Алгоритм аналитического способа решения

Аналитический метод решения

При аналитическом методе решения отправляются не от условия задачи, как это делают при синтетическом методе, а от ее требования, вопроса. Это характерно для всех разновидностей аналитического метода, применяемых при решении задач.

Решение задач аналитическим методом начинается с постановки следующего вопроса, связанного с требованием решаемой задачи: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос данной задачи (выполнить требование)?» Для правильного ответа на поставленный вопрос необходимо знать данные задачи и учитывать те зависимости, которые связывают их с искомым числом.

Пусть для вычисления искомого Y основной задачи требуется знать, например, числа p₁ и q₁, из которых при помощи некоторого математического действия можно получить Y, т.е. решить основную задачу. Итак, основная задача с требованием Y преобразовалась в первую серию вспомогательных задач с искомыми p₁ и q₁. Обозначим первую серию вспомогательных задач через В₁. Ставим тот же вопрос к каждой из вспомогательных задач: «Что нужно знать, чтобы найти p₁ (q₁)?» и опять при ответе на этот вопрос используем условие А основной задачи, а также арсенал математической теории.

Пусть для вычисления p₁ нужно знать p₂ и q₂, а для вычисления q₁ – знать . Теперь основная задача преобразовалась во вторую серию (В₂) вспомогательных задач, включающих задачи по нахождению p₂, q₂, .

Продолжая процесс преобразования, получаем, наконец, такую серию (В_n) вспомогательных задач, искомые которых содержатся во множестве данных основной задачи.

Итак основная задача решена аналитическим методом, поскольку этим методом проведен поиск и найден путь решения задачи; главное здесь именно в этом, а не в оформлении записи уже известного решения.

Найденное аналитическое решение можно изложить различными способами, в том числе и синтетическим. В последнем случае пришлось бы следовать от конца аналитического рассуждения к его началу, не производя при этом никаких поисков.

Если основную задачу условно записать формулой А У, описанный выше аналитический путь преобразования задачи изобразится схемой:

,

Где А В_n, В_n B_n-1, . . . , В₁ У, откуда А У.

К рассмотренной в предыдущем пункте текстовой задаче применим аналитический метод решения. Наличие двух искомых в задаче несколько осложняет построение рассуждений, поэтому можно ограничиться сначала одним искомым, найти его и затем воспользоваться им как уже известным числом при отыскании пути получения второго искомого. Рассмотрим схему:

• За сколько часов может выполнить всю работу, работая отдельно, та машина, которая продолжила работу?
• Часть всей работы, выполненная этой машиной.
• Сколько часов работала эта машина отдельно когда она работала отдельно
• Объем всей работы
• Часть всей работы, выполненная двумя машинами совместно
• За сколько часов машины вместе Выполнят всю работу?
• Сколько часов они работали совместно?

Такой поиск обычно проводится устно и завершается составлением плана решения. Аналогично теперь можно построить схему аналитического поиска второго числа основной задачи (сделайте самостоятельно!).

В практике решения задач методы анализа и синтеза полностью разделить, изолировать друг от друга невозможно. Они полезно сочетаются. При аналитическом методе имеют место скрытые элементы синтеза. Например, преобразуя требование основной задачи в требования первой серии вспомогательных задач, мы неявно проверяем правильность этого преобразования, возможность синтезирования из искомых чисел задач первой серии искомого основной задачи.

Широкое применение находит аналитический метод при решении геометрических задач на вычисление. Здесь удобно начинать решение с соответствующей формулы, которая и показывает, какой будет первая серия вспомогательных задач и т.д. Кратко продемонстрируем это на примере следующей геометрической задачи.

Задача. В конус вписана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник и боковая грань которой, проходящая через один из катетов основания, образует с плоскостью основания двугранный угол α. Найти объем пирамиды, если образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом β.

Р е ш е н и е. Начертим конус с вписанной в него пирамидой МАВС, в которой длины боковых ребер МА = МВ = МС = l, АС – гипотенуза треугольника АВС, центр основания конуса – точка О, Ао = ОС, ÐМАО=β, ÐМDО = α.

Формула объема пирамиды . Задача сводится к нахождению площади основания S и высоты H = MO. (Первая серия из двух вспомогательных задач; последнюю из этих задач можно решить по имеющимся данным.).

Из прямоугольного треугольника ОМА находим Н = ОМ = lsinβ.

Для нахождения площади основания надо найти длины катетов АВ и ВС. (Получаем вторую серию из двух вспомогательных задач.)

Для определения АВ достаточно найти ОD – длину средней линии треугольника АВС, а для вычисления ВС надо найти АС ( третья серия из двух вспомогательных задач; решение первой задачи уже известно):

OD = MO ctgα = l sinβ ctg α.

Для получения АС достаточно знать АО ( четвертая серия – одна задача, которую можно решить):

; ; ;

;

;

.

Приведенное решение является очень кратким (отсутствуют выкладки, обоснования), чтобы выделить метод решения. Учащиеся, чтобы научиться решать задачи, должны делать полные математические выкладки и уметь обосновывать каждый свой шаг в процессе решения ссылкой на условие задачи или изученную математическую теорию.

Хотя путь поиска на основе аналитического метода решения не всегда однозначен, однако он все же менее многозначен и более определен, чем путь поиска при синтетическом методе решения. Аналитический метод удобен для поиска пути решения новой для учащихся задачи, он опирается на определенное умение школьника рассуждать и эффективно способствует развитию его продуктивного, логического и функционального мышления. В результате систематического применения аналитического метода решения задач у учащихся быстрее формируется умение cамостоятельно решать новые для них задачи, чем при пользовании синтетическим методом.

Источник

Теоретический материал по теме: «Методы решения задач» (начальная школа)

Синтетический и аналитический методы решения задач

Необходимое условие решения сложной задачи – умение решать простые задачи, к которым сводится любая составная задача. При наличии такого умения вся проблема состоит в том, чтобы найти ту совокупность простых задач, решение которых приведет к выполнению требования основной задачи. Здесь возможны два основных пути поиска решения: синтетический и аналитический (по Н.В. Метельскому).

Часто при решении составной задачи многие ученики берут любое данное из условия задачи и к нему присоединяют какое-либо из остальных данных. Если эти данные образуют простую задачу, то ее решают, если простой задачи не получилось, образуют другую пару данных и в результате решения первой простой задачи получают первое вспомогательное данное. Используя вспомогательное данное и какое-либо из остальных данных основной задачи, решают вторую простую задачу и получают второе вспомогательное данное и т. д., до тех пор, пока не получат такой простой задачи, результат которой является искомым основной задачи.

Это и есть синтетический метод решения задач. Если основную задачу условно записать: АÞX, а первую и последнюю из конечной совокупности простых задач, из которых состоит решение основной задачи, обозначить соответственно через а1 и аn, то процесс решения задачи синтетическим методом можно записать в виде:

Синтетический метод широко применяется при решении задач арифметическим способом.

Основной недостаток синтетического метода – отсутствие какого бы то ни было критерия в вопросе, с чего, с каких данных начинать решение и какие вспомогательные величины определять, какие простые задачи решать в дальнейшем, чтобы решить основную задачу. Этот метод мало пригоден для отыскания новых решений и слабо способствует научению школьников самостоятельно решать задачи, логически рассуждать, продуктивно мыслить. Пользуясь синтетическим методом, учащиеся нередко выполняют лишнюю работу, а иногда слабый ученик может предложить бессмысленное действие. Единственное, на что в некоторой степени можно опереться, применяя синтетический метод – это прошлый опыт ученика в решении задач, аналогии, ассоциации, которые может вызвать решаемая задача. Некоторую помощь учащимся оказывает здесь и анализ, проявляющийся в скрытой, неявной форме.

Достоинством синтетического метода является компактность, достигаемая при изложении готовых решений, полученных в процессе синтетического или аналитического поиска.

Несмотря на низкую поисковую и дидактическую эффективность синтетического метода, он пользуется популярностью у школьников и даже учителей, поскольку весьма прост и не требует большого мыслительного напряжения.

При аналитическом методе решения отправляются не от условия задачи, как это делают при синтетическом методе, а от ее требования, вопроса. Это характерно для всех разновидностей аналитического метода, применяемых при решении задач.

Решение задач аналитическим методом начинается с постановки следующего вопроса, связанного с требованием решаемой задачи: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос данной задачи (выполнить ее требование)?» Для правильного ответа на поставленный вопрос необходимо знать данные задачи и учитывать те зависимости, которые связывают их с искомым числом.

Пусть для вычисления искомого Х основной задачи требуется знать, например, числа pi и qi, из которых при помощи некоторого математического действия можно получить X, т. е. решить основную задачу. Таким образом, сначала основная задача с требованием Х преобразовалась в первую серию вспомогательных задач с искомыми pi и qi, Обозначим первую серию вспомогательных задач через В1. Ставим тот же вопрос к каждой из вспомогательных задач: «Что нужно знать, чтобы найти p1 (q1), и опять при ответе на этот вопрос используем условие (А) основной задачи, а также взаимосвязи между этими данными.

Пусть для вычисления p1 требуется знать p2 и q2, а для вычисления q1, — знать p2’ и q2’. Теперь основная задача преобразовалась во вторую серию (B2) вспомогательных задач, включающую задачи по нахождению p2 и q2, p2’ и q2’,

Продолжая процесс преобразования, получаем, наконец, такую серию (Вn) вспомогательных задач, искомые которых содержатся во множестве данных основной задачи. Искомое число любой из вспомогательных задач предыдущих серий также могло оказаться известным, и тогда эта вспомогательная задача не подвергается преобразованию с помощью аналитического метода.

Таким образом, основная задача решена аналитическим методом, поскольку этим методом проведен поиск и найден путь решения задачи, главное здесь именно в этом, а не в оформлении записи уже известного решения.

