Аксиоматический метод способ исследования

Особенности аксиоматического метода, этапы, примеры

аксиоматический метод или также называемый Аксиоматика — это формальная процедура, используемая науками, посредством которой формулируются утверждения или суждения, называемые аксиомами, связанные друг с другом отношением выводимости и которые являются основой гипотезы или условий определенной системы..

Это общее определение должно быть включено в эволюцию, которую эта методология имела на протяжении всей истории. Во-первых, существует древний метод или содержание, родившееся в Древней Греции от Евклида и позднее разработанное Аристотелем..

Во-вторых, уже в девятнадцатом веке появление геометрии с аксиомами отличалось от аксиом Евклида. И, наконец, формальный или современный аксиоматический метод, максимальным показателем которого был Дэвид Гильберт.

Помимо развития с течением времени, эта процедура была основой дедуктивного метода, используемого в геометрии и логике, где она возникла. Это также использовалось в физике, химии и биологии.

И это даже применимо к юридической науке, социологии и политической экономии. Однако в настоящее время наиболее важной областью его применения является математика и символическая логика, а также некоторые отрасли физики, такие как термодинамика, механика и другие дисциплины..

• 1 Характеристики
  • 1.1 Старый аксиоматический метод или содержание
  • 1.2 Неевклидов аксиоматический метод
  • 1.3 Современный или формальный аксиоматический метод
• 2 шага
• 3 примера
• 4 Ссылки

черты

Хотя фундаментальной характеристикой этого метода является формулировка аксиом, они не всегда рассматривались одинаково.

Есть некоторые, которые могут быть определены и построены произвольным образом. И другие, в соответствии с моделью, в которой рассматривается ее интуитивно гарантированная правда.

Чтобы понять, в чем конкретно состоит это различие и каковы его последствия, необходимо рассмотреть эволюцию этого метода..

Старый аксиоматический метод или содержание

Это тот, который был основан в Древней Греции в 5 веке до нашей эры. Сфера его применения — геометрия. Фундаментальная работа этого этапа — «Элементы Евклида», хотя считается, что до него Пифагор уже породил аксиоматический метод..

Таким образом, греки принимают определенные факты за аксиомы, не требуя каких-либо логических доказательств, то есть без необходимости демонстрации, поскольку для них они являются очевидной истиной.

Евклид, в свою очередь, представляет пять аксиом по геометрии:

1-Учитывая две точки есть линия, которая содержит или связывает их.

2-Любой сегмент может продолжаться непрерывно по неограниченной линии с обеих сторон..

3-Вы можете нарисовать круг, который имеет центр в любой точке и любом радиусе.

4-прямые углы одинаковы.

5. Принимая любую прямую линию и любую точку, которая не находится в ней, есть прямая линия, параллельная этому, и которая содержит эту точку. Эта аксиома известна позже как аксиома параллелей и была сформулирована также как: точкой вне линии можно провести одну параллель.

Тем не менее, как Евклид, так и более поздние математики сходятся во мнении, что пятая аксиома не так понятна, как другая 4. Даже во времена Ренессанса пытается вывести пятую из остальных 4, но это невозможно.

Это сделало то, что уже в девятнадцатом веке те, кто поддерживал пятерых, были сторонниками евклидовой геометрии, а те, кто отрицал пятую, были теми, кто создал неевклидовы геометрии.

Неевклидов аксиоматический метод

Именно Николай Иванович Лобачевский, Янош Боляй и Иоганн Карл Фридрих Гаусс видят возможность построения, без противоречия, геометрии, которая исходит из систем аксиом, отличных от систем аксиом Евклида. Это разрушает веру в абсолютную или априорную истинность аксиом и теорий, которые вытекают из них.

Следовательно, аксиомы начинают восприниматься как отправные точки данной теории. Также и их выбор, и проблема их обоснованности, так или иначе, начинают касаться фактов, выходящих за рамки аксиоматической теории..

Таким образом появляются геометрические, алгебраические и арифметические теории, построенные с помощью аксиоматического метода..

Эта стадия завершается созданием аксиоматических систем для арифметики, таких как система Джузеппе Пеано в 1891 году; геометрия Дэвида Хьюберта в 1899 году; заявления и предикатные расчеты Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела в Англии в 1910 году; Аксиоматическая теория множеств Эрнста Фридриха Фердинанда Цермело в 1908 г..

Современный или формальный аксиоматический метод

Именно Дэвид Хьюберт инициирует концепцию формального аксиоматического метода, и это приводит к его кульминации, Дэвид Хилберт.

Именно Гильберт формализует научный язык, рассматривая его утверждения как формулы или последовательности знаков, которые сами по себе не имеют никакого значения. Они приобретают смысл только в определенной интерпретации..

ВОсновы геометрии«Объясняет первый пример этой методологии. Отсюда геометрия становится наукой о чисто логических последствиях, которые извлекаются из системы гипотез или аксиом, лучше сформулированных, чем евклидова система..

Это потому, что в старой системе аксиоматическая теория основана на доказательстве аксиом. В то время как основа формальной теории дана демонстрацией непротиворечивости ее аксиом.

меры

Процедура, которая выполняет аксиоматическое структурирование в рамках научных теорий, признает:

a — выбор определенного количества аксиом, то есть ряда предложений определенной теории, которые принимаются без необходимости демонстрации.

б-понятия, входящие в эти суждения, не определены в рамках данной теории.

c-правила определения и вывода данной теории фиксированы и позволяют вводить новые понятия в рамках теории и логически выводить некоторые положения из других.

г — другие положения теории, т. е. теорема, выводятся из а на основе с.

примеров

Этот метод может быть проверен посредством демонстрации двух наиболее известных теорем Евклида: теоремы о ножке и теоремы о высоте..

И то и другое вытекает из наблюдения этого греческого геометра о том, что при построении высоты относительно гипотенузы внутри прямоугольного треугольника два треугольника оказываются больше оригинала. Эти треугольники похожи друг на друга и в то же время похожи на треугольник происхождения. Это предполагает, что их соответствующие гомологичные стороны пропорциональны.

Можно видеть, что конгруэнтные углы в треугольниках таким образом подтверждают сходство, которое существует между тремя задействованными треугольниками согласно критерию подобия AAA. Этот критерий гласит, что когда два треугольника имеют все равные углы, они похожи.

Как только треугольники показаны подобными, пропорции, определенные в первой теореме, могут быть установлены. В нем утверждается, что в правом треугольнике измерение каждого катета представляет собой среднее геометрическое пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета в нем..

Вторая теорема — это теорема о высоте. Он указывает, что любой прямоугольный треугольник, высота которого нарисована в соответствии с гипотенузой, является геометрическим пропорциональным средним между сегментами, которые определяются указанным геометрическим средним на гипотенузе..

Конечно, обе теоремы имеют множество применений во всем мире не только в области образования, но и в технике, физике, химии и астрономии..

Источник

Аксиомы — Аксиоматический метод исследования

Специфическим методом построения развитой теории является аксиоматический метод. Впервые он был применен в математике при построении геометрии Евклида, а затем, в ходе исторического развития знаний, стал применяться и в эмпирических науках. Однако здесь аксиоматический метод выступает в особой форме гипотетико-дедуктивного метода построения теории. Рассмотрим, в чем состоит сущность каждого из названных методов.

При аксиоматическом построении теоретического знания сначала задается набор исходных положений, нe требующих доказательства (по крайней мере, в рамках данной системы знания). Эти положения называются аксиомами, или постулатами. Затем из них по определенным правилам строится система выводных предложений. Совокупность исходных аксиом и выведенных на их основе предложений образует аксиоматически построенную теорию.

Аксиомы — это утверждения, доказательства истинности которых не требуется. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия. Следование определенным, четко зафиксированным правилам вывода позволяет упорядочить процесс рассуждения при развертывании аксиоматической системы, сделать это рассуждение более строгим и корректным.

Аксиоматический метод развивался по мере развития науки. «Начала» Евклида были первой стадией его применения, которая получила название содержательной аксиоматики. Аксиомы вводились здесь на основе уже имеющегося опыта и выбирались как интуитивно очевидные положения. Правила вывода в этой системе также рассматривались как интуитивно очевидные и специально не фиксировались. Все это накладывало определенные ограничения на содержательную аксиоматику.

Эти ограничения содержательно-аксиоматического подхода были преодолены последующим развитием аксиоматического метода, когда был совершен переход от содержательной к формаль­ной и затем к формализованной аксиоматике.

При формальном построении аксиоматической системы уже не ставится требование выбирать только интуитивно очевидные аксиомы, для которых заранее задана область характеризуемых ими объектов. Аксиомы вводятся формально, как описание некоторой системы отношений (не связанных жестко только с одним конкретным видом объектов); термины, фигурирующие в аксиомах, первоначально определяются только через их отношение друг к другу. Тем самым аксиомы в формальной системе рассматриваются как своеобразные определения исходных понятий (терминов). Другого, независимого, определения указанные понятия первоначально не имеют.

Дальнейшее развитие аксиоматического метода привело к третьей стадии — построению формализованных аксиоматических систем.

Формальное рассмотрение аксиом дополняется на этой стадии использованием математической логики как средства, обеспечивающего строгое выведение из них следствий. В результате аксиоматическая система начинает строиться как особый формализованный язык (исчисление). Вводятся исходные знаки — термины, затем указываются правила их соединения в формулы, задается перечень исходных принимаемых без доказательства формул, и, наконец, правила вывода из основных формул производных. Так создается абстрактная знаковая модель, которая затем интерпретируется на самых различных системах объектов.

Построение формализованных аксиоматических систем привело к большим успехам прежде всего в математике и даже породило представление о возможности ее развития чисто формальными средствами. Однако вскоре обнаружилась ограниченность таких представлений. В частности, К. Гёделем в 1931 году была доказана теорема о принципиальной неполноте достаточно развитых формальных систем. Гедель показал, что невозможно построить такую формальную систему, множество выводимых (доказуемых) формул которой охватило бы множество всех содержательно истинных утверждений теории, для формализации которой строится эта формальная система.

Другое важное следствие теоремы Геделя состоит в том, что невозможно решить вопрос о непротиворечивости таких систем их же собственными средствами. Теорема Геделя, а также ряд других исследований но обоснованию математики показали, что аксиоматический метод имеет границы своей применимости. Нельзя, например, всю математику представить как единую аксиоматически построенную систему, хотя это не исключает, конечно, успешной аксиоматизации ее отдельных разделов.

Источник

Метод аксиоматический

Аксиоматический метод — это метод развития, построения и систематизации научно-теоретического знания (см. Теория) в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путём выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) данной теории.

При аксиоматическом построении теоретического знания сначала перечисляются основные (неопределяемые) понятия, при этом все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определённые ранее. Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через ещё более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми. Далее формулируется и задаётся набор исходных положений, не требующих доказательства и называемых постулатами или аксиомами (аксиомы — это утверждения, доказательство истинности которых не требуется — см. Аксиома). Затем из них по посредством логических процедур вывода (доказательства) выводятся (дедуцируются) все остальные предложения (утверждения), называемые теоремами. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия. Совокупность исходных аксиом и выведенных на их основе предложений образует аксиоматически построенную теорию. Иногда аксиоматическую теорию строят с помощью специального (формализованного) языка символов. В этом случае аксиомы представляют собой формулы этого языка (последовательности символов), а теоремы получаются как преобразования исходных последовательностей символов в новые последовательности по строго определённым логическим правилам исходных последовательностей символов в новые последовательности. Такую теорию называют исчислением, или формальной аксиоматической теорией. Правила, по которым должны проводиться такие рассуждения, рассматриваются в логике (см. Логика). Фиксация определённых правил вывода позволяет упорядочить процесс рассуждения при развёртывании аксиоматической системы, сделать это рассуждение более строгим и корректным. Тем самым аксиоматический метод облегчает организацию и систематизацию научного знания и служит средством построения развитой научной теории.

Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто так называемые постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а античные математики делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Следует отметить, что учёт статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, например, одну из них новым постулатом значения.

Наиболее широко аксиоматический метод используется в математике. Он применяется и в эмпирических науках, но с учётом ряда особенностей. В основном сфера применения аксиоматического метода ограничена теми науками, в которых понятия имеют стабильность, достаточную для применения к ним чётких предписаний формальной логики, а наибольшая эффективность метода проявляется лишь тогда, когда надлежит разобраться только в отношениях между понятиями. В противном случае самая ответственная часть решения задачи выпадает на долю экспериментов и наблюдений, рассуждения же играют уже подчинённую роль. По этой причине попытки применения аксиоматического метода в философии (которая по самому существу занимается неформализованным анализом понятий, при этом не рассматриваемых как стабильные), а также в науках, тесно связанных с наблюдениями, большого успеха не имели.

Аксиоматический метод развивался по мере развития науки. Первоначально он был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Его научная значимость была обоснована ещё Аристотелем в начале III века до новой эры, который первым разделил всё множество истинных высказываний на основные («принципы») и требующие доказательства («доказываемые»). Применительно к геометрии её реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Геометрическая система Евклида стала первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века. Открытие в XIX веке неевклидовой геометрии (К. Ф. Гаусс, Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причём сразу целых их семейств; появление переменных структур вроде групп; наконец, широкое обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» — всё это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Наряду с этим, в конце XIX века Дж. Пеано ввёл аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщён и на логику. Д. Гилберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний (требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом), а П. Бернайс — логики предикатов. В XX веке аксиоматический метод становится формализованным. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий.

Аксиоматические теории представляют собой одну высших форму организации знания. Относительно них могут устанавливаться такие их свойства, как непротиворечивость, полнота, разрешимость, независимость исходных постулатов, определяться их отношения к другим аксиоматическим теориям и так далее. Однако, как показал К. Гёдель, доказавший в 1931 году теорему о принципиальной неполноте любой формальной системы, аксиоматический метод имеет существенные ограничения в своём применении, так как достаточно богатые содержательные теории в принципе не могут быть полностью аксиоматизированы. В дальнейшем были получены и другие ограничительные теоремы, касающиеся аксиоматического метода. В частности, А. Тарский показал, что понятие истины, определяемое относительно некоторой теории, не выразимо средствами этой теории.

Учитывая накладываемые на него ограничения, аксиоматический метод рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (см. Метод гипотетико-дедуктивный) и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от аксиоматического метода, предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений аксиоматического метода: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счёт возможности введения дополнительных гипотез, жёстко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, то есть снять ограничение на справедливость аксиоматики «во всех мирах»; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, аксиоматический метод, в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определённым содержательным предметным областям.

Источник

Наиме­но­ва­ние:	Аксиоматический метод (образовано от греческого слова: ἀξίωμα — значимое утверждение, принятое требование).
Опреде­ле­ние:	Аксиоматический метод — это метод развития, построения и систематизации научно-теоретического знания в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путём выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) данной теории.
Раздел:	Концепты Концепты научного дискурса Концепты методологического дискурса
Дискурс:	Методология Наука
Субдис­курс:	Методология науки Методы научного познания
Связан­ные концепты:	Аксиома Метод гипотетико-дедуктивный Метод аксиоматико-дедуктивный Теория
Текст статьи: © B. C. Стёпин. В. Л. Абушенко. Н. Н. Непейвода. Подготовка элект­рон­ной публи­ка­ции и общая редакция: Центр гума­нитар­ных техно­логий. Ответ­ст­вен­ный редактор: А. В. Агеев . Инфор­ма­ция на этой стра­нице пери­оди­чески обнов­ля­ется. Послед­няя редакция: 13.11.2021.