Меню

Аксиоматический метод как способ построения теории

Метод аксиоматический

Аксиоматический метод — это метод развития, построения и систематизации научно-теоретического знания (см. Теория) в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путём выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) данной теории.

При аксиоматическом построении теоретического знания сначала перечисляются основные (неопределяемые) понятия, при этом все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определённые ранее. Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через ещё более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми. Далее формулируется и задаётся набор исходных положений, не требующих доказательства и называемых постулатами или аксиомами (аксиомы — это утверждения, доказательство истинности которых не требуется — см. Аксиома). Затем из них по посредством логических процедур вывода (доказательства) выводятся (дедуцируются) все остальные предложения (утверждения), называемые теоремами. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия. Совокупность исходных аксиом и выведенных на их основе предложений образует аксиоматически построенную теорию. Иногда аксиоматическую теорию строят с помощью специального (формализованного) языка символов. В этом случае аксиомы представляют собой формулы этого языка (последовательности символов), а теоремы получаются как преобразования исходных последовательностей символов в новые последовательности по строго определённым логическим правилам исходных последовательностей символов в новые последовательности. Такую теорию называют исчислением, или формальной аксиоматической теорией. Правила, по которым должны проводиться такие рассуждения, рассматриваются в логике (см. Логика). Фиксация определённых правил вывода позволяет упорядочить процесс рассуждения при развёртывании аксиоматической системы, сделать это рассуждение более строгим и корректным. Тем самым аксиоматический метод облегчает организацию и систематизацию научного знания и служит средством построения развитой научной теории.

Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто так называемые постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а античные математики делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Следует отметить, что учёт статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, например, одну из них новым постулатом значения.

Наиболее широко аксиоматический метод используется в математике. Он применяется и в эмпирических науках, но с учётом ряда особенностей. В основном сфера применения аксиоматического метода ограничена теми науками, в которых понятия имеют стабильность, достаточную для применения к ним чётких предписаний формальной логики, а наибольшая эффективность метода проявляется лишь тогда, когда надлежит разобраться только в отношениях между понятиями. В противном случае самая ответственная часть решения задачи выпадает на долю экспериментов и наблюдений, рассуждения же играют уже подчинённую роль. По этой причине попытки применения аксиоматического метода в философии (которая по самому существу занимается неформализованным анализом понятий, при этом не рассматриваемых как стабильные), а также в науках, тесно связанных с наблюдениями, большого успеха не имели.

Аксиоматический метод развивался по мере развития науки. Первоначально он был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Его научная значимость была обоснована ещё Аристотелем в начале III века до новой эры, который первым разделил всё множество истинных высказываний на основные («принципы») и требующие доказательства («доказываемые»). Применительно к геометрии её реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Геометрическая система Евклида стала первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века. Открытие в XIX веке неевклидовой геометрии (К. Ф. Гаусс, Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причём сразу целых их семейств; появление переменных структур вроде групп; наконец, широкое обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» — всё это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Наряду с этим, в конце XIX века Дж. Пеано ввёл аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщён и на логику. Д. Гилберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний (требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом), а П. Бернайс — логики предикатов. В XX веке аксиоматический метод становится формализованным. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий.

Аксиоматические теории представляют собой одну высших форму организации знания. Относительно них могут устанавливаться такие их свойства, как непротиворечивость, полнота, разрешимость, независимость исходных постулатов, определяться их отношения к другим аксиоматическим теориям и так далее. Однако, как показал К. Гёдель, доказавший в 1931 году теорему о принципиальной неполноте любой формальной системы, аксиоматический метод имеет существенные ограничения в своём применении, так как достаточно богатые содержательные теории в принципе не могут быть полностью аксиоматизированы. В дальнейшем были получены и другие ограничительные теоремы, касающиеся аксиоматического метода. В частности, А. Тарский показал, что понятие истины, определяемое относительно некоторой теории, не выразимо средствами этой теории.

Учитывая накладываемые на него ограничения, аксиоматический метод рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (см. Метод гипотетико-дедуктивный) и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от аксиоматического метода, предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений аксиоматического метода: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счёт возможности введения дополнительных гипотез, жёстко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, то есть снять ограничение на справедливость аксиоматики «во всех мирах»; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, аксиоматический метод, в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определённым содержательным предметным областям.

Источник

Аксиоматический метод: описание, этапы становления и примеры

Аксиоматический метод является способом построения научных теорий, которые уже установлены. В основе лежат аргументы, факты, утверждения, не требующие доказательств или опровержения. По сути, это вариант знания представлен в виде дедуктивной структуры, в которую изначально входит логическое обоснование содержания из основоположений – аксиом.

Этот метод не может быть открытием, а является только классифицирующим понятием. Он больше подойдет для преподавания. В основе присутствуют исходные положения, а остальные сведения вытекают как логическое следствие. Где находится аксиоматический метод построения теории? Он лежит в структуре большинства современных и устоявшихся наук.

Становление и развитие понятия аксиоматического метода, определение слова

Прежде всего, это понятие возникло в Древней Греции благодаря Евклиду. Он стал основоположником аксиоматического метода в геометрии. Сегодня он распространен во всех науках, но более всего в математике. Этот способ формируется на основе устоявшихся утверждений, а последующие теории выводятся путем логического построения.

Это объясняется следующим образом: существуют слова и понятия, которые определяются другими понятиями. В результате исследователи пришли к выводу, что существуют элементарные выводы, обоснованные и являющиеся постоянными – основными, то есть аксиомами. К примеру, доказывая теорему, обычно опираются на факты, которые уже устоявшиеся и не требуют опровержения.

Однако до этого их требовалось обосновать. В процессе получается, что неаргументированное утверждение принимается за аксиому. Опираясь на набор постоянных понятий, доказывают другие теоремы. Они составляют основу планиметрии и являются логическим строением геометрии. Устоявшиеся аксиомы в этой науке определяются как объекты любой природы. Они, в свою очередь, обладают свойствами, которые указаны в постоянных понятиях.

Дальнейшие исследования аксиом

Способ рассматривался как идеальный вплоть до девятнадцатого столетия. Логические средства поиска основных понятий еще в те времена не изучались, но в системе Евклида можно наблюдать структуру получения содержательных последствий из аксиоматического метода. Исследования ученого показали идею о том, как получить полную систему геометрических знаний на основе чисто дедуктивного пути. Им предлагалось сравнительно небольшое количество утвержденных аксиом, которые истинны наглядно.

Заслуги древнегреческих умов

Евклид доказал множество понятий, причем некоторые из них были обоснованы. Однако большинство приписывает эти заслуги Пифагору, Демокриту и Гиппократу. Последний составил полный курс геометрии. Правда, позже в Александрии вышел сборник «Начало», автором которого являлся Евклид. Затем, он был переименован в «Элементарную геометрию». Спустя некоторое время его начали критиковать на основе некоторых причин:

  • все величины строились только с помощью линейки и циркуля;
  • геометрия и арифметика были разъединены и доказывались с учетом обоснованных чисел и понятий;
  • аксиомы, некоторые из них, в частности, пятый постулат, предлагали вычеркнуть из общего списка.

В результате в XIX веке возникает неевклидовая геометрия, в которой отсутствует объективно истинный постулат. Это действие дало толчок для дальнейшего развития геометрической системы. Таким образом, к дедуктивным способам построения пришли математические исследователи.

Развитие математического знания на основе аксиом

Когда начала развиваться новая система геометрии, изменился и аксиоматический метод. В математике стали чаще обращаться к чисто дедуктивному построению теории. В результате в современной числовой логике возникла целая система доказательств, которая является главным разделом всей науки. В математической структуре стали понимать необходимость обоснования.

Так, уже к концу столетия сформировались четкие задачи и построение сложных понятий, которые из сложной теоремы сводились к простейшему логическому утверждению. Таким образом, неевклидовая геометрия стимулировала прочную основу для дальнейшего существования аксиоматического метода, а также для решения проблем общего характера математических конструкций:

  • непротиворечивости;
  • полноты;
  • независимости.

В процессе появился и успешно получил развитие способ интерпретации. Этот метод описывается так: для каждого выходного понятия в теории поставлен математический объект, совокупность которых называется полем. Высказывание об указанных элементах может быть ложным или истинным. В результате утверждения получают названия в зависимости от выводов.

Особенности теории интерпретации

Как правило, поле и свойства также подвергаются рассмотрению в математической системе, и она, в свою очередь, может стать аксиоматической. Интерпретация доказывает утверждения, в которых имеется относительная непротиворечивость. Дополнительным вариантом выступает ряд фактов, при которых теория становится противоречивой.

По сути, условие в ряде случаев выполняется. В результате получается, что, если в высказываниях одного из утверждений присутствуют два ложных или истинных понятия, то оно считается отрицательным или положительным. Таким методом была доказана непротиворечивость геометрии Евклида. При интерпретационном методе можно решить вопрос о независимости систем аксиом. Если нужно опровергнуть какую-либо теорию, то достаточно доказать, что одно из понятий не выводится из другого и ошибочно.

Однако наряду с успешными утверждениями, способ имеет и слабые стороны. Непротиворечивость и независимость систем аксиом решаются как вопросы, которые получают результаты, носящие относительный характер. Единственное важное достижение интерпретации – обнаружение роли арифметики как структуры, в которой вопрос о непротиворечивости сводится к ряду иных наук.

Современное развитие аксиоматической математики

Аксиоматический метод стал развиваться в работе Гилберта. В его школе было уточнено само понятие теории и формальной системы. В результате возникла общая система, а математические объекты стали точными. Кроме того, появилась возможность решить вопросы обоснования. Таким образом, формальная система строится точным классом, в котором находятся подсистемы формул и теорем.

Чтобы построить эту структуру, нужно только руководствоваться техническими удобствами, потому что они не имеют никакой смысловой нагрузки. Они могут быть вписаны знаками, символами. То есть, по сути, сама система строится таким образом, чтобы формальную теорию можно было применять адекватно и в полной мере.

В результате выливается конкретная математическая цель или задача в теорию на основе фактического содержания или дедуктивного умозаключения. Язык числовой науки переводят на формальную систему, в процессе любое конкретное и осмысленное выражение определяется формулой.

Метод формализации

При естественном положении вещей подобный способ сможет решать такие глобальные вопросы, как непротиворечивость, а также строить положительную суть математических теорий по выведенным формулам. Причем в основном все это будет решать формальная система на основе доказанных утверждений. Математические теории постоянно осложнялись обоснованиями, и Гилберт предложил исследовать эту структуру при помощи финитных методов. Но это программа провалилась. Результаты Геделя уже в двадцатом столетии привели к следующим выводам:

  • естественная непротиворечивость невозможна за счет того, что формализованная арифметика или другая подобная наука из этой системы будет неполной;
  • появились неразрешимые формулы;
  • утверждения недоказуемы.

Истинные суждения и разумное финитное доведение считаются формализуемыми. С учетом этого аксиоматический метод имеет определенные и четкие границы и возможности в рамках этой теории.

Результаты развития аксиом в трудах математиков

Несмотря на то что некоторые суждения были опровергнуты и не получили должного развития, способ постоянных понятий играет значительную роль в формировании основ математики. Кроме этого, интерпретация и аксиоматический метод в науке выявили фундаментальные результаты непротиворечивости, независимости утверждений выбора и гипотез во множественной теории.

В решении вопроса непротиворечивости главное применить не только устоявшиеся понятия. Их нужно также дополнить идеями, концепциями и средствами финитного доведения. В данном случае рассматриваются различные взгляды, способы, теории, которые должны учитывать логический смысл и обоснование.

Непротиворечивость формальной системы указывает на подобное доведение арифметики, которая опирается на индукцию, счет, трансфинитное число. В научной области аксиоматизация является важнейшим инструментом, имеющим неопровержимые концепции и утверждения, берущиеся за основу.

Сущность исходных утверждений и их роль в теориях

Оценка аксиоматического метода указывает на то, что в его сущности лежит некая структура. Эту систему строят с выявления основополагающей концепции и фундаментальных утверждений, которые являются неопределяемыми. То же происходит и с теоремами, считающимися исходными и принимающимися без доказательств. В естественных науках за подобные утверждения выступают правила, допущения, законы.

Затем происходит процесс фиксации установленных баз для рассуждений. Как правило, сразу указывается, что из одного положения выводится другое, а в процессе выходят остальные, которые, в сущности, совпадают с дедуктивным методом.

Особенности системы в современности

В составе аксиоматической системы находятся:

  • логические выводы;
  • термины и определения;
  • частично неправильные утверждения и понятия.

В современной науке этот метод утратил абстрактность. В Евклидовой геометрической аксиоматизации в основе лежали интуитивные и истинные положения. И интерпретировалась теория единственным, естественным способом. Сегодня аксиома – это положение, которое само по себе очевидно, а соглашение, причем любое, может выступать как начальное, не требующее обоснования понятие. В результате исходные значения могут быть далекими от наглядности. Этот метод требует творческого подхода, знания взаимосвязей и исходной теории.

Основные принципы выведения заключений

Дедуктивно аксиоматический метод – это научное познание, строящееся по определенной схеме, в основе которой лежат правильно осознанные гипотезы, выводящие утверждения об эмпирических фактах. Подобное умозаключение строится на основе логических структур, путем жесткого выведения. Аксиомы – изначально неопровержимые утверждения, не требующие доказательств.

При дедукции к исходным понятиям применяются определенные требования: непротиворечивости, полноты, независимости. Как показывает практика, первое условие основано на формально-логическом знании. То есть в теории не должны присутствовать значения истинности и ложности, ибо она уже не будет иметь значения и ценности.

Если такое условие не соблюдается, то она считается несовместной и в ней теряется какой-либо смысл, ибо теряется смысловая нагрузка между истиной и ложью. Дедуктивно аксиоматический метод является способом построения и обоснования научного знания.

Практическое применение метода

Аксиоматический метод построения научного знания имеет практическое применение. По сути, этот способ влияет и оказывает глобальное значение на математику, хотя это знание уже достигло своей вершины. Примеры аксиоматического метода следующие:

  • аффинные плоскости имеют три утверждения и определение;
  • теория эквивалентности обладает тремя доказательствами;
  • бинарные отношения подразделяются на систему определений, понятий и дополнительных упражнений.

Если нужно сформулировать исходное значение, то необходимо знать природу множеств и элементов. В сущности, аксиоматический метод лег в основу различных областей науки.

Источник

Читайте также:  Задачи по математики с ответами 3 класс разными способами

Разные способы © 2022
Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер и не является рекомендацией к применению.

Adblock
detector
Наиме­но­ва­ние: Аксиоматический метод (образовано от греческого слова: ἀξίωμα — значимое утверждение, принятое требование).
Опреде­ле­ние: Аксиоматический метод — это метод развития, построения и систематизации научно-теоретического знания в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путём выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) данной теории.
Раздел: Концепты Концепты научного дискурса Концепты методологического дискурса
Дискурс: Методология Наука
Субдис­курс: Методология науки Методы научного познания
Связан­ные концепты: Аксиома Метод гипотетико-дедуктивный Метод аксиоматико-дедуктивный Теория
Текст статьи: © B. C. Стёпин. В. Л. Абушенко. Н. Н. Непейвода. Подготовка элект­рон­ной публи­ка­ции и общая редакция: Центр гума­нитар­ных техно­логий. Ответ­ст­вен­ный редактор: А. В. Агеев . Инфор­ма­ция на этой стра­нице пери­оди­чески обнов­ля­ется. Послед­няя редакция: 13.11.2021.