Алгебраический метод решения задач способы

Решение текстовых задач по математике

в данной материале рассмотрены различные способы решения текстовых задач по математике

Просмотр содержимого документа
«решение текстовых задач по математике»

Оржевский филиал МБОУ Уметской СОШ

Тема: «Решение текстовых задач различными способами»

В начальных классах учащимся знаком только один способ решения текстовых задач – арифметический и немного учебного времени отводится для решения задач с помощью уравнений. Задачи сопровождают человека на протяжении всей его жизни. Уже в 5-6 классах мы решаем большинство текстовых задач с помощью уравнений. Этот способ так и называем «с помощью уравнений».

Текстовые задачи, на мой взгляд, трудный материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи. Данная тема интересна, потому что она позволяет находить новые неординарные подходы к решению задач, ведь многие текстовые задачи очень трудно решить аналитическим путем. Научившись решать задачи различными способами, я смогу применять их не только на уроках, но и олимпиадах.

На мой вопрос к учащимся 5-9 классов: «Какие способы решения текстовых задач вы знаете?» я получила следующие ответы:

-22% учеников ответили на мой вопрос: «….по действиям»,

-78% ответили: «…с помощью уравнения». Единицы учеников назвали эти способы, как арифметический и алгебраический. Других способов решения текстовых задач опрошенные учащиеся не назвали.

Существуют различные подходы к определению самой задачи. Остановимся на точке зрения Л.М. Фридмана: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче».

Математическая задача – это связанный лаконический рассказ , в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии. Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти .

В современной математике существуют различные способы решения текстовых задач:

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим способом значит найти ответ, на требование задачи, выполняя арифметические действия над числами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим способом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств).

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Схематический. Решить задачу схематическимспособом — это значит найти ответ на требование задачи, как правило, с помощью схем.

Графический. Решить задачу графическим способом — значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Традиционными способами решения задач являются арифметический и алгебраический, остальные менее известны, поэтому отнесём их к нетрадиционным.

Решение текстовых задач арифметическим способом

В арифметическом способе решить задачу- это значит выполнитьарифметические действия над числовыми данными из условия задачи, составив числовое выражение, а конечный результат вычислений – ответ на вопрос задачи.

Задача 1. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал грибов в 2 раза меньше, чем Саша, а Витя на 6 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 22 гриба?

Решение данной задачи не вызывает трудность, если грамотно составить краткую запись:

Коля -?грибов, в 2 раза меньше, чем Саша;

Витя-?грибов, на 6 грибов больше, чем Коля;

Всего: Саша+ Коля+ Витя-? грибов.

В начальной школе нас учили решать эту задачу по действиям, отвечая последовательно на каждый вопрос задачи, а затем на главный вопрос.

22+11+17=50 (гр.) вместе.

Эту же задачу можно решить, записав числовое выражение:

Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

1) 82 32 + 78 = 192 (чел.) — удвоенное число учеников, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192:2 = 96 (чел.) — поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96 – 32 = 64 (чел.) — поют в хоре;

4) 96 – 78 = 18 (чел.) — занимаются танцами;

5) 96 – 82 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой.

1) 82 – 32 = 50 (чел.) — настолько больше учеников поют в хоре, чем

занимаются художественной гимнастикой;

2) 50 + 78 = 128 (чел.) — удвоенное число учеников, поющих в хоре;

3) 128 : 2 = 64 (чел.) — поют в хоре;

4) 78 – 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;

5) 82 – 64 = 18 (чел.) — занимаются танцами.

Ответ: 64 ученика поют в хоре, 14 учеников занимаются художественной гимнастикой, 18 учеников занимаются танцами.

Решение текстовых задач алгебраическим способом

Известный американский педагог и математик Д.Пойа пишет, что «составить уравнение – значит выразить символами условие, сформулированное словами. Это перевод с обычного языка на язык математических формул. Трудности, которые могут встретиться при составлении уравнений, являются трудностями перевода» .

