Алгебраический способ решения текстовых задач определение

Решение текстовых задач по математике

в данной материале рассмотрены различные способы решения текстовых задач по математике

Просмотр содержимого документа
«решение текстовых задач по математике»

Оржевский филиал МБОУ Уметской СОШ

Тема: «Решение текстовых задач различными способами»

В начальных классах учащимся знаком только один способ решения текстовых задач – арифметический и немного учебного времени отводится для решения задач с помощью уравнений. Задачи сопровождают человека на протяжении всей его жизни. Уже в 5-6 классах мы решаем большинство текстовых задач с помощью уравнений. Этот способ так и называем «с помощью уравнений».

Текстовые задачи, на мой взгляд, трудный материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи. Данная тема интересна, потому что она позволяет находить новые неординарные подходы к решению задач, ведь многие текстовые задачи очень трудно решить аналитическим путем. Научившись решать задачи различными способами, я смогу применять их не только на уроках, но и олимпиадах.

На мой вопрос к учащимся 5-9 классов: «Какие способы решения текстовых задач вы знаете?» я получила следующие ответы:

-22% учеников ответили на мой вопрос: «….по действиям»,

-78% ответили: «…с помощью уравнения». Единицы учеников назвали эти способы, как арифметический и алгебраический. Других способов решения текстовых задач опрошенные учащиеся не назвали.

Существуют различные подходы к определению самой задачи. Остановимся на точке зрения Л.М. Фридмана: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче».

Математическая задача – это связанный лаконический рассказ , в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии. Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти .

В современной математике существуют различные способы решения текстовых задач:

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим способом значит найти ответ, на требование задачи, выполняя арифметические действия над числами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим способом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств).

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Схематический. Решить задачу схематическимспособом — это значит найти ответ на требование задачи, как правило, с помощью схем.

Графический. Решить задачу графическим способом — значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Традиционными способами решения задач являются арифметический и алгебраический, остальные менее известны, поэтому отнесём их к нетрадиционным.

Решение текстовых задач арифметическим способом

В арифметическом способе решить задачу- это значит выполнитьарифметические действия над числовыми данными из условия задачи, составив числовое выражение, а конечный результат вычислений – ответ на вопрос задачи.

Задача 1. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал грибов в 2 раза меньше, чем Саша, а Витя на 6 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 22 гриба?

Решение данной задачи не вызывает трудность, если грамотно составить краткую запись:

Коля -?грибов, в 2 раза меньше, чем Саша;

Витя-?грибов, на 6 грибов больше, чем Коля;

Всего: Саша+ Коля+ Витя-? грибов.

В начальной школе нас учили решать эту задачу по действиям, отвечая последовательно на каждый вопрос задачи, а затем на главный вопрос.

22+11+17=50 (гр.) вместе.

Эту же задачу можно решить, записав числовое выражение:

Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

1) 82 32 + 78 = 192 (чел.) — удвоенное число учеников, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192:2 = 96 (чел.) — поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96 – 32 = 64 (чел.) — поют в хоре;

4) 96 – 78 = 18 (чел.) — занимаются танцами;

5) 96 – 82 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой.

1) 82 – 32 = 50 (чел.) — настолько больше учеников поют в хоре, чем

занимаются художественной гимнастикой;

2) 50 + 78 = 128 (чел.) — удвоенное число учеников, поющих в хоре;

3) 128 : 2 = 64 (чел.) — поют в хоре;

4) 78 – 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;

5) 82 – 64 = 18 (чел.) — занимаются танцами.

Ответ: 64 ученика поют в хоре, 14 учеников занимаются художественной гимнастикой, 18 учеников занимаются танцами.

Решение текстовых задач алгебраическим способом

Известный американский педагог и математик Д.Пойа пишет, что «составить уравнение – значит выразить символами условие, сформулированное словами. Это перевод с обычного языка на язык математических формул. Трудности, которые могут встретиться при составлении уравнений, являются трудностями перевода» .

При решении задачи алгебраическим способом необходимо выполнить несколько этапов:

1) Арифметическую краткую запись условия задачи (цель этого этапа-осмысление задачи и выяснение связей между величинами). Форма записи может быть различной – схематический чертёж или таблица всех известных и неизвестных данных задачи. Важно помнить, что этот этап может отсутствовать, если решение задачи элементарно или она не особо усложнена условиями. Неизвестные величины на чертеже или в таблице удобно обозначать знаком «?», а главный вопрос задачи, например, выделить в «кружок». Нужно помнить, что единицы измерения всех величин должны быть единые. Намного облегчает решение задачи общепринятые обозначения в математике, физике и т.д.

2) Алгебраическая краткая запись условий задачи (цель этапа – удачно выбрать переменную и выразить все неизвестные величины задачи через неё. Форма записи такая, как и на 1 этапе, но только вместо знаков «?» везде надо записать выражения с переменной. Важно помнить, обычно этот этап начинается с фразы: «Пусть x единиц -…, тогда…». Чаще всего за неизвестное принимают главный вопрос задачи, хотя бывает это и неудобно, тогда за неизвестное принимают другую величину. При введении переменной необходимо учесть наибольшее удобство математической записи условия задачи.

