Алгебра 7 класс система линейных уравнений способ сложения

Решение системы уравнений методом сложения

23 октября 2015

Этим видео я начинаю цикл уроков, посвящённых системам уравнений. Сегодня мы поговорим о решении систем линейных уравнений методом сложения — это один из самых простых способов, но одновременно и один из самых эффективных.

Способ сложения состоит из трёх простых шагов:

1. Посмотреть на систему и выбрать переменную, у которой в каждом уравнении стоят одинаковые (либо противоположные) коэффициенты;
2. Выполнить алгебраическое вычитание (для противоположных чисел — сложение) уравнений друг из друга, после чего привести подобные слагаемые;
3. Решить новое уравнение, получившееся после второго шага.

Если всё сделать правильно, то на выходе мы получим одно-единственное уравнение с одной переменной — решить его не составит труда. Затем останется лишь подставить найденный корень в исходную система и получить окончательный ответ.

Однако на практике всё не так просто. Причин тому несколько:

• Решение уравнений способом сложения подразумевает, что во всех строчках должны присутствовать переменные с одинаковыми/противоположными коэффициентами. А что делать, если это требование не выполняется?
• Далеко не всегда после сложения/вычитания уравнений указанным способом мы получим красивую конструкцию, которая легко решается. Возможно ли как-то упростить выкладки и ускорить вычисления?

Чтобы получить ответ на эти вопросы, а заодно разобраться с несколькими дополнительными тонкостями, на которых «заваливаются» многие ученики, смотрите мой видеоурок:

Этим уроком мы начинаем цикл лекций, посвященный системам уравнений. А начнем мы из самых простых из них, а именно из те, которые содержат два уравнения и две переменных. Каждое из них будет являться линейным.

Системы — это материал 7-го класса, но этот урок также будет полезен старшеклассникам, которые хотят освежить свои знания в этой теме.

Вообще, существует два метода решения подобных систем:

1. Метод сложения;
2. Метод выражения одной переменной через другую.

Сегодня мы займемся именно первым методом — будем применять способ вычитания и сложения. Но для этого нужно понимать следующий факт: как только у вас есть два или более уравнений, вы вправе взять любые два из них и сложить друг с другом. Складываются они почленно, т.е. «иксы» складываются с «иксами» и приводятся подобные, «игреки» с «игреками» — вновь приводятся подобные, а то, что стоит справа от знака равенства, также складывается друг с другом, и там тоже приводятся подобные.

Результатами подобных махинаций будет новое уравнение, которое, если и имеет корни, то они обязательно будут находиться среди корней исходного уравнения. Поэтому наша задача — сделать вычитание или сложение таким образом, чтобы или $x$, или $y$ исчез.

Как этого добиться и каким инструментом для этого пользоваться — об этом мы сейчас и поговорим.

Решение легких задач с применением способа сложения

Итак, учимся применять метод сложения на примере двух простейших выражений.

Задача № 1

Заметим, что у $y$ коэффициент в первом уравнении $-4$, а во втором — $+4$. Они взаимно противоположны, поэтому логично предположить, что если мы их сложим, то в полученной сумме «игреки» взаимно уничтожатся. Складываем и получаем:

Решаем простейшую конструкцию:

Прекрасно, мы нашли «икс». Что теперь с ним делать? Мы вправе подставить его в любое из уравнений. Подставим в первое:

\[-4y=12\left| :\left( -4 \right) \right.\]

Ответ: $\left( 2;-3 \right)$.

Задача № 2

Здесь полностью аналогичная ситуация, только уже с «иксами». Сложим их:

Мы получили простейшее линейное уравнение, давайте решим его:

Теперь давайте найдем $x$:

Ответ: $\left( -3;3 \right)$.

Важные моменты

Итак, только что мы решили две простейших системы линейных уравнений методом сложения. Еще раз ключевые моменты:

1. Если есть противоположные коэффициенты при одной из переменных, то необходимо сложить все переменные в уравнении. В этом случае одна из них уничтожится.
2. Найденную переменную подставляем в любое из уравнений системы, чтобы найти вторую.
3. Окончательную запись ответа можно представить по-разному. Например, так — $x=. y=. $, или в виде координаты точек — $\left( . ;. \right)$. Второй вариант предпочтительней. Главное помнить, что первой координатой идет $x$, а второй — $y$.
4. Правило записывать ответ в виде координат точки применимо не всегда. Например, его нельзя использовать, когда в роли переменных выступают не $x$ и $y$, а, к примеру, $a$ и $b$.