При решении задачи алгебраическим способом необходимо выполнить несколько этапов:

1) Арифметическую краткую запись условия задачи (цель этого этапа-осмысление задачи и выяснение связей между величинами). Форма записи может быть различной – схематический чертёж или таблица всех известных и неизвестных данных задачи. Важно помнить, что этот этап может отсутствовать, если решение задачи элементарно или она не особо усложнена условиями. Неизвестные величины на чертеже или в таблице удобно обозначать знаком «?», а главный вопрос задачи, например, выделить в «кружок». Нужно помнить, что единицы измерения всех величин должны быть единые. Намного облегчает решение задачи общепринятые обозначения в математике, физике и т.д.

2) Алгебраическая краткая запись условий задачи (цель этапа – удачно выбрать переменную и выразить все неизвестные величины задачи через неё. Форма записи такая, как и на 1 этапе, но только вместо знаков «?» везде надо записать выражения с переменной. Важно помнить, обычно этот этап начинается с фразы: «Пусть x единиц -…, тогда…». Чаще всего за неизвестное принимают главный вопрос задачи, хотя бывает это и неудобно, тогда за неизвестное принимают другую величину. При введении переменной необходимо учесть наибольшее удобство математической записи условия задачи.

3) Составление и решение уравнения или системы уравнений или неравенств (цель этапа – составить уравнение или неравенство, опираясь на условие задачи, и найти его решение). Необходимо учитывать область допустимых значений переменных (ОДЗ), чтобы составить уравнение нужно увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы. Например, s=vt.

4) Анализ решения уравнения или неравенства. Цель этапа – из всех найденных решений уравнения выбрать те, которые подходят по смыслу задачи. Обычно этот этап начинается фразой: «По смыслу задачи x должна быть величиной…» (положительной, натуральной, целой, принадлежащей промежутку и т.д.) Если смысловое значение не выполнено, то найденную величину называют посторонним решением. Полезно провести проверку.

5) Запись ответа в соответствии с вопросом задачи.

Решим алгебраическим способом задачу 2, которую решали выше арифметическим способом.

Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

Пусть х учеников занимались танцами, тогда 82-х учеников пели в хоре и 32-х учеников занимались художественной гимнастикой. Составим уравнение по последнему предложение нашей задачи -поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников,значит

(82-х)+(32-х)=78, 2х=36, х=18 учеников занимались танцами, 82-18=64 ученика пели в хоре, 32-18=14 учеников занимались художественной гимнастикой.

Задача 3. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Пусть х деталей в день — первоначальная производительность рабочего. Тогда (х + 10)деталей в день — новая производительность, Зх деталей – число деталей, которое он должен сделать. По условию получаем уравнение Зх = 2(х + 10), решив которое найдем х = 20. Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

Алгебраический способ решения задач является самым распространенными наиболее общим в школьном курсе изучения математики.

Решение текстовых задач геометрическим способом

Геометрический способ заключается в применении свойств геометрических фигур и взаимосвязи их элементов в процессе решения задачи. Данный метод делает решение текстовой задачи более наглядным и позволяет избежать громоздких вычислений. Для составления математической модели текстовой задачи чаще всего применяются отрезки и их длины, а также прямоугольники и их площади. Геометрия придает алгебре необыкновенную красоту и изящность. А вместе алгебра и геометрия представляют собой единое целое. Французский математик София Жермен писала: «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах»

Задача 4. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20% . На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня.

Данную задачу можно решить алгебраическим способом, например, применив дважды, основное свойство пропорции, а можно, применив формулу изменения величины в процентах. Тогда если а – первоначальное количество продукции, а х — % увеличения, то а•(1-0,20)•(1+0,01х)=а. Решив уравнение, найдём х=25%.

Но геометрический способ, на мой взгляд, наиболее наглядно позволяет увидеть решение.

