Пять друзей решили сфотографироваться
Пять друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами их можно рассадить? Обо всем понемногу 50.
Слайд 39 из презентации «Своя игра по математике»
Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Своя игра по математике.pptx» можно в zip-архиве размером 1199 КБ.
Игры по математике
«Дидактические игры на уроках математики» — — изучить особенности использования дидактических игр при объяснении нового материала на уроках математики в 1 классе при изучении темы “Нумерация чисел в пределах сотни”; Методика использования дидактических игр на уроках математики в начальной школе. Предметом исследования выступает совокупность методов, способов и средств обучения, которые использует учитель на уроках математики в начальной школе.
«Игра по математике в 7 классе» — Пословицы. Летела стая гусей. Финал. Назовите имя математика. Город великих математиков. Команды. Своя игра. Имя. Одного не ждут. Ты мне сын, но я тебе не отец. Отойди, не трогай моих чертежей. Наука. Хитрый киоскер. Задача. Атеткмимаа. В автобусе ехали 25 человек. Анаграмма. 3 яблока. Нужное дело. Французский математик.
«Вопросы» — Сколько стоила книга? Несчастный класс сидит в тоске, От горя чуть не плачет. Может ли так быть?(говорил 1 января,день рождение 30 декабря). Когда меня ты режешь,то не плачешь, и все-таки слезу смахнешь с лица. Сколько рыбок досталось лисе?(127:1+2+4+8++16+32+64). О чем в стихотворении идет речь? Вопрос 1. Уважаемые знатоки!
«Математическое поле чудес» — Будильник. Древний геометрический инструмент. Сколько горошин может войти в пустой стакан. В каком городе впервые стали измерять углы в градусах. Задание игрокам первой тройки. Стремление к совершенствованию знаний. Слово «Геометрия». Какие числа называются натуральными. Труды этого математика. Поле чудес.
«Интересные вопросы по математике» — Бревно. Сложение. Конфеты. Какое число делится на все числа без остатка. На грядке сидит 6 воробьев. Соперник нолика. Найди лишнее. Результат вычитания. Разность. Квадрат. У двух матерей по пять сыновей. Наименьшее однозначное. Сумма. Раскололся тесный домик. Метр. Тройка лошадей. Угадай мелодию. Своя игра.
«Интеллектуальная игра по математике» — Молчаливый рот. Незнанием никогда не следует хвалиться. Кто ввел термин «функция». Кто из математиков древности погиб от меча римского солдата. Мудрость. Заморочки. Плод. Каждое слово поставь на свое место. Из истории математики. Корабль со спущенной на воду веревочной лестницей. Смысл жизни. Вставь пропущенное число.
Всего в теме «Игры по математике» 47 презентаций
Источник
Курс по выбору «комбинаторика»
Курс по выбору «Комбинаторика»
Тема: Введение в комбинаторику. Танграм. Методы решения комбинаторных задач.
Цель занятия: Познакомить учащихся со структурой курса. Требования к учащимся. Дать понятие комбинаторных задач. Научить строить «дерево вариантов»
Наглядность и раздаточный материал: Презентация №1. Портреты учёных-математиков. Танграм и фигурки из него. Тест №1. Карточки с задачами.
Требования к учащимся: завести тетрадь, выполнять домашние задания, выполнение самостоятельных работ, в конце курса – написание и защита реферата (объём от 3 до 5 листов)
Что изучает комбинаторика?
При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, располагая их в определённом порядке.
5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они могут сесть?
В столовой имеются 2 салата, 3 вторых, 4 напитка. Сколько вариантов обедов можно составить?
В классе 25 учеников. На городскую ёлку нужно выбрать 2 человек. Сколькими способами это можно сделать?
В басне И.А. Крылова «Квартет»
Проказница-мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка затеяли сыграть квартет. И так садились, и эдак, а толку нет… А сколько же способов их рассадить существует?
В этих задачах речь идёт о комбинациях объектов. Такие задачи называются комбинаторными.
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Выбором объектов и их расположением приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности – конструктору, учёному-генетику, агроному, составителю кодов, лотерей, химику, комбинаторные задачи применяются при игре в шашки, шахматы, при подсчёте вариантов в теории вероятностей и т.д.
С комбинаторными задачами люди сталкивались с глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением математических головоломок (магические квадраты), в Древней Греции составляли геометрические головоломки на разрезание и складывание фигур (до наших дней дошла головоломка «Пифагор»).
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646 — 1716 г.г.)
немецкий философ и математик.
Многие называют его последним ученым эпохи Возрождения, или первым ученым эпохи Просвещения. До наших дней никто иной не сочетал столь яркий математический талант с такой широтой гуманитарных склонностей. В этом отношении Лейбница можно сравнить с Аристотелем, с Леонардо да Винчи или Рене Декартом. В 8 лет он самостоятельно изучил латынь, а еще через два года — древнегреческий язык. Тяга к экзотическим языкам не исчезла и позднее: познакомившись с элементами персидского языка и хинди, Лейбниц одним из первых высказал догадку об индоевропейской языковой общности, за которой скрываются какие-то переселения древнейших народов.
Лейбниц, наряду с Ньютоном, создатель математического анализа — дифференциального и интегрального исчисления.
Лейбниц также ввёл бинарную систему счисления с цифрами 0 и 1, на котором базируется современная компьютерная техника.
Лейбниц создал механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Машина была продемонстрирована во Французской академии наук и лондонском Королевском обществе.
В 1666 г. он опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве», в которой рассмотрел вопросы сочетаний элементов, рассмотрел применение комбинаторики в арифметике, логике, в стихосложении. В течение своей жизни Лейбниц неоднократно обращался к вопросам комбинаторики. Мечтой его жизни, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории.
В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались многие выдающиеся ученые-математики. В 1713 г. было опубликовано сочинение Якова Бернулли «Искусство предположений», в котором с достаточной полнотой были изложены и обобщены известные к тому времени комбинаторные факты. Это сочинение отличалось полнотой и строгостью изложения, доступностью. Оно являлось учебно-справочным изданием по комбинаторике на протяжении двух столетий.
Л еонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.
(1707 — 1783 г.г.) — выдающийся математик, родился в Швейцарии, жил и работал в России. Внёс значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.
В XX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации благодаря работам Дж. К. Рота, а затем Р. Стенли.
В настоящее время комбинаторику начинают изучать с начальной школы.
Танграм – древнекитайская головоломка. Это квадрат, разрезанный определённым образом на 7 частей.
На каждой парте разрезанный танграм. Учащимся предлагается собрать по образцу несколько фигурок.
Даётся разъяснение о написании реферата по теме Танграм.
Методы решения комбинаторных задач
Задача. Дано множество чисел <1,2,3,4>. Составьте: а) двузначные числа
б) трёхзначные числа
Метод перебора: двузначные числа – 12, 13, 14,
41, 42, 43. Всего 12 чисел.
Всего четырёхзначных чисел 4∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
Коля, Боря, Вова и Юра заняли 1, 2, 3 и 4 место на соревновании. Известно, что у Коли ни 1, ни 4 место. Боря занял 2 место. Вова не последний. Какое место у каждого мальчика?
Источник
Курс по выбору «комбинаторика»
Курс по выбору «Комбинаторика»
Тема: Введение в комбинаторику. Танграм. Методы решения комбинаторных задач.
Цель занятия: Познакомить учащихся со структурой курса. Требования к учащимся. Дать понятие комбинаторных задач. Научить строить «дерево вариантов»
Наглядность и раздаточный материал: Презентация №1. Портреты учёных-математиков. Танграм и фигурки из него. Тест №1. Карточки с задачами.
Требования к учащимся: завести тетрадь, выполнять домашние задания, выполнение самостоятельных работ, в конце курса – написание и защита реферата (объём от 3 до 5 листов)
Что изучает комбинаторика?
При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, располагая их в определённом порядке.
5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они могут сесть?
В столовой имеются 2 салата, 3 вторых, 4 напитка. Сколько вариантов обедов можно составить?
В классе 25 учеников. На городскую ёлку нужно выбрать 2 человек. Сколькими способами это можно сделать?
В басне И.А. Крылова «Квартет»
Проказница-мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка затеяли сыграть квартет. И так садились, и эдак, а толку нет… А сколько же способов их рассадить существует?
В этих задачах речь идёт о комбинациях объектов. Такие задачи называются комбинаторными.
