МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по теме «Комбинаторика» по предмету «Алгебра и начала математического анализа»
СИМФЕРОПОЛЬСКОЙ РАЙОННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ
АДМИНИСТРАЦИИ В РЕСПУБЛИКЕ КРЫМ
Екимова Любовь Васильевна
по теме «Комбинаторика»
по предмету «Алгебра и начала математического анализа»
Одн а из актуальных тем, изучаемых в курсе алгебры и начал математического анализа в десятых классах по учебнику Никольского С.М., это — основные понятия комбинаторики ( перестановки п. 1.4, размещения п.1.5 и сочетания п.1.6). При решении задач часто необходимо устанавливать связь между элементами множеств и их подмножеств, количеством элементов, их взаимосвязью. В учебнике автор подробно, с доказательствами, вводит понятия перестановок, размещений и сочетаний, но задания направлены только на закрепление умений пользоваться основными формулами комбинаторики, а текстовых задач, которые прививают интерес к изучению этой темы очень мало. На изучение этой темы по программе базового уровня отводиться три часа, т. е на каждое понятие по одному часу. Из своего опыта преподавания в старших классах считаю, что теорию этой темы надо изучить на первом уроке единым блоком, на втором уроке уделить внимание закреплению навыков по применению формул комбинаторики для решения примеров и текстовых задач, а итоговый третий урок посвятить развитию способностей учащихся самостоятельно решать задачи. Актуальностью этой темы является и то, что она используется в дальнейшем при изучении задач по теории вероятностей и выносится на ЕГЭ по математике.
Тема: «Перестановки, размещения, сочетания».
Цель: Сформировать представления о понятиях перестановок, размещения и сочетания, закрепить при решении примеров. Развивать вычислительные навыки учащихся, повторить рациональные способы вычислений. Прививать интерес к предмету математики.
Тип урока: изучение нового материала.
Проверка домашнего задания ( фронтально).
Изучение нового материала.
«В природе, где как будто господствует случайность, мы давно установили в каждой области внутреннюю закономерность, которые пробивают себе дорогу в рамках этой случайности» Ф. Энгельс.
Великое множество событий и явлений совершается в окружающем нас мире. События взаимосвязаны: как лучше распределить команды для соревнований друг с другом, сколько трёхзначных чисел можно составить из данного набора цифр, сколькими способами можно выбрать делегацию из нескольких человек данного коллектива для участия в научной конференции. Большое внимание в учебной программе по математике уделяется изучению случайных событий. Морис Глеман и Тамаш Варга в своей книге « Вероятность в играх и развлечениях» писали: « Сталкиваясь со случайной ситуацией, маленькие дети думают, что можно предсказать её исход; становясь немного старше, они отвечают, что ничего нельзя утверждать; но мало-помалу они открывают, что за кажущимся хаосом мира случайности можно обнаружить законы, которые позволяют неплохо ориентироваться в случайности».
Для того, чтобы научиться разбираться в мире событий, мы должны научиться решать задачи по комбинаторике. Комбинаторика — это раздел математики, где при решении практических задач находят количество комбинаций определенного типа , которые можно составить из данных элементов конечного множества . Основные понятия, необходимые для решения задач по комбинаторике, — это перестановки, размещения, сочетания.
Перестановки – это установленный порядок всех элементов данного конечного множества.
Например. Если А=<а;в>, то элементы можно упорядочить следующим образом: ав, ва, т.е. переставить элементы можно двумя способами. Если В=<а;в;с>, то количество перестановок из этих трех элементов равно 6, действительно авс; асв ; вас; вса; сав; сва. А если элементов четыре, пять и более? Как быстро пересчитать количество перестановок n элементов? Для этого нам поможет формула Р n = n !, где n ! = 1·2·3·4·…· n , (0!=1).
Задача 1. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
Ответ: 120 способами.
Задача 2. Сколькими способами можно переставить 12 книг на полке?
Решение. Р 12 = 1·2·3·4·… ·11·12 = 479001600.
Ответ: 479001600 способами.
Размещения – это упорядоченное подмножество данного конечного множества.
Например. C =<1;3;7>. Сколько двузначных чисел можно составить из данных цифр (цифры не должны повторятся)? Составим числа: 13;17;31;71;37;73, их получилось 6.
Количество размещений из n элементов по m находят по формуле 
. Проверьте справедливость этой формулы для рассматриваемого примера.
Заметим, что 
; 
.
Задача3. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0;3;7(цифры не должны повторятся)?
, но надо вычесть те числа, которые начинаются с цифры 0, т.е. 
.
Сочетания – неупорядоченное подмножество данного конечного множества.
Например. D =<а;в;с>. Составить подмножества из 1)одного элемента;2) из двух элементов;3)из трех элементов (без повторений).
В первом случае-это элементы а;в;с, во втором случае –это сочетания ав;вс;ас, а в третье случае – это авс. Заметим, что если элементы в любом сочетании переставить местами, то оно не изменится.
Количество сочетаний без повторений из n элементов по m элементов вычисляют по формуле 
. Проверьте справедливость этой формулы для рассматриваемого примера.
Заметим, что 
; 
Задача 4.Сколькими способами можно выбрать из 20 учеников делегацию в составе трех учеников.
Решение. 
Ответ: 1140 способами.
При решении задач по комбинаторике необходимо мысленно отвечать на вопросы:
— учитывается ли порядок следования элементов?
Если «да», то это может быть перестановки или размещения, если «нет», то это однозначно сочетания.
– все ли элементы данного множества учитываются в задаче или только часть из них?
Если все, то это перестановки, если часть элементов, то это размещения или сочетания.
Закрепим навыки использования формул комбинаторики при решении упражнений по заданиям учебника.
Решить в классе номера: 1.46(е,ж,з), 1.59, 1.63(г,д,е), 1.64(г,д,е).
Рефлексия урока: «На сегодняшнем уроке я понял …»;
« На сегодняшнем уроке я узнал … «;
«Я похвалил бы себя…»;
«Особенно мне понравилось…»;
«Сегодня мне удалось…»;
Домашнее задание: Читать п.1.4;1.5;1.6
Тема: Решение упражнений по теме «Перестановки, размещения, сочетания».
Цель: Закрепить умения применять формулы комбинаторики для решения примеров и текстовых задач.
Тип урока: закрепление умений и навыков.
Оборудование: интерактивная доска.
Проверка домашнего задания (сравнить решения с решением на слайдах).
Познакомить учащихся с историй возникновения комбинаторики по слайдам, на которых осветить материал о том, что « Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французс- ким ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер ».
Решить в классе :
Решить уравнения: 1) 
. Ответ 6; 25.
2) 
. Ответ :12
3) 3 
. Ответ: 5.
Решить систему уравнений: 
Ответ: (12;5).
Доказать,что:1) 
2) 
.
1)Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из 10 кандидатов?
Решение: 
2) Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из 10 кандидатов?
Решение: 
3) Сколькими способами можно составить список из четырех учащихся?
4)Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?
Решение: 
5) Сколько существует различных треугольников с вершинами в 7 данных точках, если известно, что три из них лежат на одной прямой?
Решение: 
6)Имеются 5 флагов различных цветов. Сколько разных сигналов можно сделать, поднимая по три флага?
Решение: 
7) На станции 10 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них шесть поездов?
Решение: 
8) При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?
Решение: Каждый из шести специалистов отдал по 5 карточек (всем кроме себя ). По требовалось 6·5 = 30 карточек .
9) При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 6 друзей?
Решение: В одном рукопожатии равноправно участвуют два человека. С 6 2 = 6!/2!/(6 — 2)! = 6!/2!/4! = 5·6/2 = 15.
Подведение итогов урока, оценки.
Домашнее задание: Читать п.1.4-1.6
Решать №1.47(а,д),1.59(а),1.60,1.65. Дополнительное задание №1.56.
Тема: Самостоятельная работа по теме « Перестановки, размещения, сочетания».
Цель: Повторить, обобщить и систематизировать знания, умения и навыки, необходимые для решения упражнений на применение формул комбинаторики; создать условия для развития навыков самостоятельной работы по теме урока и самооценки своей работы.
Познакомить учащихся с правилами комбинаторики и закрепить их при решении задач. Развивать способности учащихся применять свои знания для решения нестандартных задач.
Тип урока: Комбинированный: проверка знаний, применение знаний для решения более сложных задач.
Организационный момент. 1 мин.
Проверка домашнего задания (собрать тетради в конце урока).
Ответить на вопросы по домашнему заданию. 2-3 мин.
Актуализация знаний: 3 мин.
Решение задач устно (какой формулой надо воспользоваться для решения задачи)
Сколькими способами 4 ученика могут расположиться на четырехместной скамейке? ( Р 4 ).
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 5;6;7;8;9? ( 
).
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2;3;4? (Р 3 или 
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0;1;2? (Р 3 -Р 2 или 
— 
).
В классе 7 учащихся занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? ( 
).
4.Самостоятельная работа. 10 мин.
1.Вычислить 
; б) 
2. Решить уравнение: 
3. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных уроков?
4. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из 20 учащихся?
5. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0;2;3;4 (цифры в одном числе не должны повторяться)?
1.Вычислить 
; б) 
.
2. Решить уравнение: 
.
3. В ящике находится 10 различных елочных шаров. Сколькими способами можно выбрать три из них?
4. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0;2;4;6;7;8 (цифры в одном числе не должны повторяться)?
5. В футбольной команде (11 человек) необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
5.Самопроверка решений и самооценка своей работы. 3 мин.
.
Источник