Решение: Представим первоначальный выпуск продукции в виде отрезка АВ Разделим его на 5 равных частей и отметим точку С на расстоянии 1/5 от В. Мы получим отрезок АС, равный 4/5 АВ. Из чертежа видно, что требуется найти какую часть составляет ВС от АС. Решение очевидно. Так как ¼ АС=ВС, тогда требуется увеличить выпуск продукции на ¼ АС, т. е. на 25%.

Задача 7. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км и против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени как на путь против течения. Какова скорость течения реки?

Алгебраический метод приводит к уравнению: 35/(15-x)= 25/(15+x),где x – скорость течения реки. Решив уравнение, находим x=2,5км/ч.

Рассмотрим геометрический метод. Прямоугольники изображаем вместе, чтобы они составляли один большой прямоугольник. Высоты составляющих прямоугольников равны, так как лодка двигалась одинаковое время по течению и против течения реки. Пусть сторона АВ прямоугольника ABCD изображает скорость лодки по течению реки, ВЕ– скорость лодки против течения (BE ˂АВ), а отрезок EF изображает время движения лодки против течения реки, AD будет изображать время движения лодки по течению реки. Если обозначить через x скорость течения реки, а через t– время движения лодки по течению реки, то AB=15+х и EF=AD=t.

Источник

Урок по теме: АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. в 7 классе по учебнику «Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс» под ред. Г. В. Дорофеева

Урок по теме: АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

в 7 классе по учебнику «Математика. Арифметика. Алгебра.

Анализ данных. 7 класс» под ред. Г. В. Дорофеева

ЦЕЛИ УРОКА: повторить алгоритм решения задач с помощью уравнений,

научить составлять уравнения с помощью текстовых задач,

закрепить навык решения линейного уравнения с одним

Проверка домашнего задания.

Составьте выражение по условию задачи (устно):

Для класса купили х тетрадей по 2 руб. за тетрадь и у тетрадей по 3 руб. за

тетрадь. Сколько рублей заплатили за покупку?

От куска материи длиной с(м) три раза отрезали по а(м). Сколько метров

материи осталось в куске?

За 3 часа одна машинистка напечатала n страниц, а другая за 5 часов

Напечатала m страниц. Оказалось, что первая машинистка печатает

быстрее, чем вторая. На сколько страниц в час больше печатает первая

машинистка? (вычислите при n =24, m =45)

Изучение нового материала.

Мы уже решали текстовые задачи с помощью рассуждений и, конечно,

поняли, что к каждой задаче надо подбирать свой особый «ключик».

Алгебра предлагает нам новые возможности решения задач. С помощью

одного и того же общего приема можно решать самые разные задачи.

Решая задачу алгебраическим способом, надо сначала условие задачи,

написанное на русском языке, перевести его на математический язык.

Самое важное в таком переводе – введение переменной. В результате

перевода обычно получается равенство, с которым удобно работать дальше.

Эта работа составляет следующий этап решения – различными математичес-

кими приемами из полученного равенства находят ответ.

ПРИМЕР. В семье две пары детей-близнецов, родившихся с разницей в

три года. В 2010 г. всем вместе исполнится 50 лет. Сколько лет

каждому из них будет в 2008 году?

В 2010 году сумма возрастов четверых детей – 50 лет. В 2008 году возраст

каждого на 2 года меньше, значит, их суммарный возраст меньше на:

2 · 4 = 8 (лет). Таким образом, в 2008 г. близнецам вместе 50 – 8 = 42 (года).

Если бы все они были в возрасте младших, то в 2008 г. им было бы вместе:

42 – 3 · 2 = 36 (лет). Значит, младшим в 2008 г. по: 36 : 4 = 9 (лет), а

старшим – по: 9 + 3 = 12 (лет).

Пусть младшим детям в 2008 г. будет по х лет, тогда старшим в этом году

будет по (х + 3) года. В 2010 году, т. е. через 2 года младшим будет по (х + 2)г.

а старшим – по (х + 5) лет.

По условию задачи их суммарный возраст в 2010 году составляет 50 лет.

Значит, выполняется равенство:

(х + 2) + (х + 2) + (х + 5) + (х + 5) = 50;

Мы нашли неизвестное число, которое обозначили буквой х. Однако это еще не

ответ задачи. через х мы обозначили возраст младшей пары близнецов,

значит, им по 9 лет. Но еще требуется найти возраст старшей пары. Так как

им на 3 года больше, то им по 12 лет.

Ответ: 9 лет, 12 лет.

Также буквой х можно было бы обозначить и возраст старших близнецов.

Тогда получилось бы такое равенство: (х – 1) + (х – 1) + (х + 2) + (х + 2) = 50.

Ответ задачи в этом случае будет тот же. (проверьте это самостоятельно).

Как вы уже знаете, равенство, которое получается при переводе условия текстовой задачи на язык математики, называют уравнением. А сам перевод условия задачи на математический язык обычно называют составлением

уравнения по условию задачи.

Закрепление изученного материала.

На трех полках 50 книг. На средней полке на 4 книги меньше, чем на верхней,

и на 2 книги больше, чем на нижней полке. Сколько книг на каждой полке?

Составьте 3 уравнения, обозначив последовательно буквой х число книг на каждой из полок. Какое уравнение легче было составить?

а) Пусть на верхней полке было х книг, тогда на средней полке было

(х — 4) книг, а на нижней полке (х — 4 – 2 = х-6) книг. Так как всего

на трех полках 50 книг, получим уравнение:

х + (х – 4) + (х – 6) = 50.

б) Пусть на средней полке было х книг, тогда на верхней полке было

(х + 4) книг, а на нижней полке (х – 2) книг. Так как всего на трех

полках 50 книг, получим уравнение:

х + (х + 4) + (х – 2) = 50.

в) Пусть на нижней полке было х книг, тогда на средней полке было

(х + 2) книг, а на верхней полке (х + 2 + 4 = х + 6) книг.

2) Брат старше сестры на 4 года. Отец сказал сыну: «Мне 30 лет. Если

через два года я сложу твой возраст и возраст твоей сестры, то результат

будет меньше моего возраста в два раза». Определите, сколько лет брату и

сестре сейчас, и сколько будет каждому из них через два года?

Пусть сестре сейчас х лет, тогда брату сейчас (х + 4) года. Через 2 года

сестре будет (х + 2) года, а брату (х + 6) лет. Так как через 2 года вместе

им будет (30 + 2) : 2 = 16 (лет), то составим и решим уравнение:

Значит, сейчас сестре 4 года, тогда брату – 4 + 4 = 8(лет). А через 2 года

сестре будет 6 лет, тогда брату 10 лет.

Ответ: 4 года и 8 лет; 6 лет и 10 лет.

3) (Старинная задача) Некто сказал другу: «Дай мне 100 рублей, и я буду вдвое

богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10 рублей, и я стану

в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого?

Пусть Некто имел х рублей. Тогда у него стало бы (х + 100) рублей,

значит, у друга было ((х + 100):2 + 100) рублей. Если бы Некто отдал

другу 10 рублей, то у него осталось бы (х – 10) руб., а у друга стало бы

((х + 100) : 2 + 100 + 10) рублей. Так как тогда бы друг стал богаче

в 6 раз, имеем уравнение:

(х + 100) : 2 + 100 + 10 = 6(х – 10);

(х + 100) : 2 + 110 = 6(х – 10); (·2)

х + 100 + 220 = 12(х – 10);

х + 320 = 12х – 120;

12х – х = 320 + 120;

Значит, у Некто было 40 рублей, тогда у его друга было 170 рублей.

Ответ: 40 рублей, 170 рублей.

Сегодня на уроке мы вспомнили, как решать задачи арифметическим

способом и научились решать те же задачи с помощью алгебраического

способа. Узнали, что для решения одной задачи можно составить несколько уравнений.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 809 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 285 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 601 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДВ-552949

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

В МГУ разрабатывают школьные учебники с дополненной реальностью

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник