Алгебраический способ решения квадратных неравенств

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства — решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине — неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.

Готовое для решения неравенство имеет вид: слева — квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c, справа — ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.

Подготовка заключается в тождественных преобразованиях неравенств. Прогуляйтесь по ссылке, если хотите узнать главную ошибку учеников при решении любых неравенств.) Там всё просто. Да и полезная информация по неравенствам имеется.

Решение квадратных неравенств. Примеры.

Квадратные неравенства можно решать двумя способами. Один способ — это метод интервалов. Великий и могучий! Годится для любых неравенств вообще! Ему будет посвящён отдельный урок. Здесь же мы разберём более простой способ с использованием парабол. Зачем из пушки по воробьям палить?) Способ годится только для решения квадратных неравенств. Но прост, очень нагляден и не требует никаких особых расчётов. Что, между прочим, резко уменьшает количество ошибок.

Решение будем разбирать на конкретных примерах. Сразу обрадую: любые квадратные неравенства решаются так, как написано далее. Любое решение состоит из трёх шагов. Первый пример я распишу очень подробно. Для понимания. Кто осилит решение до конца, получит приятный бонус.)

1. Решить неравенство:

x 2 -8x+12 ≥ 0

Это неравенство уже готово для решения. Слева — квадратный трёхчлен, справа — ноль. Можно приступать.

Первый шаг решения.

Первый шаг всегда одинаков и прост до ужаса.) Делаем из неравенства уравнение:

Решаем это уравнение.

Знак неравенства на этом этапе нас совершенно не интересует.

Решаем, как обычно, без всяких фокусов, через дискриминант. Получаем корни:

Первый шаг сделан. Можно передохнуть.) Сейчас начнётся самое интересное.

Второй шаг решения.

На этом шаге мы ничего решать не будем. Мы будем рисовать.) Да-да! Квадратные неравенства, как правило, решаются графически.

Знак неравенства и на этом этапе нас совершенно не интересует.

Слово «парабола» вам знакомо?) Вам повезло. В этом случае специально запоминать ничего не придётся. Один раз разобраться, и проблем не будет. В противном случае придётся запомнить алгоритм решения механически. Алгоритм приведён ниже.

Итак, на первом шаге мы из неравенство сделали уравнение. Решили его. На втором шаге из уравнения сделаем параболу:

Нарисуем эту параболу на графике. Вот такая она получится:

Точки 2 и 6 — это корни уравнения x 2 -8x+12 = 0, если помните. ) Они располагаются прямо на оси ОХ. Почему так? А как же!? Сравните уравнение и параболу:

Корни уравнения — это иксы, при которых в правой части уравнения получается ноль. Стало быть, при таких иксах, и игрек нулевой будет. Выражения-то одинаковые. А нулевой игрек — это, как раз, ось ОХ и есть.

Фиксируем в голове: корни уравнения (2 и 6) — это значения икса, при которых выражение x 2 -8x+12 равно нулю. Это важно!

А теперь прикинем: при каких иксах выражение x 2 -8x+12 будет больше нуля? Как раз для такой прикидки нам и нужна парабола. Выражение x 2 -8x+12 это же и есть наш игрек. На графике чётко видно, где игрек больше нуля (положительный) и где он меньше нуля (отрицательный). Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и всё видим.

Если возьмём любую точку левее х=2, например х₂, то соответствующий ему у₂ будет положительный. Если возьмём точку х₁ ещё левее, то пунктир пересечёт график далеко вверху, за пределами картинки, но игрек будет всё равно положительный.

Если мы возьмём икс правее точки х=6, скажем, х₅, снова получим положительный у₅.

Если же мы возьмём любую точку между х=2 и х=6, например х₃ или х₄ — мы получим соответствующие им отрицательные значения у₃ и у₄.

По параболе сразу видно, при каких иксах наш игрек (а это выражение x 2 -8x+12, между прочим!) больше нуля, меньше нуля и равен нулю!

По параболе, визуально, мы мгновенно определили знаки выражения x 2 -8x+12 при различных иксах. Можно нарисовать вот такую картину:

При всех иксах, которые меньше (левее) двойки, парабола проходит выше оси ОХ. Игрек при таких иксах — положительный, т.е. больше нуля. Следовательно, наше выражение x 2 -8x+12 при таких иксах больше нуля. Если мы убежим влево за рисунок, возьмём икс, равный минус сто миллионов, всё равно наше выражение будет больше нуля. Много-много больше.) Парабола — она бесконечная, и внезапно загибаться вниз не может.)

Аналогичная картина получится, если мы возьмём любой икс, больше (правее) шестёрки. Эти области на графике отмечены знаком «плюс»

А вот если мы возьмём любой икс в промежутке между 2 и 6, получим игрек отрицательный. Следовательно, при таких иксах, наше выражение меньше нуля.

Вот, практически и всё. На этом шаге мы руками нарисовали график, глазами увидели параболу, головой сообразили где какие знаки.) Осталось всего ничего.

Третий шаг решения.

На последнем шаге нужно вспомнить, что нам НЕ сказано было «решать уравнение». НЕ сказано было «строить график». Это, всего лишь, наши подручные средства.

Нам было сказано: решать квадратное неравенство!

Знак неравенства на этом этапе играет главную роль!

Смотрим на исходное неравенство:

x 2 -8x+12 ≥ 0

Нам нужно найти все иксы, при которых выражение в левой части неравенство больше, либо равно нулю. А чего их искать? Мы уже всё нашли.) Смотрим на график и видим, что это условие выполняется в областях, где стоит знак «+», (игрек больше нуля) и в точках х=2 и х=6 (игрек равен нулю).

Остаётся просто записать ответ.

Собственно, это и есть третий шаг решения любого квадратного неравенства.)