В следующих задачах мы рассмотрим прием вычитания, когда коэффициенты не противоположны.

Решение легких задач с применением метода вычитания

Задача № 1

Заметим, что противоположных коэффициентов здесь нет, однако есть одинаковые. Поэтому вычитаем из первого уравнения второе:

\[10x-\left( -6x \right)-3y-\left( -3y \right)=5-\left( -27 \right)\]

\[16x=32\left| :16 \right.\]

Теперь подставляем значение $x$ в любое из уравнений системы. Давайте в первое:

Ответ: $\left( 2;5 \right)$.

Задача № 2

Мы снова видим одинаковый коэффициент $5$ при $x$ в первом и во втором уравнении. Поэтому логично предположить, что нужно из первого уравнения вычесть второе:

\[6y=-18\left| :6 \right.\]

Одну переменную мы вычислили. Теперь давайте найдем вторую, например, подставив значение $y$ во вторую конструкцию:

\[5x-2\cdot \left( -3 \right)=-4\]

\[5x=-10\left| :5 \right.\]

Ответ: $\left( -3;-2 \right)$.

Нюансы решения

Итак, что мы видим? По существу, схема ничем не отличается от решения предыдущих систем. Отличие только в том, что мы уравнения не складываем, а вычитаем. Мы проводим алгебраическое вычитание.

Другими словами, как только вы видите систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, первое, на что вам необходимо посмотреть — это на коэффициенты. Если они где-либо одинаковые, уравнения вычитаются, а если они противоположные — применяется метод сложения. Всегда это делается для того, чтобы одна из них исчезла, и в итогом уравнении, которая осталась после вычитания, осталась бы только одна переменная.

Разумеется, это еще не все. Сейчас мы рассмотрим системы, в которых уравнения вообще несогласованны. Т.е. нет в них таких переменных, которые были бы либо одинаковые, либо противоположные. В этом случае для решения таких систем применяется дополнительный прием, а именно домножение каждого из уравнений на специальный коэффициент. Как найти его и как решать вообще такие системы, сейчас мы об этом и поговорим.

Решение задач методом домножения на коэффициент

Пример № 1

Мы видим, что ни при $x$, ни при $y$ коэффициенты не только не взаимно противоположны, но и вообще никак не соотносятся с другим уравнением. Эти коэффициенты никак не исчезнут, даже если мы сложим или вычтем уравнения друг из друга. Поэтому необходимо применить домножение. Давайте попытаемся избавиться от переменной $y$. Для этого мы домножим первое уравнение на коэффициент при $y$ из второго уравнения, а второе уравнение — при $y$ из первого уравнения, при этом не трогая знак. Умножаем и получаем новую систему:

Смотрим на нее: при $y$ противоположные коэффициенты. В такой ситуации необходимо применять метод сложения. Сложим:

Теперь необходимо найти $y$. Для этого подставим $x$ в первое выражение:

\[-9y=18\left| :\left( -9 \right) \right.\]

Ответ: $\left( 4;-2 \right)$.

Пример № 2

Вновь коэффициенты ни при одной из переменных не согласованы. Домножим на коэффициенты при $y$:

\[\left\< \begin& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end \right.\]

Наша новая система равносильна предыдущей, однако коэффициенты при $y$ являются взаимно противоположными, и поэтому здесь легко применить метод сложения:

Теперь найдем $y$, подставив $x$ в первое уравнение:

\[11\cdot \left( -2 \right)+4y=-18\]

Ответ: $\left( -2;1 \right)$.

Нюансы решения

Ключевое правило здесь следующее: всегда умножаем лишь на положительные числа — это избавит вас от глупых и обидных ошибок, связанных с изменением знаков. А вообще, схема решения довольно проста:

1. Смотрим на систему и анализируем каждое уравнение.
2. Если мы видим, что ни при $y$, ни при $x$ коэффициенты не согласованы, т.е. они не являются ни равными, ни противоположными, то делаем следующее: выбираем переменную, от которой нужно избавиться, а затем смотрим на коэффициенты при этих уравнениях. Если первое уравнение домножим на коэффициент из второго, а второе, соответственное, домножим на коэффициент из первого, то в итоге мы получим систему, которая полностью равносильна предыдущей, и коэффициенты при $y$ будут согласованы. Все наши действия или преобразования направлены лишь на то, чтобы получить одну переменную в одном уравнении.
3. Находим одну переменную.
4. Подставляем найденную переменную в одно из двух уравнений системы и находим вторую.
5. Записываем ответ в виде координаты точек, если у нас переменные $x$ и $y$.

Но даже в таком нехитром алгоритме есть свои тонкости, например, коэффициенты при $x$ или $y$ могут быть дробями и прочими «некрасивыми» числами. Эти случаи мы сейчас рассмотрим отдельно, потому что в них можно действовать несколько иначе, чем по стандартному алгоритму.

Решение задач с дробными числами

Пример № 1

Для начала заметим, что во втором уравнении присутствуют дроби. Но заметим, что можно разделить $4$ на $0,8$. Получим $5$. Давайте второе уравнение домножим на $5$:

Вычитаем уравнения друг из друга:

$n$ мы нашли, теперь посчитаем $m$:

\[4m-3\cdot \left( -4 \right)=32\]

Пример № 2

\[\left\< \begin& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end \right.\]

Здесь, как и в предыдущей системе, присутствуют дробные коэффициенты, однако ни при одной из переменных коэффициенты в целое число раз друг в друга не укладываются. Поэтому используем стандартный алгоритм. Избавится от $p$:

Применяем метод вычитания:

Давайте найдем $p$, подставив $k$ во вторую конструкцию:

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

Нюансы решения

Вот и вся оптимизация. В первом уравнении мы не стали домножать вообще ни на что, а второе уравнение домножили на $5$. В итоге мы получили согласованное и даже одинаковое уравнение при первой переменной. Во второй системе мы действовали по стандартному алгоритму.

Но как найти числа, на которые необходимо домножать уравнения? Ведь если домножать на дробные числа, мы получим новые дроби. Поэтому дроби необходимо домножить на число, которое бы дало новое целое число, а уже после этого домножать переменные на коэффициенты, следуя стандартному алгоритму.

В заключение хотел бы обратить ваше внимание на формат записи ответа. Как я уже и говорил, поскольку здесь у нас тут не $x$ и $y$, а другие значения, мы пользуемся нестандартной записью вида:

Решение сложных систем уравнений

В качестве заключительного аккорда к сегодняшнему видеоуроку давайте рассмотрим пару действительно сложных систем. Их сложность будет состоять в том, что в них и слева, и справа будут стоять переменные. Поэтому для их решения нам придется применять предварительную обработку.

Система № 1

\[\left\< \begin& 3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4 \\& 6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8 \\\end \right.\]

Каждое уравнение несет в себе определенную сложность. Поэтому с каждым выражением давайте поступим как с обычной линейной конструкцией.

\[3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4\]

\[6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8\]

Итого мы получим окончательную систему, которая равносильна исходной:

Посмотрим на коэффициенты при $y$: $3$ укладывается в $6$ два раза, поэтому домножим первое уравнение на $2$:

Коэффициенты при $y$ теперь равны, поэтому вычитаем из первого уравнения второе: $$

Теперь найдем $y$:

Ответ: $\left( 0;-\frac<1> <3>\right)$

Система № 2

\[\left\< \begin& 4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11 \\& -3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b \\\end \right.\]

Преобразуем первое выражение:

\[4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11\]

Разбираемся со вторым:

\[-3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b\]

Итого, наша первоначальная система примет такой вид:

Посмотрев на коэффициенты при $a$, мы видим, что первое уравнение нужно домножить на $2$:

Вычитаем из первой конструкции вторую:

Теперь найдем $a$:

Ответ: $\left( a=\frac<1><2>;b=0 \right)$.

Вот и все. Надеюсь, этот видеоурок поможет вам разобраться в этой нелегкой теме, а именно в решении систем простых линейных уравнений. Дальше еще будет много уроков, посвященных этой теме: мы разберем более сложные примеры, где переменных будет больше, а сами уравнения уже будут нелинейными. До новых встреч!

Источник

Открытый урок по алгебре: Способ сложения систем уравнений. 7 класс

Тема урока «Решение систем линейных уравнений способом сложения»

(урок обобщения и систематизации знаний).

Учитель: Котопуло А.С.

Оборудование: учебники, проектор, презентации.

1) актуализация опорных знаний и способов действий при решении систем уравнений;

2) добиваться осмысленного применения способа сложения при выполнении упражнений по образцу и в измененной ситуации;

3) развивать логическое мышление учащихся;

4) вырабатывать умение сравнивать, делать выводы, делать самопроверку.

1) Организационный момент, вступительная беседа учителя — 2 мин.

2) Устная работа — 8 мин.

3) Актуализация опорных знаний -25 мин.

4) Физкультминутка – 1 мин

5) Рефлексия, итог урока — 3 мин.

6) Домашнее задание — 1 мин.

1. Организационный момент.

— Здравствуйте, ребята! Тема нашего урока: « Решение систем линейных уравнений способом сложения». Мы сегодня на уроке продолжим решать системы способом сложения. У вас будет возможность проверить себя, как вы умеете применять способ сложения при выполнении различных заданий.

2. Устная работа .

-Мы с вами в течение нескольких уроков решали системы уравнений различными способами.

-Прежде всего давайте вспомним, что называется решением системы уравнений с 2-мя переменными?

( Решением системных уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство)

-А что значит решить систему уравнений?

( Решить систему уравнений- значит найти все её решения или доказать , что решений нет) .

-Какие способы решения систем вы знаете?

( Графический, способ подстановки, способ сложения ).

№ 1.Пара чисел (. ;0);(3;…);(4;…) является решением уравнением 2х – у = 6

Найти неизвестное число в паре.

№ 2.В какой точке пересекаются прямые:

а) х – у =3 и у = 3; Ответ: (6;3)

б) 3х+у=8 и у=х; Ответ: (2;2)

№ 3.Решите систему уравнений способом сложения

3. Актуализация опорных знаний.

1 . Запишите систему уравнений с двумя переменными.

-В чем состоит способ сложения?

(1. Умножаем почленно уравнения системы на такие множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

2. Складываем почленно левые и правые части уравнений.

3. Решаем уравнение с одной переменной.

4.Находим соответствующее значение второй переменной.)

2. — А теперь сделаем самостоятельную работу с самопроверкой

(После решения заданий, ребята обмениваются своими работами, на экран выводится решение и они проверяют их)

-6x – 3y = -27 /* ( — 2 )

6х + 2х + 6у + у =5

4. Физминутка. (После решения самостоятельной работы, но перед самопроверкой)

Это упражнение расслабляет руки, плечи и позвоночник и, кроме того, улучшает дыхание.

• Встаньте, поставьте ноги врозь на ширину плеч.

• Поднимите руки высоко над головой и вытягивайте их все выше вверх.

При этом представьте себе, что хотите схватить с неба звезду руками.

Почувствуйте, как удлиняется верхняя часть тела, плечи, руки, пальцы. Сделайте так еще пару раз, доставайте с неба звездочки попеременно правой и левой рукой. При этом равномерно глубоко дышите.

3.Задание всему классу

Составить уравнение вида

y = kx + b , график которого

проходит через точки A (8;-1) и B (-4;17).

Ответ: y = -1,5 x +11

5. Рефлексия. Итог урока.

Сегодня на уроке мне понравилось…….

Сегодня на уроке я узнал………

Сегодня на уроке я научился……..

— Какие виды работы мы использовали?

Повторение алгоритма решения линейных уравнений способом сложения.

6. Домашнее задание: № 1094, 1095.

Самоанализ урока в 7 «Б» классе по теме:

«Системы линейных уравнений. Способ сложения» 12.04.2019г.

— повторить понятие системы линейных уравнений с двумя переменными, ее решения;

-способствовать выработке навыков и умений при решении систем линейных уравнений способом сложения;

-способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления.

-развитие математической речи учащихся;

-умения анализировать, сравнивать, сопоставлять;

-развитие внимания, наблюдательности, памяти;

-формирование таких качеств личности, как организованность, ответственность, аккуратность;

-выработать умение анализировать проделанную работу и адекватно её оценивать;

-воспитывать культуру поведения при групповой и индивидуальной работе, формирование положительной мотивации, способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

В процессе выстраивания работы с детьми я планировала сформулировать следующие УУД:

-умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

-проговаривать последовательность действий на уроке;

— планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;

-высказывать своё предположение.

-умение оформлять свои мысли в устной форме;

-слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в коллективе.

-умение ориентироваться в своей системе знаний,

-добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Данный урок является уроком закрепления пройденного материала. Учебный материал я отбирала в соответствии с программными требованиями, при этом учитывала особенности восприятия материала обучающимися 7 класса. Этот урок является четвёртым по изучаемой теме.

На мой взгляд, выбранная структура урока является рациональной для решения поставленных задач, все части урока взаимосвязаны и логически вытекают одна из другой.

На уроке применялись элементы следующих современных образовательных технологий:

технологии развития критического мышления – служат для активизации мыслительной деятельности. Данная технология урока характерна для данного типа и вида урока и рациональна для достижения поставленных целей. В связи с тем, что класс по своей подготовленности сможет принять активное участие в учебной деятельности, было выбрано сочетание следующих средств и методов работы: наглядно-словесные, практические, создание ситуации успеха (дифференцированная помощь). Процесс обучения строился на постепенном усложнении содержания. Главный акцент на уроке делался на закрепление навыков учащихся при выполнении упражнений, а также памяти, внимания, логического мышления.

информационной технологии (презентация) –делает процесс обучения более ярким, визуализирует учебный материал, делает более понятным и доступным. Презентация, используемая, способствовала лучшему восприятию материала для самопроверки заданий.

здоровьесберегающей технологии – чёткая дозировка учебной нагрузки, смена видов деятельности.

Виды речевой деятельности учащихся на уроке разнообразны: слушание, чтение, диалог, письмо. Для раскрытия материала урока мною выбраны словесные методы совместной деятельности с классом, что позволило обучающимся находиться в активном рабочем, но не напряженном состоянии, что, безусловно, отразилось на результатах урока. На уроке преобладал демократический стиль общения педагога с учащимися. Благоприятный психологический климат благотворно влиял на работу, повышал внимание и сосредоточенность обучающихся. Эмоциональность занятия повышала работоспособность детей. Школьники свободно выражали свое мнение, не опасаясь критики со стороны учителя. Можно сделать вывод, что выбранная мною форма проведения урока позволяет организовать равноправное общение, создать благоприятный психологический климат и атмосферу сотрудничества

Характер тренировочных упражнений достаточной степени сложности. Задания рассчитаны на обучающихся, имеющих средний и высокий уровень развития.

В течение всего урока осуществлялся контроль знаний, умений и навыков обучающихся. Контроль усвоения знаний не был выделен в отдельный этап урока и проходил на протяжении всего урока. Осуществлялся самоконтроль со стороны обучающихся. Обучающимся была дана возможность самостоятельно оценивать работу соседа по парте.

В конце урока совместно подведен итог работы над темой, что способствовало целостности и завершенности занятия в целом. Выводы не формулировались учителем, а являлись результатом деятельности самих обучающихся. Проведена рефлексия, тем самым обучающиеся были направлены на обратную связь.

Домашнее задание было оптимальным.

Проанализировав занятие можно сделать вывод: заявленные цели находили отражение в каждом этапе урока. Прослеживались взаимосвязь всех этапов (наличие выводов после каждого этапа и итог в конце урока), что способствовало обеспечению целостности и завершенности занятия.

Деятельность учащихся я оцениваю следующим образом: на уроке чётко проявился интерес к предмету, эмоциональное состояние учащихся было приподнятым в начале и к концу урока. На уроке присутствовали самоконтроль и самокоррекция со стороны ребят. Была высока степень самостоятельности в учебной деятельности.

Источник