3) Составление и решение уравнения или системы уравнений или неравенств (цель этапа – составить уравнение или неравенство, опираясь на условие задачи, и найти его решение). Необходимо учитывать область допустимых значений переменных (ОДЗ), чтобы составить уравнение нужно увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы. Например, s=vt.

4) Анализ решения уравнения или неравенства. Цель этапа – из всех найденных решений уравнения выбрать те, которые подходят по смыслу задачи. Обычно этот этап начинается фразой: «По смыслу задачи x должна быть величиной…» (положительной, натуральной, целой, принадлежащей промежутку и т.д.) Если смысловое значение не выполнено, то найденную величину называют посторонним решением. Полезно провести проверку.

5) Запись ответа в соответствии с вопросом задачи.

Решим алгебраическим способом задачу 2, которую решали выше арифметическим способом.

Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

Пусть х учеников занимались танцами, тогда 82-х учеников пели в хоре и 32-х учеников занимались художественной гимнастикой. Составим уравнение по последнему предложение нашей задачи -поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников,значит

(82-х)+(32-х)=78, 2х=36, х=18 учеников занимались танцами, 82-18=64 ученика пели в хоре, 32-18=14 учеников занимались художественной гимнастикой.

Задача 3. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Пусть х деталей в день — первоначальная производительность рабочего. Тогда (х + 10)деталей в день — новая производительность, Зх деталей – число деталей, которое он должен сделать. По условию получаем уравнение Зх = 2(х + 10), решив которое найдем х = 20. Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

Алгебраический способ решения задач является самым распространенными наиболее общим в школьном курсе изучения математики.

Решение текстовых задач геометрическим способом

Геометрический способ заключается в применении свойств геометрических фигур и взаимосвязи их элементов в процессе решения задачи. Данный метод делает решение текстовой задачи более наглядным и позволяет избежать громоздких вычислений. Для составления математической модели текстовой задачи чаще всего применяются отрезки и их длины, а также прямоугольники и их площади. Геометрия придает алгебре необыкновенную красоту и изящность. А вместе алгебра и геометрия представляют собой единое целое. Французский математик София Жермен писала: «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах»

Задача 4. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20% . На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня.

Данную задачу можно решить алгебраическим способом, например, применив дважды, основное свойство пропорции, а можно, применив формулу изменения величины в процентах. Тогда если а – первоначальное количество продукции, а х — % увеличения, то а•(1-0,20)•(1+0,01х)=а. Решив уравнение, найдём х=25%.

Но геометрический способ, на мой взгляд, наиболее наглядно позволяет увидеть решение.

Решение: Представим первоначальный выпуск продукции в виде отрезка АВ Разделим его на 5 равных частей и отметим точку С на расстоянии 1/5 от В. Мы получим отрезок АС, равный 4/5 АВ. Из чертежа видно, что требуется найти какую часть составляет ВС от АС. Решение очевидно. Так как ¼ АС=ВС, тогда требуется увеличить выпуск продукции на ¼ АС, т. е. на 25%.

Задача 7. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км и против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени как на путь против течения. Какова скорость течения реки?

Алгебраический метод приводит к уравнению: 35/(15-x)= 25/(15+x),где x – скорость течения реки. Решив уравнение, находим x=2,5км/ч.

Рассмотрим геометрический метод. Прямоугольники изображаем вместе, чтобы они составляли один большой прямоугольник. Высоты составляющих прямоугольников равны, так как лодка двигалась одинаковое время по течению и против течения реки. Пусть сторона АВ прямоугольника ABCD изображает скорость лодки по течению реки, ВЕ– скорость лодки против течения (BE ˂АВ), а отрезок EF изображает время движения лодки против течения реки, AD будет изображать время движения лодки по течению реки. Если обозначить через x скорость течения реки, а через t– время движения лодки по течению реки, то AB=15+х и EF=AD=t.

Источник

Методы и способы решения текстовых задач

Лекция 17-18. Текстовая задача и процесс ее решения

1. Справочник учителя начальной школы. Математика/ А.С. Добротворский, Л.П. Ковригина, И.С. Ордынкина и др. – М.: Дрофа, 2007. – 158 с.

2. Баймарукова П.У. Методика обучения математике в начальных классах/ П.У. Байрамукова, А.У. Уртенова – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 299 с.

3. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по спец. «Педагогика и методика начального образования». – М.:ВЛАДОС, -2007.- 455с.

1. Понятие «текстовая задача»

2. Условия формирования умения решать текстовые задачи.

3. Методы и способы решения текстовых задач.

4. Моделирование в процессе решения текстовых задач.

5. Этапы решения текстовой задачи и приемы их выполнения.

Понятие «текстовая задача». Роль решения задач.

Понятие задача относится к числу общенаучных. В начальном курсе математики понятие задача используется тогда, когда идет речь об арифметических задачах, сформулированных в виде текста. Такие задачи называются «текстовыми» или «сюжетными». В формулировке каждой текстовой задачи можно выделить условие, т. е. информацию о какой-либо области действительности, сведения об известных и неизвестных значениях величин и требование вывести, получить новую информациюо каких-либо компонентах той же области действительности (вопрос).