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Выбором объектов и их расположением приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности – конструктору, учёному-генетику, агроному, составителю кодов, лотерей, химику, комбинаторные задачи применяются при игре в шашки, шахматы, при подсчёте вариантов в теории вероятностей и т.д.
С комбинаторными задачами люди сталкивались с глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением математических головоломок (магические квадраты), в Древней Греции составляли геометрические головоломки на разрезание и складывание фигур (до наших дней дошла головоломка «Пифагор»).
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646 — 1716 г.г.)
немецкий философ и математик.
Многие называют его последним ученым эпохи Возрождения, или первым ученым эпохи Просвещения. До наших дней никто иной не сочетал столь яркий математический талант с такой широтой гуманитарных склонностей. В этом отношении Лейбница можно сравнить с Аристотелем, с Леонардо да Винчи или Рене Декартом. В 8 лет он самостоятельно изучил латынь, а еще через два года — древнегреческий язык. Тяга к экзотическим языкам не исчезла и позднее: познакомившись с элементами персидского языка и хинди, Лейбниц одним из первых высказал догадку об индоевропейской языковой общности, за которой скрываются какие-то переселения древнейших народов.
Лейбниц, наряду с Ньютоном, создатель математического анализа — дифференциального и интегрального исчисления.
Лейбниц также ввёл бинарную систему счисления с цифрами 0 и 1, на котором базируется современная компьютерная техника.
Лейбниц создал механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Машина была продемонстрирована во Французской академии наук и лондонском Королевском обществе.
В 1666 г. он опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве», в которой рассмотрел вопросы сочетаний элементов, рассмотрел применение комбинаторики в арифметике, логике, в стихосложении. В течение своей жизни Лейбниц неоднократно обращался к вопросам комбинаторики. Мечтой его жизни, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории.
В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались многие выдающиеся ученые-математики. В 1713 г. было опубликовано сочинение Якова Бернулли «Искусство предположений», в котором с достаточной полнотой были изложены и обобщены известные к тому времени комбинаторные факты. Это сочинение отличалось полнотой и строгостью изложения, доступностью. Оно являлось учебно-справочным изданием по комбинаторике на протяжении двух столетий.
Л еонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.
(1707 — 1783 г.г.) — выдающийся математик, родился в Швейцарии, жил и работал в России. Внёс значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.
В XX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации благодаря работам Дж. К. Рота, а затем Р. Стенли.
В настоящее время комбинаторику начинают изучать с начальной школы.
Танграм – древнекитайская головоломка. Это квадрат, разрезанный определённым образом на 7 частей.
На каждой парте разрезанный танграм. Учащимся предлагается собрать по образцу несколько фигурок.
Даётся разъяснение о написании реферата по теме Танграм.
Методы решения комбинаторных задач
Задача. Дано множество чисел <1,2,3,4>. Составьте: а) двузначные числа
б) трёхзначные числа
Метод перебора: двузначные числа – 12, 13, 14,
41, 42, 43. Всего 12 чисел.
Всего четырёхзначных чисел 4∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
Коля, Боря, Вова и Юра заняли 1, 2, 3 и 4 место на соревновании. Известно, что у Коли ни 1, ни 4 место. Боря занял 2 место. Вова не последний. Какое место у каждого мальчика?
Источник
Комбинаторика
Вспомним «дерево вариантов». Обозначим животных цифрами.
Пусть 1 – козёл, 2 – осёл, 3 – мартышка,
Получим, что возможных вариантов их расстановки 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
В задаче были подсчитаны всевозможные комбинации из четырёх элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположение в них элементов. Такие комбинации называются перестановками из нескольких элементов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками
Лейбницем в 1666 г. в работе «Рассуждение о комбинаторном искусстве» впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок.
Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Р n (Р- первая буква французского слова permutation – перестановка).
С помощью правила произведения можно обосновать, что Р n = n ∙ (n-1) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1.
После применение переместительного закона умножения перепишем формулу в виде:
P n =1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (n-1) ∙ n.
Для сокращённой записи произведения первых n натуральных чисел используется факториал n!
Р n = n!
1) 5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они могут сесть? (120)
2) Сколько фигурок можно составить из Танграма? (5040)
3) Свидетель ДТП заметил номер машины, совершившей наезд. Он запомнил, что в номере буквы АВ и цифры 2, 3, 4, но не помнит их порядок. Сколько вариантов номеров нужно проверить милиции, чтобы найти нарушителя? (6)
4) Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны,
можно записать с помощью цифр 0,1,2,3,4?