Найденное аналитическое решение можно изложить различными способами, в том числе и синтетическим. В последнем случае пришлось бы следовать от конца аналитического рассуждения к его началу, не производя при этом никаких поисков.

Если основную задачу условно записать формулой АÞX, описанный выше аналитический путь преобразования задачи изобразится схемой: а первую и последнюю из конечной совокупности простых задач, из Х –В1 –В2 – … – Вn-1 – Bn, где АÞ Bn, BnÞВn-1, …, В1ÞX

Если после внимательного ознакомления ученика с условием и требованием задачи путь решения ему очевиден или почти очевиден, поиск решения лучше осуществлять синтетическим методом. Аналитический метод применяется тогда, когда задача достаточно сложная и прошлый опыт ученика не подсказывает ему плана решения или примерного направления поиска.

В практике решения задач методы анализа и синтеза полностью разделить, изолировать друг от друга невозможно. Они полезно сочетаются. При аналитическом методе имеют место скрытые элементы синтеза. Например, преобразуя требование основной задачи в требования первой серии вспомогательных задач, мы неявно проверяем правильность этого преобразования, возможность синтезирования из искомых чисел задач первой серии искомого основной задачи.

Хотя путь поиска на основе аналитического метода решения не всегда однозначен, однако он все же менее многозначен и более определенен, чем путь поиска при синтетическом методе решения. Аналитический метод удобен для поиска пути решения новой для учащихся задачи, он опирается на определенное умение школьника рассуждать и эффективно способствует развитию его продуктивного, логического и функционального мышления. В результате систематического применения аналитического метода решения у учащихся быстрее формируется умение самостоятельно решать новые для него задачи, чем при пользовании синтетическим методом. Аналитический метод решения задач на вычисление должен найти достаточно широкое применение и рациональное сочетание с другими методами.

Способы рассуждений при разборе задач

На основе аналитического и синтетического методов решения задач при работе над поиском решения задачи применяются два основных способа разбора задачи: аналитический (анализ) и синтетический (синтез). Однако на практике чаще употребляют аналитическо-синтетический разбор задачи.

Под анализом подразумевают способ рассуждений от общего к частному (анализировать – разбивать на составляющие), таким образом при разборе текста задачи от вопроса к данным применяется аналитический способ.

Под синтезом подразумевают способ рассуждений от частного к общему (синтезировать – получать из частей). В задачах это разбор от данных к вопросу, однако, назвать этот метод чисто синтетическим нельзя, т.к. прежде, чем получать метод разбора от данных к вопросу, эти данные нужно предварительно вычленить из задачи, т.е. проанализировать условие задачи.

Непосредственно сам разбор задачи представляет собой цепочку рассуждений, основанных на анализе и синтезе. Организуя разбор задачи вместе с детьми, учитель должен продумать систему специально подобранных вопросов, при помощи которых организуется выбор решения задачи. Эти вопросы не должны быть наводящими, должны вести к самостоятельному выбору решения. Разбор составной задачи заканчивается составлением плана решения. Если вы разбираете задачу с одновременным составлением схемы разбора, то план решения прослеживается прямо по схеме.

Проиллюстрируем различные способы разбора задач на примере следующей задачи: «За день туристы преодолели 100 км. 84 км они проехали автобусом, а остальной путь прошли пешком за 4 часа. Сколько километров туристы проходили за 1 час?» [Б3, №716].

В результате анализа содержания задачи появляется ее краткая запись в виде чертежа:

Направление рассуждений будет следующим:

1) Разбор от вопроса к данным.

Что спрашивается в задаче? (Сколько км туристы проходили за 1 час?) Что нужно знать, чтобы ответить на этот вопрос? (Путь, который прошли туристы и время, которое они затратили на этот путь). Можно ли сразу узнать, сколько км туристы проходили за 1 час? (Нельзя, т.к. мы не знаем путь, который они прошли). Можно ли сразу узнать путь, пройденный пешком? (Можно). Почему вы думаете, что можно? (Так как мы знаем общий путь и путь, пройденный пешком). Далее осуществляется наметка плана решения.

Схема разбора задачи появляется одновременно с самим разбором.

2) Разбор от данных к вопросу.

Выберите два данных в задаче, по которым можно сразу что-то узнать. (100 км и 84 км). Что можно узнать по этим данным? (Путь, пройденный туристами пешком). Предположим, что мы узнали этот путь. Что сказано об этом пути в задаче? (Что он пройден за 4 часа). Что можно было бы узнать, если известен путь и известно время его прохождения? (Скорость движения на этом участке пути). Где это можно использовать в решении задачи? (Ответим на вопрос задачи). Что можно узнать? (Скорость движения туристов пешком).

Далее следует наметка плана решения.

3) Комбинированный разбор.

Что спрашивается в задаче? (Сколько километров туристы проходили за 1 час?). Можно ли сразу узнать скорость? (Нет). Почему нельзя? (Не известен путь, пройденный пешком). В задаче еще есть два числа, какие? (Весь путь 100 км и путь, проделанный на автобусе 84 км). Что можно узнать по этим данным? (Путь, пройденный туристами пешком). Нам это пригодится? (Да, мы сможем найти путь, пройденный пешком).

Далее следует наметка плана решения.

Рассмотрим типичные ошибки, которые допускают студенты, а зачастую и учителя начальных классов при разборе задач. Например: вернемся к задаче «С первого участка было собрано 5 одинаковых корзин моркови, а со второго – три такие же корзины, причем с первого участка собрали на 30 кг моркови больше, чем с первого. Сколько килограммов моркови собрали с каждого участка?».

а) от вопроса к данным: Каков главный вопрос к задаче? (Сколько килограммов моркови собрали с каждого участка?) Можем ли мы сразу на него ответить? (Нет). Почему? (Не знаем массу одной корзины). Как же найти массу одной корзины? (Нужно знать массу нескольких корзин и их количество). Почему морковь, собранная с первого участка весила на 30 кг больше? (Т.к. с этого участка собрали больше корзин). Можно ли узнать, какое количество корзин весит 30 кг? Каким действием? (Вычитанием). Можно ли теперь ответить на главный вопрос задачи? (Да. Можем найти массу одной корзины, а также знаем количество корзин). Каким образом? (Сначала делением найдем массу одной корзины, потом умножением массу пяти и трех корзин).

б) от данных к вопросу (чаще всего используется учителями начальной школы): Зная, сколько корзин собрали с 1-го и 2-го участков, что можно найти? (На сколько корзин больше собрали). Каким действием? (Вычитанием). Теперь, зная, на сколько корзин больше собрали с 1-го участка, чем со 2-го и на сколько килограммов больше, что можно найти? (Массу одной корзины). Каким действием? (Делением). Зная массу 1 корзины и количество корзин, что можно найти? (Общие массы моркови). Каким действием? (Умножением).

Второй способ разбора (б) данной задачи не дает детям возможности выбора другого способа решения, кроме предложенного учителем. Получается, что учитель навязывает ученикам способ решения задачи, лишая их возможности думать и действовать самостоятельно. Первый способ разбора (а) наиболее полно выделяет основные связи в задаче, однако тоже содержит подсказку решения.

Рассмотрим еще один способ разбора данной задачи.

б1) от данных к вопросу (отличается от способа (б) тем, что не навязывает детям способа решения, а помогает выбрать из всех возможных связей те, которые нужны для решения данной задачи). Какой главный вопрос задачи? (Сколько моркови собрали с каждого участка?) Что значит «с каждого участка»? (Это значит с первого участка и со второго участка). Можем ли мы сразу ответить, сколько моркови собрали с первого участка? (Нет). А со второго участка? (Нет). Почему? (У нас недостаточно данных). Какие данные у нас есть? (Количество корзин, собранных с первого участка и со второго участка, а также, на сколько килограммов моркови больше собрали с первого участка). Зная, сколько корзин собрали с 1-го и 2-го участков, что можно найти? (Сколько корзин собрали всего, с какого участка собрали больше (меньше) корзин и на сколько). Какими действиями? (Сложением или вычитанием). Подумайте, что мы можем узнать, если будем знать, сколько корзин всего. (Мы могли бы узнать, сколько килограммов моркови в одной корзине, но для этого мы не знаем общую массу всех корзин. Или сколько килограммов моркови всего, но для этого мы не знаем массу одной корзины. Следовательно, эти данные нельзя будет использовать). А сможем ли мы использовать при решении знание того, на сколько больше (меньше) корзин собрали с одного из участков? (Да. Если мы будем знать, на сколько корзин больше собрали с первого участка и на сколько больше килограммов собрали с этого участка, мы сможем сделать вывод, что именно на эти корзины и приходятся 30 кг, данные в задаче). Значит, зная, на сколько корзин больше собрали с одного из участков и сколько килограммов приходится на эти корзины, что можем найти? (Какова масса одной корзины). Каким действием? (Делением общей массы корзин на их количество). Теперь, если мы знаем массу одной корзины и количество корзин, собранных с каждого из участков в отдельности, что можно найти? (Можно найти массу моркови, собранную с каждого из участков в отдельности и общую массу всей моркови с двух участков). Какой из вариантов нужен нам, что бы ответить на вопрос задачи? (Сколько килограммов моркови собрали с каждого участка в отдельности. Найдем действием умножения).

Многочисленные психологические исследования показали, что анализ выступает в различных формах: анализ-«фильтр» и анализ через синтез. При применении анализа-«фильтра» человек, решающий задачу просто наугад ищет ее решение, пробуя все возможные варианты, отбрасывая ненужные. Анализ через синтез представляет собой основу любого мыслительного процесса, поэтому его использование при решении задач предпочтительнее.

1. Дана задача: «Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них проходит это расстояние за 20 часов, другой за 30 часов. Через сколько часов поезда встретятся?» Рассмотрите схему разбора этой задачи и подумайте ее разбор с вопроса; с данных; комбинированным способом. Какой способ разбора кажется вам наиболее удачным? Как вы думаете, от чего зависит выбор способа разбора задачи?