Различают простую и составную текстовую задачу.Задача, для решения которой надо выполнить одно арифметическое действие, называется простой. Задача, для которой надо выполнить два и более арифметических действий, называется составной.

Решение задач имеет важное значение для:

— формирования у детей полноценных математических понятий, для усвоения ими теоретических знаний;

— связи теории с практикой, обучения с жизнью (формирование практических умений, необходимых в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить, в какое время следует выйти, чтобы не опоздать на поезд, в школу);

— знакомства с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами (содержание задач отражает достижения в области науки, культуры; отражает труд детей и взрослых);

— умственного развития учащихся (умение анализировать, сравнивать, обобщать и т.п.)

2. Условия формирования умения решать текстовые задачи.

Первым необходимым условиемформирования умения решать текстовые задачи является обучение ребенка моделированию различных ситуаций (действий) на различной предметной наглядности символического характера.

Так, с теоретикетико-множественной точки зрения сложению соответствуют такие предметные действия с совокупностями, как объединение и увеличение на несколько элементов либо данной совокупности, либо совокупности, сравниваемой с данной. В связи с этим ребенок должен научится моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками, как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Вторым необходимым условиемявляется обучение ребенка выбору соответствующих арифметических действий и составлению математических выражений в соответствии с ситуацией, заданной текстом.

После того как ребенок научится правильно понимать на слух и моделировать предметные действия, его можно знакомить со знаками действий. На этом этапе последовательность указаний педагога может быть следующей:

а) обозначьте то, о чем говорится в задании, кружками (палочками

б) обозначьте указанное число кружков (палочек) цифрами; поставьте между ними нужный знак действия.

Третьим необходимым условиемявляется обучение ребенка приемам присчитывания и отсчитывания и другим вычислительным действиям, поскольку для получения результата арифметического действия следует эти действия выполнять, а не получать ответ пересчетом. Пересчет — это спосо6 проверки правильности полученного результата.

Для исключения пересчета рекомендуется использовать прием работы со «скрытой» наглядностью, т. е. сначала наглядность предъявляется, сосчитывается, обозначается цифрами, а затем прячется в коробку, конверт, корзину, за ширму и т. п. После этого в соответствии с сюжетом задачи приступают к выбору действия, поясняя его.

Методы и способы решения текстовых задач

Основными методами решения текстовых задач яв­ляются алгебраический и арифметический.

Решить задачу арифметическим методом — это зна­чит найти ответ на требование задачи посредством вы­полнения арифметических действий над числами.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

Рассмотрим это на конкретном примере:

Задача. Сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4 м ткани. Сколько кофт можно сшить из этой ткани, если расходовать на одну кофту 2 м?

Способ

1) 4 • 3=12 (м) — столько было ткани;

2) 12:2=6 (к) — столько кофт можно сшить из 12 м ткани.

Способ

1) 4:2=2 (раза) — во столько раз больше идет тка­ни на платье, чем на кофту;

2) 3-2=6 (к) — столько кофт можно сшить.

Решить задачу алгебраическим методом — это зна­чит найти ответ на требование задачи, составив и ре­шив уравнение или систему уравнений.

Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения, то это означает, что данную за­дачу можно решить различными алгебраическими спо­собами.

Задача, Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалась на 100 г больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько грамм шерсти израсходовали на каждую вещь?

Эту задачу можно решить тремя различными спосо­бами.

Способ

Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходован­ной на шапку. Тогда на шарф будет израсходовано (х+100) г, а на свитер ((х+100)+400) г. Так как на все три вещи израсходовано 1 200 г, то можно составить уравнение.

Выполнив преобразования, получим, что х=200. Таким образом, на шапку было израсходовано 200 г, на шарф — 300 г, так как 200+100=300, на свитер -700 г.

Способ

Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной на шарф. Тогда на шапку будет израсходовано (х — 100) г, а на свитер — (х+400) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1 200 г, то можно составить уравнение: х+(х — 100)+(х+400)=1 200

Способ

Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходован­ной на свитер. Тогда на шарф будет израсходовано (х

400) г, а на шапку — (х— 400—100) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1 200 г, то можно составить уравнение;

х+(х-400) +(х-400-100)=1 200

Выполнив преобразования, получим, что х=700. Таким образом, если на свитер израсходовано 700 г, то на шарф пошло 300 г, а на шапку — 200 г (700-400-100=200).

Кроме арифметического и алгебраического методов решения задач существуют еще практический и графический.

Рассмотрим применение этих методов на конкретном примере:

Задача. Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные щуки. Сколько щук поймал рыбак?

Практический метод

Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойман­ных щук соответствует тем кругам, которые не обо­значены (их 3).

Графический метод

лещи окуни щуки

Этот способ так же как практический, позволяет ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметиче­ских действий.

Дата добавления: 2018-02-18 ; просмотров: 5800 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник