
Вот тут у особо быстрых возникает вопрос. А зачем я писал про параболу?! Почему сразу не дал алгоритм и примеры?!
Отвечаю. Если бы вы знали, сколько народу сыпется на применении тупо заученного алгоритма. А уж при малейшем отклонении от шаблона, простое задание становится вообще нерешаемым. Ниже будет парочка таких примеров. Если понимаете смысл алгоритма, шанс решить есть. Если же не понимаете. Понимание всегда побеждает механическую память.
1. Решить неравенство:
8x 2 — 6x + 1 > 0
2. Найти наименьшее положительное целое решение наравенства:
-x 2 + 2x ≥ -3
3. Найти все значения х, не являющиеся решением неравенства:
x 2 ≥ 16
4. Решить неравенство:
x 2 + 7x + 10 ≠ 0
5. Решить неравенство:
x 2 + 3x + 8 > 0
6. Решить неравенство:
x 2 — 4x + 4 2 — 4x + 4 ≤ 0
Ответы, в беспорядке, разумеется.)
х ∈ (-∞; -5) ∪ (-5; -2) ∪ (-2; +∞)
х ∈ (-∞; 0,25) ∪ (0,5; +∞)
х ∈ (-4; +4)
х ∈ Ø
Ну как, успешно? Поздравляю!
Примеры 2 — 4 не очень идут?) Понимаю. Это специально. В этих примерах первый источник ошибок присутствует, да.
Примеры 5 — 7 плохо решаются? Бывает. Кстати, подсказка. Если вы думаете, что в пятом примере решения нет, то ошибаетесь. Есть там решение. В этих примерах присутствует второй источник ошибок.
Вот эти два источника и дают фонтан ошибок при решении квадратных неравенств.) Что это за источники, и как просто и надёжно их перекрыть, написано в Разделе 555, если что. Там подробно расписано решение всех этих примеров с акцентом на основных проколах. Да и вообще, много чего хорошего есть.)
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
Источник