Вот и записываем окончательный ответ:

х ∈ (-∞; 2] ∪ [6; +∞)

Отмечу один полезный момент в графическом методе. На втором шаге мы определили все области для всех знаков. Махом. Что это значит? А то, что если бы у нас было неравенство противоположного смысла, т.е:

x 2 -8x+12 ≤ 0

то первые два шага были бы те же самые! Отличие прорезалось бы только на последнем, третьем шаге. Этот шаг, если кратко — просто выбор и запись ответа.

Ещё раз повторю: так решаются все квадратные неравенства. В три шага.

Что, долго? График строить, то, сё.

Спокойствие! Обещанный бонус резко упростит жизнь!)

Всё гораздо проще!

Для тех, кто героически добрался до этих строк и понял смысл использования параболы.) Сейчас, прямо на ваших глазах, я упрощу второй шаг решения до шести секунд. Без потери качества.)

Предположим, что вы сделали первый шаг и правильно решили квадратное уравнение. Теперь надо рисовать наш график:

Собственно, этот процесс и напрягает.) Но. Математики (вы удивитесь!) тоже люди.) И тоже не любят лишнюю работу. Смотрим на график, и соображаем: без чего на этой картинке можно обойтись?

Нужна ли нам ось ОУ? Если мы и так знаем, что часть параболы выше оси ОХ даёт положительные значения выражения, а ниже — отрицательные.

Не нужна нам ось ОУ. Её наличие никак не сказывается на правильном решении.

Нужна ли нам математически точная форма параболы?

Не нужна. Точная форма никак не сказывается на правильном решении.

Наводим мышку на график и. видим рисунок, который много проще графика. Рисуется за несколько секунд. На этом неказистом рисунке есть вся необходимая информация для верного ответа. И ничего лишнего.

Выделю главные элементы рисунка, которые необходимы для верного решения:

1. Ось иксов требуется, да. )

2. Корни соответствующего квадратного уравнения. Они отмечаются точками на оси. Точки могут быть чёрные, закрашенные (как в нашем случае), или белые, пустые внутри, как будет в следующем примере. Пустые внутри точки ещё называются выколотые точки. Чёрные точки ставятся для нестрогих неравенств (≤; ≥). Они визуально напоминают нам, что корни включаются в ответ. Выколотые точки ставятся для строгих неравенств ( ; ≠) и напоминают, что корни в ответ не включаются.

3. Схематичный рисунок параболы. Здесь важно только одно: куда направлены ветви параболы, вверх или вниз.

Всё. Штриховка, знаки плюс/минус — на любителя. Нужны поначалу, пока глаза и мысли разбегаются.)

Сейчас можно записать алгоритм решения квадратных неравенств по схематичному рисунку. Собственно, это те же самые три шага, только более подробно.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. Подготавливаем неравенство к решению путём тождественных преобразований. Если неравенство уже готово, этот пункт пропускаем.

2. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.

3. Рисуем ось Х, отмечаем точками корни уравнения. Если исходное неравенство нестрогое, точки — черные (закрашенные). Если строгое — белые (пустые внутри).

4. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.

5. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному неравенству и записываем ответ.

Потренируемся в применении алгоритма?)

-x 2 +3x > 0

Первый пункт пропускаем. Неравенство уже готово к решению.

Второй пункт. Делаем из неравенства уравнение:

Решаем (любым способом), находим корни:

Третий пункт. Рисуем ось иксов, отмечаем на ней корни уравнения:

Здесь точки на оси белые, т.к. исходное неравенство — строгое.

Четвёртый пункт. Рисуем (схематично!) параболу:

Парабола будет вверх ногами, извиняюсь, вниз ветвями.) Это потому, что в исходном выражении перед x 2 стоит минус. Минус перед одночленом с квадратом икса всегда переворачивает параболу.

Пятый пункт. Определяем области «+» и «-» на рисунке. Смотрим на исходное неравенство и соображаем, какое условие должно выполняться: больше нуля, или меньше? Нам надо больше нуля. Можно этот промежуток подштриховать. Для красоты):

Смотрим на картину и записываем ответ:

х ∈ (0; 3)

x 2 ≤ 4

Очень простое неравенство. Такое простое, что многие тут же косячат!) Не надо писать сразу x≤ ±2! Это редкий бред, да. ) Надо выполнять первый пункт.

Первый пункт. Готовим неравенство к решению. Переносим четвёрку влево, получаем:

x 2 — 4≤ 0

Вот теперь, всё как надо. Слева — выражение, справа — ноль.

Второй пункт:

Третий пункт:

Четвёртый пункт:

Пятый пункт:

х ∈ [-2; 2]

Вот и все дела! Десяток-другой примеров — и проблем с квадратными неравенствами не будет. Алгоритм прост и безотказен в обращении!)

Вот тут у особо быстрых возникает вопрос. А зачем я писал про параболу?! Почему сразу не дал алгоритм и примеры?!

Отвечаю. Если бы вы знали, сколько народу сыпется на применении тупо заученного алгоритма. А уж при малейшем отклонении от шаблона, простое задание становится вообще нерешаемым. Ниже будет парочка таких примеров. Если понимаете смысл алгоритма, шанс решить есть. Если же не понимаете. Понимание всегда побеждает механическую память.

1. Решить неравенство:

8x 2 — 6x + 1 > 0

2. Найти наименьшее положительное целое решение наравенства:

-x 2 + 2x ≥ -3

3. Найти все значения х, не являющиеся решением неравенства:

x 2 ≥ 16

4. Решить неравенство:

x 2 + 7x + 10 ≠ 0

5. Решить неравенство:

x 2 + 3x + 8 > 0

6. Решить неравенство:

x 2 — 4x + 4 2 — 4x + 4 ≤ 0