2. Дана задача: «В один магазин привезли 15 ящиков с фруктами, в другой 10 таких же ящиков. В первый магазин привезли фруктов на 60 кг больше, чем во второй. Сколько килограммов фруктов привезли во второй магазин?» Сделайте разбор задачи разными способами с использованием схемы разбора. Выберите наиболее удачный способ ее разбора. Дополните разбор графической иллюстрацией.

3. К задаче из предыдущего задания приготовьте серию вопросов, предназначенных для: запоминания чисел; отделения известного от неизвестного; выделения величин и установления связей между ними; разбиения задачи на смысловые ситуации; прогнозирование ответа. Синтезируйте все подготовленные вопросы в краткую беседу. Можно сопровождать ее иллюстрацией. Что дает такого рода работа над задачей?

Решение задачи, способы записи арифметического решения задачи

Запись арифметического решения задачи может быть выполнена по-разному:

1. по действиям с ответом;

2. по действиям с пояснениями после каждого действия;

3. с вопросами перед каждым действием;

4. по действиям с предварительной записью плана;

5. числовым выражением;

6. схематической моделью;

7. комбинированным способом, включающим в себя несколько вышеперечисленных.

Проиллюстрируем возможные способы записи арифметического решения задач на примере задачи о корзинах с морковью. Напомним ее содержание: «С первого участка было собрано 5 одинаковых корзин моркови, а со второго – три такие же корзины, причем с первого участка собрали на 30 кг моркови больше, чем с первого. Сколько килограммов моркови собрали с каждого участка?»

Запись решения по действиям с ответом

Ответ: с первого участка собрали 75 кг моркови, а со второго – 45 кг.

Запись решения по действиям с пояснениями после каждого действия

1. 5–3 = 2 (к.) – больше с первого участка;

2. 30:2 = 15 (кг) – масса одной корзины;

3. 15×5 = 75 (кг) – собрали с первого участка;

4. 15×3 = 45 (кг) – собрали со второго участка.

Ответ: с первого участка собрали 75 кг моркови, а со второго – 45 кг.

Запись решения задачи с вопросом к каждому действию

1. На сколько корзин больше собрали с первого участка?

2. Какова масса одной корзины?

3. Сколько килограммов моркови собрали с первого участка?

4. Сколько килограммов моркови собрали со второго участка?

Ответ: с первого участка собрали 75 кг моркови, а со второго – 45 кг.

Запись решения задачи с планом решения

1. Узнать, на сколько корзин больше на 1 участке (вычитание).

2. Узнать массу 1 корзины (деление).

3. Узнать массу моркови, собранной с первого участка (умножение).

4. Узнать массу моркови, собранной со второго участка (умножение).

Ответ: с первого участка собрали 75 кг моркови, а со второго – 45 кг.

Запись решения задачи при помощи числового выражения

Данная задача в записи решения будет иметь не одно, а два числовых выражения. Это связано с тем, что в задаче практически два вопроса, на каждый из которых нужно ответить.

Ответ: с первого участка собрали 75 кг моркови, а со второго – 45 кг.

Выбор формы записи решения зависит от ситуации на уроке и навыков письма детей. Например, если дети пишут медленно, на уроке можно ограничиться записью решения задачи по действиям с ответом или выражением, а на дом задать задачу и потребовать описать её. Запись решения задачи выражением более компактна и показывает, что ребенок понимает все связи в задаче.

Как показывает практика, многие студенты педагогических факультетов, а иногда и учителя начальных классов не понимают разницы между различными способами решения и различными формами записи решения задачи. Один и тот же способ решения текстовой задачи можно записать каждым из первых пяти перечисленных выше форм.

Рассмотрим возможные варианты обучения детей записи решения задачи при помощи числового выражения.

На этапе ознакомления с решением задач нового типа этот способ записи решения задачи могут использовать не все учащиеся, а лишь единицы. На данном этапе целесообразно использовать запись решения задачи по действиям с вопросами или пояснениями, либо в соответствии с составленным планом.

Если же навык решения задач данного вида отработан, то запись решения числовым выражением имеет ряд преимуществ: учащемуся требуется гораздо меньше времени на оформление задачи; появляется возможность решить за урок гораздо больше задач. Ведь не секрет, что младшие школьники пишут медленно, а запись решения задачи выражением более компактна. Кроме того, решая задачи составлением выражений, дети лучше готовятся к обучению в старших классах. Углубляются знания свойств и законов арифметических действий, представления о числовом выражении и его значении, т.е. осуществляется алгебраическая пропедевтика. В задачах с буквенными данными решение записывается только выражением.

Анализ методической литературы по вопросу обучения детей записи решения задачи составлением выражения и анализ просмотренных уроков математики в начальной школе позволил нам выделить следующие подходы к решению данного вопроса: способ последующей работы над записью решения задачи и способ поэтапной записи выражения в процессе решения задачи (названия автора).

Приведем примеры организации учебно-познавательной деятельности учащихся при их обучении записи решения задач при помощи числового выражения двумя вышеперечисленными способами.

Первый способ – способ последующей работы над записью решения задачи выражением после ее решения по действиям. Работа над решением задачи и его записью проводится в такой последовательности: учащиеся сначала решают задачу по действиям, а потом учитель предлагает составить по полученным действиям выражение.

Пусть дана задача: «В 5 одинаковых коробок можно положить 30 кг печенья. Сколько потребуется таких коробок, чтобы упаковать 54 кг печенья?»

1) 30:5=6 (кг) – масса одной коробки.

Ответ: потребуется 9 коробок.

Выражение: 54:(30:5)=9 (к.)

Если учитель объясняет, как составлено это выражение, то это часто выглядит так:

Рассмотрим последнее действие – 54:6. Число 54 дано в условии, а числа 6 в условии нет. Как было получено число 6? (30:5).

Заменим число 6 выражением 30:5. Мы должны показать, что это первое действие, поэтому нужно поставить скобки. Получилось выражение 54:(30:5).

Итак, выражение составляют, начиная с последнего действия и следя за тем, чтобы в нем остались только те числа, которые даны в условии задачи.

Второй способ – способ поэтапной записи выражения. Детей учат записывать выражение к задаче, делая это постепенно, с пояснениями.

На примере это может выглядеть так:

Что узнаем сначала? (Массу одной коробки с печеньем).

Запишем это выражение, но вычислять его значения не будем.

30:5 (кг) – масса коробки с печеньем.

Что узнаем потом? (Сколько понадобится таких коробок для 54 кг печенья).

Как? (54 разделим на выражение, полученное в первом действии, т.е. на массу одной коробки: 54:(30:5) (к.)).

Мы составили к задаче выражение, теперь найдем его значение.

Многие учащиеся в этом случае говорят, что если бы сразу нашли ответ первого действия, то задача была бы уже решена. Такая запись заставляет дважды рассматривать решение задачи. Потеря времени не нравится детям, многие уже нашли ответ по действиям и не видят смысла другой записи решения задачи.

Оба эти способа обучения записи решения задачи выражением являются традиционными.

Мы предлагаем третий способ обучения записи решения задачи составлением числового выражения – способ одновременного анализа задачи и составления выражения к ней. При этом можно одновременно научить детей делать схему разбора задачи, используя ее вместо краткой записи.

Разбор при этом начинают с вопроса:

Что спрашивается в задаче? (Сколько потребуется коробок для упаковки 54 кг печенья?)

Какие два данных нам нужно знать для ответа на этот вопрос? (Надо знать, сколько было печенья и сколько его помещается в одну коробку).

Есть у нас эти данные? (Массу печенья знаем, а массу одной коробки не знаем, знаем только, что она одинакова).

А если бы знали массу одной коробки, то каким действием нашли бы ответ? (Делением).

Появляется запись (рис.1).

А можно ли узнать массу одной коробки? (Можно).

Почему вы так думаете? (Все коробки одинаковые, знаем, что 30 кг упаковали в 5 коробок).

Каким действием узнаем массу одной коробки? (Делением).

Получилось выражение (рис.2).

Найдем его значение, надписав промежуточный результат сверху. Запишем ответ. Окончательно запись выглядит так (рис.3).

Покажем такую же работу на примере более сложной задачи. Дана задача «Один трактор работал в неделю 50 ч, а другой – 48 ч. Оба трактора при одинаковой норме израсходовали 686 л горючего. Сколько литров горючего израсходовал за неделю каждый трактор?»

Окончательная запись в тетради при решении этой задачи в тетради имеет вид (рис.4).

Эта запись возникает постепенно, в процессе анализа задачи учеником.

Рассмотрим ее появление блоками:

Что означают слова «каждый трактор»? (Это значит первый и второй трактор в отдельности). Какие данные у нас есть, чтобы узнать расход горючего первым трактором? (Время работы знаем, а расход горючего в час не знаем). Если бы знали, то каким действием нашли бы ответ? (Умножением). Запишем это (рис.5).

Надо узнать расход горючего в час. Что для этого надо знать? (Общий расход горючего – 686 л и время, за которое это горючее израсходовано. Это время мы не знаем).

Каким действием мы могли бы узнать расход горючего в час, если бы знали время? (Делением).

Запись принимает вид (рис.6).

Можно ли узнать это время? (Можно. Есть оба данных: 50 ч и 48 ч.). Каким действием? (Сложением).

Запись принимает вид (рис.7).

1) 686:(50+48)×50=350 (л)

Что осталось узнать? (Сколько горючего израсходовал второй трактор).

Можно это узнать? (Можно).

Почему? (Всего израсходовали 686 л, и первый трактор израсходовал 350 л, значит, остальное горючее израсходовал второй трактор). Запись приобретает вид (рис.4).

Возможен и другой способ нахождения ответа на последний вопрос, он нас тоже устроит. Появляется окончательная запись решения. Письменно дети подсчитывают только то, что не могут сосчитать устно. Наличие схемы разбора в тетради не обязательно, ее можно делать на черновике. Учитель может проконтролировать понимание решения различными способами, как прямыми, так и косвенными (прямые – объяснить устно каждый шаг, написать план решения и т.д.; косвенные – решить похожую задачу, составить обратную и т.д.).

Предложенный способ позволяет экономить время записи решения задач. Кроме того, в процессе данной работы дети овладевают деятельностью схематизации, а затем и моделирования (анализ текста задачи, математизация, преобразование модели, соотнесение полученной модели с задачей). Именно такая деятельность помогает детям глубже проникнуть в суть задачи. При одновременном построении схемы разбора задачи и записи решения виден развернутый план решения задачи и арифметические действия, которые необходимо выполнить. Схема разбора выступает в данной ситуации в двух функциях: абстрактной модели и конкретного отображения содержания, связей и решения задачи.

Выбор приема ознакомления детей с записью решения задачи составлением числового выражения, на наш взгляд, должен осуществляться дифференцированно, в зависимости от состава класса. Можно применять все три приема последовательно. Например, сначала объяснить материал третьим способом, затем, по необходимости, применять первый и второй способы в индивидуальной работе.

Некоторые учителя записи решения задачи числовым выражением предпочитают запись решения по действиям, мотивируя тем, что ребенок должен пояснять каждое действие, и это является гарантией того, что он понимает решение задачи. Но ведь если ребенок записал выражение для решения задачи, то им уже прослежены все связи, он понимает, как решена задача.

Часто методические объединения учителей математики школы второй ступени считают, что запись задачи по действиям с вопросами или пояснениями является пропедевтикой решения задач алгебраическим способом, и поэтому настоятельно рекомендуют учителям начальной школы требовать от детей оформлять запись решения задачи только по действиям с вопросами.

На наш взгляд, в пропедевтику решения задач при помощи уравнения входят две равноправные части:

1. запись задачи по действиям (с пояснениями или вопросами), что является подготовкой непосредственного описания решения задачи;

2. запись решения задачи при помощи выражения, что является подготовкой к составлению и записи самого уравнения.

Ведь чтобы составить уравнение к решению задачи учащийся должен не только проанализировать и описать каждую связь между искомым и данными задачи, но и связать их в единое целое – уравнение. Практически те же навыки и требуются от ребенка при оформлении записи решения задачи выражением в школе первой ступени: проанализировать задачу, выявить все связи между искомым и данными, записать выражение.

Проверка решения задачи

Программа по математике для начальных классов ориентирует на обязательное овладение всеми учащимися различными способами проверки решения задач. Работа по формированию навыков контроля и самоконтроля при решении задач очень важна. Ведь проверка решенной задачи позволяет не только убедиться в правильности решения, но и способствует более глубокому пониманию и осмыслению ее математического содержания, осознанию связей между величинами, представленными в задаче. Однако, как правило, при проверке решения задачи активное участие принимают лишь некоторые ученики, ведущие объяснение. Остальные же занимают позицию пассивных слушателей, или исполнителей, даже если задача была решена ими неправильно.

Обучение проверке решения задач представляет собой полноценный этап в обучении детей решению задач. Оно должно быть специально организовано, проводиться целенаправленно и систематически. Причем на первых этапах обучения решению задач, когда у детей еще не достаточно сформированы навыки контроля и самоконтроля, имеет смысл предлагать учащимся после решения задачи проверить, правильно ли она решена.

Приведем примеры заданий, которые необходимо предлагать учащимся для того, чтобы выработать у них внутреннюю потребность проверять решение задач:

1. При решении задачи обязательно объясните себе, почему решаете так, а не иначе.

2. После решения задачи прочитайте снова текст задачи и проверьте, все ли требования задачи выполнены, правильно ли.

3. Составьте план решения задачи. Какой пункт в решении задачи будет последним? (Работа над задачей заканчивается проверкой ее решения).

Учителю необходимо побуждать учащихся проверять выполнение любого упражнения, задачи в том числе.

Существуют следующие способы проверки решения задачи:

1. анализ ответа и прикидка ответа;

2. решение задачи другим способом;

3. подстановка результата в условие (установление соответствия между числами из условия и результатом);

4. составление и решение обратных задач;

5. сверка результата с ответом, данным в конце учебника (в начальной школе – сообщенным учителем).

Некоторые методисты относят графический способ решения задачи к отдельному способу проверки. На наш взгляд, этот способ относится к решению задачи другим способом.

Ожидаемый ответ задачи должен быть проанализирован, например, при ответе на вопрос «Сколько квартир на этаже?» явно не должно быть числа (–159) или 5,7 квартиры.

Прикидка обычно проводится перед решением задачи, устанавливаются границы значений искомого числа. После получения ответа проверяют, удовлетворяет ли он выбранным границам. В случае несоответствия делают вывод о неправильности результата.

Применять этот способ можно как для простых, так и для составных задач. Данный способ является необходимой частью анализа задач в косвенной форме, в связи с тем, что еще до решения задачи нужно выяснить, какое число получится в ответе – больше или меньше данного. Проиллюстрируем применение этого способа проверки конкретными примерами.

1) «Торт стоит 20 грн., а коробка конфет 8 грн. На сколько гривень коробка конфет дешевле торта?».

Прочитайте задачу. Что в задаче известно? (Цена торта 20 грн., цена коробки конфет 8 грн.). Значит, в ответе задачи должно получиться число, меньшее 20 на 8. Выполняя решение задачи, дети получат

20 – 8 = 12 (грн.), что подтверждает правильность предыдущих рассуждений.

2) «Сыну 8 лет, что на 25 лет меньше, чем отцу. Сколько лет отцу?».

Прочитайте задачу. Подумайте, какое число должно получиться в результате? Больше или меньше, чем 8? (Больше, так как отец старше сына). На сколько больше? (На 25).

3) «В одном бидоне осталось 4 литра молока, а во втором – 6 литров. Сколько литров молока осталось в двух бидонах?»

Данная задача относится к разряду задач, трудных для восприятия детьми, поскольку они привыкли, что слово «осталось» связано с действием вычитания. Для предупреждения ошибки в решении необходимо использовать прикидку. Дети должны прийти к выводу, что в результате должно получиться число, большее, чем каждое из чисел условия.

4) «В одном ящике 5 кг помидоров, а в другом 8 кг таких же помидоров. Сколько нужно заплатить за каждый ящик, если вся покупка стоит 26 грн.?»

Какова стоимость каждого ящика? Больше или меньше стоимости всей покупки? (В результате должно получиться два числа, меньших, чем 26). Какой ящик стоит дороже? (Второй). Почему? (Так как в нем больше помидоров). После выполнения решения задачи, получаем, что первый ящик стоит 10 грн., а второй – 16 грн. (10

Однако стоит отметить, что данный способ проверки целесообразно применять не для всех задач.

Решение задачи другим способом можно применять лишь в том случае, если таковой существует. При совпадении результатов в обоих способах решения делается вывод о его правильности.

Из двух сёл, расстояние между которыми 69 км, навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через какое время они встретятся, если скорость одного 11 км/ч, а другого – 12км/ч.

1) Какова скорость сближения?

11 км/ч + 12 км/ч = 23 км/ч

2) Через сколько часов они встретятся?

69 км : 23 км/ч = 3 ч.

Ответ: велосипедисты встретятся через 3 часа.

Пусть х часов – время движения до встречи. Тогда один из велосипедистов до встречи проехал 11х (км), а второй – 12х (км). Учитывая общее расстояние, пройденное ими, составим уравнение:

Ответ: велосипедисты встретятся через 3 часа.

Вывод: при различных способах решения получены одинаковые ответы, следовательно, задача решена верно.

Проверим решение этой задачи подстановкой. Действительно, если оба велосипедиста находились в пути до встречи 3 часа, то:

11·3 = 33 (км) – прошел первый до встречи;

12·3 = 36 (км) – прошел второй;

33+36 = 69 (км) они прошли вместе.

Вывод: задача решена верно.

Составление и решение обратных задач – один из интереснейших способов проверки задачи. Традиционная методика рекомендует вводить его лишь во втором классе, однако, работая в системе укрупнения дидактических единиц, составлять и решать обратные задачи начинают в первом классе при изучении обратных действий сложения и вычитания [18]. При этом дети наиболее полно понимают связи между величинами и наблюдают обратные по отношению друг к другу действия. Часто обратная задача бывает сложнее прямой. Работа над обратными задачами не будет сложной, если начать её как можно раньше. Дети всегда с удовольствием составляют и решают задачи, обратные данной.

Обратной задачей к данной является та, которая содержит искомое число в качестве известного, а какое-либо из известных чисел прямой задачи становится неизвестным.

Например, эти задачи являются обратными:

1. Из двух сёл, расстояние между которыми 69 км навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через какое время они встретятся, если скорость одного 11 км/ч, а другого – 12км/ч.

2. Из двух сел навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста и встретились через 3 часа. Каково расстояние между селами, если их скорости 11 км/ч и 12 км/ч соответственно.

К данной задаче можно составить ещё 2 обратные задачи, где искомыми будут являться скорости велосипедистов. Составьте их и решите все задачи.

Рассмотрим традиционную методику работы над обратными задачами. Многие методисты отмечают проявление некоторого формального отношения к использованию этого приема работы.

В учебнике математики для II класса предложено несколько заданий, требующих составления обратных задач. Этот вид упражнений является полезным и эффективным средством при овладении учащимися умением решать арифметические задачи. В процессе этой работы учащиеся осмысливают и углубляют знания связей между различными величинами, например: «цена – количество – стоимость» или «расход чего-либо на единицу – количество единиц – общий расход» и другими.

Составление обратных задач также рассматривается методистами как один из видов творческих упражнений, направленных на преобразование одной задачи в другую, на сравнение их условия, решении, ответов. Однако, М.В. Богданович отмечает, что «составление обратной задачи как способ проверки можно использовать для любой задачи, но он громоздкий и его следует применять, преследуя одновременно и другие цели работы над задачей» [3, с.47].

К сожалению, составление обратных задач учителя не всегда связывают с проверкой решения задач. Причина может быть не только в громоздкости, но и в невладении методикой данной работы. Это не позволяет учителю полностью использовать возможности обратных задач, либо ведет лишь к формальному выполнению проверки.

Для выполнения проверки решения прямой задачи способом составлением обратной задачи и ее решения, дети должны овладеть следующим алгоритмом:

1. решить исходную задачу;

2. подставить результат в текст исходной задачи в качестве известного данного;

3. обозначить новое неизвестное в задаче;

4. составить новую задачу по отношению к данной;

5. решить составленную задачу;

6. сравнить полученный результат с тем данным, которое сделали неизвестным;

7. сделать соответствующий вывод (если числовые значения совпадут, то задача решена верно).

Осознанное выполнение полного состава действий данного алгоритма является обязательным дидактическим условием. Проверка считается выполненной, если сделаны выводы на основе сравнения числа, полученного при решении обратной задачи с данным числом прямой задачи. Выполнение этого действия позволяет сделать вывод о правильности или неправильности решения задачи.

Рассмотрим фрагмент урока во втором классе по теме «Знакомство с обратными задачами».

К учебным целям урока относятся:

а) познакомить детей с понятиями «прямая задача», «обратная задача»;

б) раскрыть прием составления задачи, обратной данной;

в) показать, что составление обратной данной задачи и ее решение можно рассматривать как один из способов проверки решения задачи;

г) познакомить детей с алгоритмом проверки прямой задачи путем составления и решения обратной.

Дети самостоятельно решают задачу: «Коробка конфет и торт вместе стоят 19 грн. Конфеты стоят 8 грн. Сколько стоит торт?»

Дети решают задачу, записывают решение

Далее работу можно организовать так: О чем решали задачу? (О конфетах и торте). На доске появляется иллюстрация задачи.

Что было известно в задаче? (За всю покупку уплатили 19 грн., а за конфеты 8 грн.). Что узнавали в задаче? (Сколько стоит торт. Он стоит 11 грн.). Все числовые значения учитель подписывает под рисунками на иллюстрации задачи. Как узнали цену торта? (От 19 грн. отняли 8 грн.). Почему выбрали действие вычитания? (19 грн. стоят торт и конфеты, следовательно, торт стоит меньше 19 грн. на 8 грн.).

Далее учитель закрывает запись общей стоимости покупки знаком вопроса, знак вопроса – записью цены торта. Что теперь известно в задаче? (Купили торт за 11 грн. и коробку конфет за 8 грн.). Что нужно узнать? (Сколько заплатили за всю покупку). Мы получили новую задачу. Сформулируйте условие задачи по этим данным. (Купили торт за 11 грн. и коробку конфет за 8 грн. Сколько стоит вся покупка?).

После анализа нового условия задачи дети ее решают и записывают решение в тетрадь.

Какой ответ получили? (Вся покупка стоит 19 грн.). Чему была равна стоимость всей покупки в первой задаче? (Тоже 19 грн.). Можем ли мы сказать, что при решении первой задачи цена торта найдена правильно? Почему вы так думаете? (В решении новой задачи получили 19 грн. – это стоимость всей покупки. В первой задаче дано было 19 грн. Значит, цену торта мы нашли правильно, потому, что 11 грн. и 8 грн. – это 19 грн.). Итак, мы проверили решение первой задачи.

Что мы для этого делали? (Составили новую задачу и ее решили). Подумайте, когда мы точно можем сказать, задача решена правильно. (Если мы составим и решим новую задачу и в ответе получим число, которое было дано в первой задаче, значит, первая задача решена правильно).

Запомните: исходная задача, которую мы решали первой называется прямой задачей, а новая задача, которую мы составили для проверки решения прямой задачи, называется обратной задачей. С помощью решения обратной задачи мы проверили решение данной задачи.

Что же мы делали, чтобы составить обратную задачу. (Число, которое было известным в условии задачи, мы сделали неизвестным, а неизвестное — известным).

Подумайте, можно ли еще составить задачу, обратную данной прямой задаче. (Можно, если принять за неизвестное цену коробки конфет).

Составьте вторую обратную задачу, решите ее и докажите, что решение обратной задачи позволяет проверить решение данной задачи.

Далее понятие обратной задачи и способа проверки с ее помощью закрепляется по учебнику.

В результате проделанной работы учащиеся должны усвоить, что для составления обратной задачи необходимо преобразовать предложенную задачу так, чтобы ее искомое стало известным числом, а одно из данных чисел стало искомым. Кроме этого, если при решении обратной задачи в результате получили число, которое было известное прямой задаче, то можно с уверенностью сказать, что предложенная задача была решена правильно.

При составлении обратных задач к задачам, в основе решения которых лежат знания конкретного смысла арифметических действий, учащиеся обычно не допускают ошибок. Однако часто ошибаются в составлении обратных задач к задачам, содержащих отношения «больше» и «меньше», заменяя не полученные числа, а само отношение. Это говорит о том, что у учащегося, который допускает такую ошибку, не сформировалось понятие «обратная задача».

Рассмотрим конкретный пример: учащиеся, составляя обратную задачу к задаче: «В одной коробке 15 карандашей, а в другой на 5 карандашей меньше. Сколько карандашей во второй коробке?», составили такую задачу: «В одной коробке 15 карандашей, а в другой на 5 карандашей больше. Сколько карандашей во второй коробке?». Причина ошибки может быть в том, что ученики, считая, что обратная задача должна решаться действием, обратным прямой, составляют задачу, которая решается действием сложения, которое обратно действию вычитания. Это показывает на формальное усвоение знаний этими учениками. Действительно, составленная учащимися задача решается действием сложения, являющимся обратным к действию вычитания. Однако, эту задачу нельзя рассматривать как обратную к исходной, так как при ее составлении было заменено отношение между данными, а не числовые значения и вопрос.

Для устранения этой типичной ошибки полезно использовать в сравнении краткие записи условий как прямой, так и обратных задач.

I – 15 кар.
II – ?, на 5 кар. меньше

I – 15 кар.
II – 10 кар., на ? меньше

I – ? кар.
II – 10 кар., на 5 меньше

Схематическое изображение задачи позволяет учащимся пронаблюдать, что при составлении обратной задачи изменяются только числовые значения, отношения в задаче остаются неизменными.

С другой стороны, если бы обратная задача составлялась с целью проверки решения предложенной задачи, то учащиеся могли бы сами обнаружить свою ошибку. Ведь они при решении обратной задачи получили число, которое не соответствует ни одному из числовых значений прямой задачи.

Часто случается так: ученик решает задачу, а затем проверяет ее решение действием, обратным к выполненному, не составляя текст обратной задачи. Такая «проверка» не всегда позволяет убедиться в правильности решения прямой задачи, а проверяется лишь правильность вычисления, а не правильность выбора арифметического действия. Часто дети, у которых еще не сформирован конкретный смысл арифметических действий, вне зависимости от контекста задачи, решают задачи, в которых содержатся слова «улетели», «вышли в море», «съели», «уехали» и т.д. действием вычитания, хотя в задаче может спрашиваться сколько всего выехало, улетело, ушло и т.д. Рассмотрим конкретную задачу. «В море вышли 5 сейнеров и 4 катера. Сколько кораблей вышло в море?» Ученик, ориентируясь на слово «вышли» ассоциирующееся с процессом уменьшения, выбирает действие вычитания: 5–4=1. Составленное обратное действие (4+1) не позволяет ему выявить ошибочность выбора арифметического действия, так как работа идет в отрыве от математического содержания задачи. Ученик при решении получает в ответе числе 5 и успокаивается, хотя проверил лишь вычисление. А ведь в предложенной задаче необходимо было найти сумму двух слагаемых (все корабли – это сейнеры, их 5, и катера, их 4). Если бы ученик при проверке решения задачи составил условие обратной задачи, а не ограничился только составлением обратного действия, он получил бы следующее: «В море вышел 1 корабль. Из них 4 катера и несколько сейнеров. Сколько сейнеров вышло в море?» Полученное условие задачи противоречиво, поэтому можно было бы сделать вывод об ошибке в решении.

Чаще всего причина такого роди ошибок в том, что у учащегося не сформирован алгоритм проверки решения задачи. Раскрытие алгоритма проверки решения арифметических задач должно стать предметом специального рассмотрения, когда раскрывается содержание каждого действия, входящего в процесс проверки, обосновывается последовательность их выполнения, что приводит к пониманию и осознанию самого приема работы.

Как же можно организовать работу над обратными задачами с первого класса? Рассмотрим методику, предложенную П.М. Эрдниевым. В методике УДЕ применяются укрупненные задания, которые, как правило, состоят из выполнения трех последовательных пунктов:

При таком подходе к работе над обратными задачами (и в качестве способа проверки решения и в качестве творческой работы над задачей) учащиеся при составлении обратных задач не допускают ошибок, описанных ранее.

Рассмотрим конкретные примеры.

Дети рассматривают картинку, на которой мальчик с 5 марками в альбоме и девочка с 2 марками [18].

Учитель предлагает составить задачу по картинке.

«У мальчика было 5 марок, а у девочки 2 марки. Сколько марок у детей вместе?»

Учитель делит доску на три части вертикальными линиями (в задаче три числа, значит, кроме прямой задачи можно будет составить еще две обратных задачи). Дети делают то же самое в тетради. Квадратик неизвестного числа можно рисовать и ручкой и карандашом, после решения полученный результат заносить в этот квадратик. В верхней строке таблицы записывается так называемая «схема задачи» (термин П.М. Эрдниева), т.е. сначала по порядку записываются числа, которые даны в задаче, а затем ставится «окошечко» для записи неизвестного числа.