5) Турист решил объехать 10 городов Золотого кольца. Сколько у него существует вариантов выбора маршрута?
6) На балу собрались 10 дам и 10 кавалеров. Сколькими способами они могут разбиться на пары ?
7) Имеется множество чисел N = <1,2,3,4,5>.
Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых различны? Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых различны? Сколько существует пятизначных чисел, все цифры которых различны?
Задача. Имеется множество чисел N = <1,2,3,4,5>.
а) Сколько существует пятизначных чисел, все цифры которых различны? Решение: Данные комбинации чисел будут перестановками, Р 5 = 5! = 120 б) Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых различны?
Решение: Это уже не перестановки. Первую цифру можно выбрать 5 способами, вторую – четырьмя, третью цифру – тремя способами, т.е. число трёхзначных чисел будет 5 × 4 × 3 = 60
в) Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых различны?
Решение: Это также не перестановки. Первую цифру можно выбрать 5 способами, вторую – четырьмя, третью цифру – тремя способами, четвёртую
– двумя способами, т.е. число четырёхзначных чисел будет 5 × 4 × 3 × 2 = 120
Имеется n различных предметов. Сколько из них можно составить k — расстановок?
При этом две расстановки считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке.
Такие комбинации, отличающиеся друг от друга порядком элементов и составом, называются размещениями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Размещением из n элементов по k (k £ n) называется любое подмножество данного множества, состоящее из любых k элементов, взятых в определённым порядке из данных n элементов.
Число размещений из n элементов по k обозначают А n k (читают А из n по
Размещения – это упорядоченные подмножества данного множества.
По правилу произведения число упорядоченных k-элементных подмножеств множества N, состоящего из n элементов, находится как произведение чисел: n (n – 1) (n – 2) (n – 3)….( n – k + 1). Или число размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:
Можно сказать что размещения из п элементов по п – это перестановки из п -элементов. Сравним число таких комбинаций, вычисленное по формуле размещений и по формуле перестановок:
= n ! = n ! , т.е. P n = n!
Изучением «размещений» впервые занимался Якоб Бернулли во второй части своей знаменитой книги «Искусство предугадывания», опубликованной в 1713 г. Он же ввел соответствующий термин.
Яков (Якоб) Бернулли
Математик, физик, астроном и механик Яков Бернулли (1654 — 1705) родился в Базеле (Швейцария). Отец хотел, чтобы сын был священником, и поэтому Я. Бернулли, поступив в Базельский университет, в основном изучал теологию и языки. Он владел немецким, французским, английским, итальянским, латинским и греческим языками.
Но больше всего его привлекала математика, которую он изучал тайком от отца. Наиболее значительные достижения Якова I в развитии анализа бесконечно малых, теории рядов, вариационного исчисления и теории вероятностей. В 1687г., ознакомившись с первыми работами Г.Лейбница по дифференциальному исчислению (1684г.), Бернулли применил новые идеи к изучению свойств ряда кривых: логарифмические спирали, открытой им лемнискаты, цепной линии и др. Определил площадь сферического треугольника, вычислил площади конусоидальных и сфероидальных поверхностей, произвел многочисленные квадратуры и спрямления. Книга Бернулли «Арифметические приложения о бесконечных рядах и их конечных суммах» (1689-1704гг.) явилась первым руководством по теории рядов. Бернулли – это целая семья математиков. Совместно с братом Иоганном I , Яков положил начало вариационному исчислению. Выдвинул и частично решил изопериметрическую задачу и задачу о брахистохроне, или кривой быстрейшего спуска, поставленную братом
Иоганном. В труде «Искусство предложения» Яков I в 1713г. решил некоторые задачи комбинаторики; открыл числа, позднее названные числа Бернулли; доказал так называемую теорему Бернулли — частный случай закона больших чисел, имеющего большое значение в теории вероятностей и ее приложениях к статистике; построил математическую модель для описания серии независимых испытаний (схема Бернулли). Благодаря его работам теория вероятностей приобрела важнейшее значение в практической деятельности.
Задача № 1 . Сколько двузначных чисел можно составить из чисел 1,2,3,4?
Источник