В первую колонку заносится решение первой задачи.

Учитель говорит, что решена прямая задача, но к данной прямой задаче можно составить две обратных. В первой задаче предлагается сделать неизвестным число 5. Запись приобретает вид:

Учитель предлагает составить задачу по данной схеме.

«У мальчика и девочки всего было 7 марок. Из них 2 марки было у девочки. Сколько марок было у мальчика?»

Учитель спрашивает, как решить задачу. Дети говорят, что от 7 марок отнять 2 марки останется 5 марок. Запись будет такая:

Аналогичная работа проводится по составлению и решению второй обратной задачи.

«У мальчика и девочки всего было 7 марок. Сколько марок было у девочки, если у мальчика было 5 марок?»

Окончательная запись в тетради учащегося будет такая:

Дети записывают решения трех взаимообратных задач в трех колонках, вверху схема задачи, внизу – решение задачи.

И при введении задач обратных задач по методике УДЕ и по традиционной методике обратите внимание на трудности, которые возникают у учащихся при составлении текста обратных задач. Дети часто пытаются составить обратную задачу по аналогии с прямой задачей. Например: «Дети собирали марки. У мальчика было неизвестно сколько марок, а у девочки 2. А вместе марок у детей 7». Полученная формулировка, конечно, может быть использована. Однако детям стоит показывать различные образцы формулировок задач, убеждать в том, что текст задачи должен быть сформулирован таким образом, чтобы она была понятна всем, кто ее будет решать, чтобы задача была «красивой», «благозвучной», при этом четкой и без лишней информации (первая фраза в задаче «Дети собирали марки»).

Составление и решение обратных задач не только является интересным способом проверки решения задачи, но и творческой работой над задачей. Кроме того, решение обратных задач является одним из приемов насыщения урока задачами.

Если вам удобно работать над задачей с учащимися по другой краткой записи (дети привыкли использовать именно такую форму или другие причины):

то схему для работы по составлению обратных задач можно, на наш взгляд, записывать после решения прямой задачи, при этом, не заполняя вторую строчку предложенной таблицы. Запись задачи может выглядеть так:

Ответ: у детей 7 марок.

Если же в своей работе вы используете мобильные схемы, похожие на схемы С.Н. Лысенковой, то можно просто менять числа и знаки вопроса в соответствующих кармашках на демонстрационной схеме и на индивидуальных схемах у детей.

1. Какие способы решения использовались для решения данной задачи о шишках и желудях? Предложите еще несколько способов решения данной задачи. Какой способ, на ваш взгляд, более понятен детям начальных классов? Какой предпочли бы Вы? Почему?

2. Дана задача: «8 одинаковых мячей стоят 48 грн. Сколько стоят 12 таких мячей?» Решите задачу любым способом. Запишите решение задачи всеми возможными способами.

3. Дана задача: «На ткацкой фабрике за 10 дней выпущено 80000 м ткани, причем каждый день выпускали одинаковое количество ткани. Сколько ткани будет выпущено за 100 дней при той же дневной норме?» Решите задачу любым способом. Покажите возможные варианты проверки решения задачи:

4. Составьте к данной задаче все возможные обратные: «В 5 одинаковых клетках помещается 15 кроликов. Сколько нужно таких клеток, чтобы поместить в них 42 кролика?»

5. Дана задача: «Из города к зимовке, расстояние между которыми 150 км, выехали аэросани со скоростью 60 км/ч. В то же время навстречу им из зимовки вышел лыжник и встретил аэросани через 2 часа. Найди скорость лыжника».

Перед решением этой задачи дети решали устные упражнения:

а) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа. Сколько времени был в пути первый пешеход?

б) Два пешехода сближаются со скоростью 9 км/ч. Скорость первого пешехода 4 км/ч. Какова скорость второго пешехода?

в) Расстояние 150 км пройдено за 3 часа. Что можно узнать по этим данным?

Установите цель каждого упражнения. Составьте еще 2 упражнения, подготавливающие учащихся к решению этой задачи.

6. Дана задача: «За одно и то же время теплоход прошел 216 км, а моторная лодка 72 км. Чему равна скорость теплохода, если скорость моторной лодки 24 км/ч?» Проанализируйте задачу. Оцените, с какими трудностями может встретиться ребенок при ее решении. Создайте серию подготовительных упражнений к этой задаче. Позаботьтесь при этом, чтобы дети нашли все способы ее решения.

7. Задачу из предыдущего упражнения переделайте в задачу на пропорциональное деление. Смогут ли дети решить такую задачу в начальных классах? Обоснуйте ответ. Предусмотрено ли решение таких задач программой?

8. Дети самостоятельно решили задачу: «За два дня самолет пролетел с одинаковой скоростью 10240 км. В первый день он был в полете 10 ч, во второй – 6 ч. Сколько километров пролетал самолет каждый день?»

После этого учитель предложил детям такие упражнения: «Переделать эту задачу в задачу на нахождение четвертого пропорционального и сформулировать ее текст. Переделать в задачу на нахождение неизвестного по двум разностям и сформулировать ее текст. Изменить задачу так, чтобы ее решение сохранилось, но вместо величин скорость, время и расстояние в ней была другая тройка величин». Как вы думаете, каковы цели подобной работы? Какие у нее достоинства и недостатки? Подберите к этой задаче еще два упражнения с той же целью.

9. Предложите не менее трех различных способов проверки правильности решения задачи, данной в предыдущем упражнении, которыми могут воспользоваться дети. Нужно ли учить детей проверять задачи? Почему?

10. Учащимся на дом была задана задача: «Для школы купили 10 портретов по 3 грн. и 2 портрета по 5 грн. Сколько денег уплатили за все портреты?» Предложите косвенный способ проверки домашней задачи, приводящий детей к правилу умножения суммы на число. В чем преимущества такого способа проверки домашнего задания?

11. Дана задача: «В магазин привезли игрушки в пакетах: 90 кубиков по 10 штук в пакете и 60 кеглей по 6 штук в пакете. Сколько всего пакетов с игрушками привезли в магазин?» Детям дано упражнение на полное обращение этой задачи (составить и решить все обратные задачи). Выполните это упражнение, применив оптимальный вариант его записи.

Последующая и творческая работа над задачами

Сразу отметим, что многие методисты считают последующую и творческую работу над задачами аналогичными. На наш взгляд, это не верно. Во время последующей решению работы над задачей можно выполнять творческие задания, однако не всякая творческая работа над задачей является последующей решению.

При организации деятельности учащихся над задачей после ее решения (последующей) можно использовать следующие виды работы:

§ элементарное исследование решения задачи (при каких условиях задача имеет одно или несколько решений и не имеет решения; как будет изменяться ответ задачи, если изменять данные и т.д.);

§ сравнить решения обратных задач, пронаблюдать зависимости и т.д.;

§ изменить требование задачи так, чтобы задача решалась иначе;

§ составить другую задачу по вопросу данной;

§ составить аналогичную задачу, но с другими числами и другим сюжетом;

§ изменить требование задачи, но решение задачи осталось бы неизменным;

§ составить все возможные требования, которые можно поставить к данному условию и т.д.

При отработке навыков решения задач данного вида можно идти двумя путями: экстенсивным (количество) и интенсивным (качество). К сожалению, часто учителя жалеют время на последующую работу над задачей, решение обратных задач, работу над деформированными задачами, предпочитая отработку навыков решения задач программного минимума, т.е. идут экстенсивным путем. Выбор пути (интенсивный – экстенсивный) должен определяться типологическими особенностями учащихся и варьироваться для каждой группы (см. «Дифференцированная работа над задачами»).

Однако основным ориентиром в работе должен быть интенсивный путь. Можно привести такой пример: для того, чтобы ребенок понял, что такое «книга», можно много рассказывать о книгах, показывать их изображения и т.д. А можно просто дать ему книгу, чтобы он подержал в руках, полистал, подробно рассмотрел ее элементы и т.д. Во втором случае, понятие «книга» будет сформировано. А вот в перовом – проблематично. Также и с задачами. Решим большое количество задач одного вида – хорошо, но это совсем не означает, что у ребенка сформировался обобщенный способ решения этой задачи. А при решении обратных задач, деформированных задач, трансформации задач ученик как бы рассматривает задачу со всех точек зрения, преобразует ее, анализирует и синтезирует.

Приведем примеры творческих заданий, которые можно использовать на разных этапах работы над задачами.

1. Дано условие «Мальчик купил 10 марок, а девочка – 15». Какой из вопросов можно поставить к этой задаче: а) Сколько марок купили дети вместе? б) На сколько марок больше купила девочка? в) На сколько марок меньше купил мальчик? г) Сколько стоит одна марка?

2. Учащимся предлагаются несколько текстов задач, несколько кратких записей и решений. Задание следующее «К каждой задаче подберите ее краткую запись и решение. Реши оставшиеся задачи. Если осталась краткая запись, составь по ней задачу и реши ее». Количество задач, кратких записей и решений не должно совпадать. Это позволит исключить «остаточный принцип» выбора.

Задача 1. На площадке играли 5 мальчиков и 3 девочки. Сколько детей играли на площадке?

Задача 2. На площадке играли 5 мальчиков и 3 девочки. На сколько мальчиков больше, чем девочек?

Задача 3. На площадке играли 5 детей. 3 из них ушли. Сколько детей осталось на площадке?

Краткая запись 1

Краткая запись 2

Краткая запись 3

Краткая запись 4

3. На карточке записывается текст задачи и числовые выражения, составленные из числовых данных задачи. Детям предлагается выбрать те выражения или их комбинации, которые являются решением данной задачи.

Задача: «Три группы детей сделали к празднику каждая по 6 масок зверей и по 4 маски птиц. Сколько всего масок сделали дети?»

Выбери из предложенных все возможные решения данной задачи и вычисли значения.

Данная задача решается двумя способами, учащийся должен увидеть оба из них и отбросить неподходящее выражение. Также можно добавить и такое задание: «По выражению, не являющемуся решением, составь задачу и реши ее».

Выделяются следующие методические приемы работы над задачами (М.В. Богданович, Н.Б. Истомина), которые, на наш взгляд, можно использовать для творческой работы над задачами.

1. Сравнение текстов, выявление структуры задач (неполные данные, избыточные данные).

2. Выбор схемы (по заданной схеме из нескольких задач выбрать соответствующую схеме задачу).

3. Выбор вопроса к задаче (дано условие, нужно выбрать из предложенных вопросов подходящий) или поставить собственный.

4. Выбор выражений для решения данной задачи (из предложенных выражений выбирают соответствующее решению).

5. Выбор или составление условия к заданному вопросу (дается вопрос задачи, учащимся предлагается или выбрать из приведенных условие или составить его самостоятельно).

6. Выбор данных (приводится текст неполной задачи, предлагается выбрать данные из предложенных или самостоятельно составить).

7. Изменение задачи для ее соответствия приведенному решению.

8. Постановка вопроса к готовому условию задачи в соответствии с приведенной схемой задачи.

9. Объяснение выражений, составленных по условию задачи (дается условие задачи и числовые выражения, составленные по условию, детям предлагается объяснить, что можно найти каждым из этих выражений).

10. Выбор решения задачи (дается текст задачи и решения, из которых нужно выбрать правильное).

Развивающие функции задач в обучении математике в начальных классах

Как было сказано выше, задачи в начальном курсе математики выполняют разнообразные функции – обучающие, воспитывающие, развивающие, контролирующие и т.п.

Рассмотрим развивающие функции задач.

Как известно, усвоение основного курса начальной математики не влечет за собой ни математического, ни общего развития. К сожалению, современные учителя часто уравнивают или подменяют одно другим понятия «развитие» и «информированность». Еще Л.С. Выготский на вопрос «Чем отличается в умственном развитии ребенок, которого мы научили читать, от ребенка, который читать не умеет?» отвечал, что только одним – он умеет читать. В умственном же развитии этого ребенка ничего не прибавляется, «это тот же самый ребенок, только грамотный».

Как же усилить развивающую функцию задач, не ослабляя при этом других функций?

В начальных классах изучается достаточное количество задач обучающего характера, усиление развивающих функций которых можно осуществлять по следующим направлениям:

§ решение нестандартных задач;

§ решение задач с логической нагрузкой;

§ организация работы над задачей после ее решения (последующей работы) при помощи специально подобранной системы вопросов;

§ работа над системами целесообразно подобранных задач;

§ работа над задачами по системе УДЕ (П.М. Эрдниев);

§ работа над задачами по технологии обучения математике на основе решения задач (Р.Г. Хазанкин);

§ использование технологии свободного выбора учебных заданий на уроках математики (В.В. Зайцев) и т.д.

Таким образом, в обычном уроке математики в начальных классах при работе над обучающими задачами можно целенаправленно усиливать их развивающие функции.

Рассмотрим, как можно провести работу над задачей при помощи различных групп специально подобранных вопросов. Вопросы должны адресовываться не только к памяти учащихся, их знанию фактического материала, но и к мышлению учащихся, должны заставлять учащихся в процессе поиска ответа использовать различные мыслительные операции.

1) Группа вопросов на сравнение.

Вопросы на сравнение

Сравни задачи (данные в задачах и т.д.). Чем они похожи? Чем отличаются?

Сравни. В чем только сходство (или только отличие)?

Часто в учебниках начальной школы используются задачи, которые приводятся в парах. Рассмотрим некоторые из них.

Реши и сравни задачи:

1. У Гали было 15 открыток. На переписку она израсходовала 10 открыток. Сколько открыток осталось у Гали?

2. На переписку Галя израсходовала 10 открыток. У нее осталось еще 5 открыток. Сколько открыток было у Гали? ( СНОСКА: [Б1, С. 79])

В сравнении приводятся задачи на нахождение остатка и нахождение неизвестного уменьшаемого. Первая задача решается действием вычитания, а вторая – действием сложения.

При работе над данными задачами можно просто ограничиться одним из вариантов неполного сравнения каких-либо ее составляющих (условия, сюжет, числовые данные, решения), однако, лучше использовать возможность провести полное сравнение. Сначала прочитать задачи, сравнить их тексты, затем решить задачи, сравнить решения.

Приему сравнения (полного и неполного) детей необходимо целенаправленно обучать. ( СНОСКА: Подробнее [8, c. 169-173])

Применение приема сравнения при работе над задачами, приведенными в группе, позволяет также предупреждать наиболее часто встречающиеся ошибки учащихся (см. методику УДЕ).

2) Группа вопросов, требующих установления основных характерных черт, признаков понятий и предметов, рассматриваемых в задачах.

Например, рассмотрим задачи: «Найти периметр прямоугольника, если его стороны равны 15 см и 6 см» и «Чему равен периметр квадрата со стороной 7 см?» Если в задаче идет речь о данных геометрических фигурах, то в последующей работе над этой парой задач можно спросить у детей: «Всякий ли квадрат является прямоугольником?», затем «Всякий ли прямоугольник является квадратом?». В данной ситуации используется прием подведения под понятие «прямоугольник» и «квадрат».

3) Группа вопросов, направленных на установление причинно-следственных связей.

§ Установление причины по данному следствию.

Рассмотрим деформированную задачу: «Мама принесла c яблок, 8 отдала детям, а из 8 сварила компот. Сколько яблок осталось?»

Из данной задачи можно получить задачи, которые решаются, а также задачи с какими-либо несоответствиями, нестыковками данных. Например: «Мама принесла 18 яблок, 8 отдала детям, а из 8 сварила компот. Сколько яблок осталось?» или «Мама принесла 15 яблок, 8 отдала детям, а из 8 сварила компот. Сколько яблок осталось?» Вопрос: «Как вы думаете, можно ли решить каждую из этих задач?» Вторая из задач требует тщательного анализа условия. Если она сформулирована таким образом, то точно не ясно, какие яблоки использовала мама – только те что, принесла, или еще те, которые уже были у нее дома. Т.е. условие задачи требует уточнения. В данном случае мы можем получить задачу, которая не решается или задача может быть и задачей с недостающими данными.

Если эту задачу сформулировать точнее «Мама принесла 15 яблок. Из них 8 яблок отдала детям, а из 8 сварила компот. Сколько яблок осталось?» Вопрос: «Как вы думаете, почему нельзя решить эту задачу?» (Нельзя использовать из 15 яблок больше, чем их есть в наличии). Взяли 16 яблок – причина, нельзя решить задачу – следствие.

3) По выражению 7×4+12:3 составьте задачу на нахождение стоимости.

Выполните это задание. Проанализируйте, какие трудности встречают дети при его выполнении. В чем ценность таких упражнений? Составьте еще 3 упражнения, преследующие те же цели.

Задачи с недостающими или избыточными данными, нереальные задачи

Введем понятие задач с достаточным количеством данных, с недостающими данными и избыточными данными (по Н.В. Метельскому).

Если между условием задачи (А) и ее требованием (Х) установлено соотношение, определяющее одно или несколько определенных решений, то задачу считают определенной. Этот тип задачи можно условно изобразить формулой импликации: AÞX, которую будем понимать так: условие А содержит достаточно и только достаточно данных для выполнения требования Х.

Если из условия А опустить какое-либо данное ak, то получим задачу неопределенную (с недостающими денными), которая имеет бесконечное множество решений, зависящих от бесконечного множества значений той величины (параметра), которой принадлежало значение ak.

В случае, если условие, кроме А содержит еще некоторые данные an+1, то задачу называют переопределенной (с избыточными данными). Переопределенные задачи могут иметь решения в случае, если лишние данные не противоречат друг другу [19, c.176-177].

Нереальными задачами будем называть задачи, числовые данные которых делают их лишенными смысла (по В.А. Крутецкому). Каждая из этих задач является типовой, но числовые данные делают ее нереальной. Например:

1. Периметр прямоугольника 8 см, а сумма двух его сторон 6 см. Найти длину стороны.

2. Иван на два года моложе Петра, Петр четырьмя годами старше Степана, Андрей на три года старше, чем Петр, Иван равен по возрасту Степану. Кто старше – Андрей или Иван? [19, c.151].

Применение при обучении решению задач с недостающими и избыточными данными, нереальных задач имеет большое значение. При помощи этих задач можно не только выяснить насколько дети понимают связи в задаче, но и при работе над одной задачей с избыточными данными иногда удается составить и решить еще несколько задач, что является одним из приемов насыщения уроков задачами.

1. Маша отдала несколько открыток подруге, после чего у нее осталось 5 открыток. Сколько открыток отдала Маша подруге?

После выяснения, какого данного не хватает для возможности решения задачи, ученикам можно предложить самостоятельно подобрать, сколько открыток было у Маши, и решить при этом несколько задач вместо одной.

2. К чаю подали 9 пирожных «эклер», 6 пирожных «корзиночек» и 12 шоколадных конфет. Съели 11 пирожных. Сколько пирожных осталось?

Следует выяснить, какие данные лишние, как изменить вопрос или что изменить в условии, чтобы использовать все данные. Опять решается не одна, а несколько задач.

Задачи с избыточными данными могут быть противоречивыми и непротиворечивыми. На наш взгляд, детям обязательно нужно показывать такие задачи.

Рассмотрим работу над задачами такого вида на конкретных примерах. Даны задачи: а) «Дети сорвали 24 яблока. 8 яблок они съели, а остальные поделили поровну. Сколько яблок получил каждый ребенок?»; б) «Таня и Сережа сорвали 18 яблок. Таня сорвала 6 яблок, а Сережа в 2 раза больше. Сколько яблок сорвал Сережа?»; в) «Таня и Сережа сорвали 18 яблок. Таня сорвала 6 яблок, а Сережа в 3 раза больше. Сколько яблок сорвал Сережа?». Составим схемы разбора каждой из предложенных задач.

Задача (а) является задачей с недостающими данными. Она напоминает деформированную задачу, однако, в отличие от деформированной задачи, не имеет «окошка», т.е. конкретного указания на то, что пропущено данное. Эту задачу можно использовать для составления каскада задач.

Задачи (б) и (в) являются задачами с избыточными (лишними) данными. Однако одна из них может быть решена и непротиворечива, а другая не имеет однозначного решения, данные в ней противоречат друг другу.

Данная задача, решенная с использованием каждой пары данных, дает одинаковый ответ (12 яблок сорвал Сережа). Таким образом, эта задача не содержит противоречивых данных.

Эта задача, решенная с использованием каждой пары данных, дает разные ответы, которые противоречат друг другу: Сережа сорвал 12 яблок, и Сережа сорвал 18 яблок. Таким образом, задача не имеет однозначного решения.

Однако, иногда случается так, что дети принимают полную задачу за задачу либо с лишними, либо недостающими данными.

1. Турист 3 ч шел пешком со скоростью 5 км/ч, потом 4 ч ехал на поезде, скорость которого в 12 раз больше, а оставшийся путь он проехал на автобусе за 8 ч. С какой средней скоростью двигался турист, если скорость автобуса равна 3/4 скорости поезда?

В этой задаче нужно найти скорости движения туриста на каждом из этапов пути, найти все расстояние, пройденное туристом, и разделить это расстояние на общее время в пути.

Однако, дети, видя скорость движения на каждом этапе, часто хотят найти не среднюю скорость за все время движения, а среднюю скорость на трех этапах, ища среднее арифметическое трех скоростей, т.е., по представлению детей данная задача является как бы задачей с избыточными (лишними) данными.

2. Через один кран бассейн заполняется за 15 часов, а через другой – за 10 часов. За сколько часов заполнится бассейн, если краны будут работать вместе?

При решении этой задачи нужно обозначить объем бассейна за 1, потом найти производительность 1-го крана и 2-го крана, потом результаты сложить. Но учащиеся начальной школы, не знакомые с обыкновенными дробями, посчитают эту задачу как задачу с недостающими данными.

Включение задач с лишними и недостающими данными в курс математики в начальных классах является и одной из составляющих формирования навыков контроля и самоконтроля младших школьников, на основе которых у учащихся в дальнейшем формируются критерии, позволяющие учащимся самостоятельно находить ошибки в решениях заданий (не только текстовых задач). К ним можно отнести следующие критерии:

§ соотношение результата с действительностью;

§ соотнесение полученного результата с данными задачи и сравнение с первоначально ожидаемым результатом;

§ проведение операций в обратном порядке;

§ исследование ответа в предельных ситуациях (что будет, если….);

§ решение задания другим способом и сверка результатов;

§ проверка хода решения с обращением внимания на следующее: а) все ли данные использованы; б) достаточно ли данных для решения; в) не нарушена ли логика решения; г) не используются ли в решении те сведения, которые не вытекают непосредственно из условия задачи; д) прослеживается ли логика решения.

Также можно предложить детям задачи с вопросом, в котором спрашивается то, что уже известно в задаче. Например: «На грядку высадили 15 кустов смородины и 5 кустов крыжовника. Сколько кустов крыжовника высадили?» Применение задач такого рода также позволяет ученикам глубже осмыслить понятие задачи, ее структуры.

1. Найдите в действующих учебниках математики задачи с недостающими данными. Как вы думаете, почему они расположены именно в разделе «Занимательные задачи»?

2. Дана задача: «Пальто, костюм и ботинки стоят 100 грн. Пальто стоит 50 грн., костюм 38 грн. Сколько стоят ботинки?» Сделайте схему разбора этой задачи. Переделайте эту задачу в задачу с недостающими данными; в задачу с лишними данными; в противоречивую задачу. Как все это отражается на схеме разбора задачи? В чем ценность таких задач? Какая из переделанных задач способна дать серию задач при работе с ней?

Работа над деформированными задачами

Под деформированной задачей будем понимать задачу, в которой вместо числовых данных или ключевых слов стоят «окошки». В «окошки» нужно вставить недостающие числовые данные либо слова и решить полученную задачу.

1. Сын c отца на 25 лет. Сколько лет сыну, если отцу 45 лет?

2. В вазе стояло c белых роз и 14 красных. Сколько всего роз в вазе?

3. Мише надо решить 15 примеров. Он уже решил c примеров. Сколько примеров ему осталось решить?

Использовать деформированные задачи можно с различными целями: как подготовительную работу к чему-либо (введению составных задач и др.), для иллюстрации и закрепления свойств арифметических действий, как самостоятельный объект изучения, как творческую работу над задачей и т.д.

Работа над деформированными задачами содержит в себе большие возможности для учителя. П.М. Эрдниев и Б.П. Эрдниев отмечают, что «где выполняется деформированное упражнение, там срабатывает механизм обратной связи, а там, где есть непрерывная подсознательная коррекция и исправление ошибок, там и достигается прочность знаний» [22, с. 94].

Анализ условия деформированной задачи позволяет детям наиболее полно осмысливать связи в задачах, определение границ числа, которое можно подставить в «окошечко» или аргументация выбора соответствующего слова заставляет детей представлять реальную ситуацию, моделью которой является задача.

Рассмотрим функции деформированных задач.

Деформированные задачи можно использовать в качестве подготовительных для введения составных задач (М.И. Моро):

1. В одном цехе 10 станков, а в другом на 4 станка меньше. Сколько станков во втором цехе?

2. В одном цехе 10 станков, а в другом c станков. Сколько станков в двух цехах?

После решения первой задачи, учитель предлагает детям прочитать вторую задачу. Дети замечают, что вторую задачу решить нельзя, так как нет конкретного числа станков во втором цехе. Тогда учитель предлагает ответ первой задачи использовать в условии второй задачи вместо «окошечка». Дети формулируют новую задачу и решают ее.

При помощи деформированных задач также осуществляется функциональная пропедевтика в начальной школе (М.В. Богданович, М.И. Моро). Например: «На грядке росло 12 тюльпанов. Для букета срезали c тюльпанов. Сколько тюльпанов осталось на грядке?» ( СНОСКА: [Б1, С.64.])

При работе над этой задачей дети должны подобрать числа, которые можно подставить в «окошко» (пропедевтика понятия переменной величины), а также определить границы данного числа (пропедевтика понятия области допустимых значений переменной). Через урок вводится понятие переменной (буквы) в выражении.

Однако, далее деформированные задачи в учебниках почти не встречаются, хотя их можно использовать как один из приемов насыщения урока задачами, а также в творческой работе над задачей.

На примере конкретной задачи рассмотрим методические проблемы и возможности, возникающие при деформации задач. Дано задание: «На одном тракторе работали в течение недели 60 ч, а на другом – 55 ч. На втором тракторе при одинаковой норме расхода за неделю израсходовали горючего на c, чем на первом. Сколько литров горючего израсходовали на каждом тракторе за неделю? Текст задачи испорчен, надо восстановить и решить задачу. Как вы думаете, какие данные в тексте испорчены?» В данной задаче пропущено не только число, но и отношение «меньше на». Пытаясь восстановить текст задачи, дети активно и самостоятельно анализируют ее содержание. Для того, чтобы подобрать нужные данные, они должны понять, о чем идет речь в задаче, установить смысловые, причинно-следственные связи, догадаться о наличии конкретной связи и проверить правильность предположения. Анализ содержания задачи становится активным и более быстрым, так как сознание детей направлено не на сам анализ, а на восстановление текста. Это значит, что большая часть работы по анализу содержания задачи проходит в блочных, свернутых формах (законы УДЕ). Для того, чтобы восстановить текст, ребенок должен рассуждать и делать выводы. Дети догадались, что пропущено число и слово. Но какое слово? Раз написано «на», то это слово либо «больше», либо «меньше». И тут самые догадливые понимают, что не может быть слова «больше», только «меньше». Почему? Потому, что второй трактор работал меньше времени, значит и горючего израсходовал меньше. А разве это правильное рассуждение? Ну и что, что он работал 55 часов, а не 60 часов. Ведь может у него такой мощный мотор, что он за это время горючего больше потратил. И дети должны заметить, что норма расхода горючего у обоих тракторов одинакова. Значит, действительно, второй трактор потратил горючего меньше. Нужное слово найдено «меньше». Что полезного в проделанной работе? Дети рассуждали, спорили, отстаивали свою правоту. Значит шел активный анализ связей в задаче. Дети выделили прямо пропорциональную зависимость между временем работы и расходом горючего при постоянной норме расхода горючего.

Теперь надо подобрать число. На сколько литров горючего меньше мог израсходовать за неделю второй трактор? Возникает проблема: для того, чтобы подобрать число, нужно иметь жизненный опыт, нужно хотя бы примерно знать нормы расхода горючего в неделю. Если дети подбирают большие числа, можно рассказать о цене литра горючего для трактора, что, допустим, если недельные расходы каждого трактора отличаются на 1000 л, то это очень дорого и т.д. Мальчишки, обычно, интересуются техникой, и могут знать приблизительно недельную норму расхода горючего для трактора. Если знатоком по нормам расхода окажется ученик, которого до этого в классе не замечали, то его заметят, а он, в свою очередь, поймет, что задачи – это интересно. Если никто так и не подберет числа, – предлагайте сами. Итак, дети предлагают числа, и решают задачи, которые получились. Можно использовать такие варианты краткой записи:

Источник