3 способа разрезать квадрат

Предисловие о
Введение 7
§1 Складывание прямоугольника из квадратов и разрезание квадрата 12
§2 Графы и электрические цепи 34
§ 3 Основная теорема 51
§ 4 Дальнейшие задачи и результаты 67
1 Простые и составные разбиения прямоугольника и квадрата 67
2 Разбиения прямоугольников на квадраты и числа Фибоначчи 71
3 Оценки для числа квадратов, нЗ которые может быть разбит данный прямоугольник 75
4 Как разрезать поверхности цилиндра и конуса? 89
5 Как разрезать треугольник? 91
6 Как разрезать куб? 98
Некоторые нерешенные задачи 105
Литература 109

В 1965 г. в серии «Математическая библиотечка» были изданы две книги, посвященные так называемой «комбинаторной геометрии», т. е. разделу геометрии, изучающему связанные с целыми числами комбинаторные задачи, относящиеся к дискретным расположениям точек или геометрических фигур 1). Можно считать, что настоящая книга продолжает этот ряд книг по комбинаторной геометрии, поскольку рассматриваемая здесь задача является, по существу, комбинаторной проблемой о расположениях на плоскости конечных систем квадратов, удовлетворяющих некоторым наперед заданным условиям.
Конечно, задачу, которой посвящена эта книга, вряд ли кто-либо сочтет особенно серьезной — это есть типичный вопрос из области «математических развлечений», какие охотно печатают журналы для семейного чтения в разделе «В субботний вечер». Однако вокруг на первый взгляд достаточно простого вопроса возникает так много любопытных соображений, относящихся к разным разделам математики и физики, вопрос этот с такой легкостью приводит к иным вопросам, явно безнадежно трудным (да и сама основная задача долго казалась неразрешимой даже таким серьезным ученым, как один из виднейших наших математиков первой половины этого века академик Н. Н. Лузин), первоначальная постановка вопроса так естественно обрастает разнообразными аналогами и вариантами, что мне захотелось побеседовать на столь, казалось бы, несолидную тему (см., впрочем, список литературы на стр. 109—111) с начинающими математиками. Мне кажется, что книга эта, рассчитанная на интересующихся математикой учащихся старших классов средней школы, на учителей математики и на будущих учителей — студентов математических отделений педагогических институтов или университетов, может дать некоторое представление о «математическом мышлении»: здесь мы имеем определенный «фрагмент математики», иллюстрирующий на одном примере некоторые достаточно характерные для математики ходы мысли, приемы, методы. Именно это обстоятельство явилось для автора книги решающим — здесь интересны, в первую очередь, не результаты, а приводящие к этим результатам рассуждения, заслуживает внимания не столько «что» (доказывается), сколько «как» (доказывается). И я хочу заранее подчеркнуть, что собранные в конце книги «нерешенные задачи» 1—X (точнее было бы сказать — задачи, решение которых неизвестно автору книги), большинство из которых являются, вероятно, достаточно трудными, не заслуживают, по моему мнению, того, чтобы тратить на них серьезные усилия: эти задачи приведены для иллюстрации сложности рассматриваемой здесь проблематики, а не как рекомендуемые темы самостоятельной научной работы. В противоположность этому включенные в основной текст книги задачи 1—20 (некоторые из которых, впрочем, тоже вовсе не просты) могут доставить читателю возможность полезной самопроверки; поэтому всякому, пожелавшему убедиться в полном овладении излагаемым в книге материалом, стоит попробовать решить эти задачи.
При написании этой книги автор частично использовал составленный им некогда цикл задач для указанной на стр. 111 книги [24]. Рукопись книги была внимательно прочитана В. Г. Болтянским, дружеская критика которого бесспорно способствовала улучшению текста. Много выиграла книга также от тщательной и компетентной работы ее редактора Ф. И. Кизнер. В процессе работы над книгой автор неоднократно советовался с А. М. Ягломом; при выполнении эскизов чертежей ему помогали М. С. Королева и Л. Н. Кузнецова. Автору приятно поблагодарить всех перечисленных лиц за помощь и внимание к его книге.

Источник

Мастер-класс Оригами Делим квадрат на равные части Бумага

Деление квадрата на равные части — это всегда лишь подготовительный этап к складыванию. Однако без определенных навыков, как раз он и может оказаться достаточно сложным, особенно если количество частей, является простым числом:3, 5, 7, а так же 9. Об этом поподробнее.

Будем делить лист на три равные части.

Наметим середину верхней стороны. Для этого сделаем небольшую закрепку.

Сложим угол квадрата к середине противоположной стороны.

В таком случае, точка пересечения боковой стороны, противоположной этому углу и стороны, прилегающей к нему, делит сторону в отношении 1:2. Таким образом, с помощью только складок мы нашли треть стороны квадрата.

Расправляем квадрат. Закрепка на левой боковой стороне и есть 1/3 ее часть.

Используя полученную закрепку, формируем складку. При этом, она должна быть параллельна верхней и нижней сторонам.

Переворачиваем лист на противоположную сторону.

Складываем полученный прямоугольник пополам.

Таким образом, мы получаем три параллельных складки. Они разделили квадрат на три равные части.

Будем делить квадрат на пять равных частей.

Наметим с помощью закрепки середину боковой стороны.

Делаем сгиб, который проходит одновременно через нижний левый угол квадрата и нашу отметку. Правый нижний угол расположен по горизонтали на 2/5 от правого края.

Делим получившийся отрезок пополам. Ширина загнутой полоски и есть 1/5.

Расправляем лист. Теперь осталось разделить оставшуюся часть на четыре равные части.

Складываем левую боковую сторону к намеченной вертикальной складки. Таким образом, делим этот промежуток пополам.

Расправляем лист. Осталось каждую из широких полос разделить еще пополам.

Складываем левую боковую сторону к намеченной на предыдущем этапе складке.

Осталось, разделит последний сектор. Для этого, совмещаем правую боковую строну с крайней слева вертикальной складкой.

Расправляем лист. Деление на пять равных частей завершено.

Для того, что бы разделить лист на семь равных частей, необходимо предварительно разделить его на пять, как описано выше.

Делаем сгиб, при котором нижний правый угол совмещается со второй отметкой справа.

Расправляем лист. Точка на правой стороне, которая образовалась благодаря этому сгибу — это 3/7 от верхнего края или 4/7 от нижнего.

Совмещаем нижний правый угол с полученной на правой стороне точкой. Выполняем сгиб, который будет параллелен верхней и нижней стороне.

Складываем нижнюю сторону к полученной горизонтальной складке. Ширина этой полоски и будет 1/7 часть боковой стороны.

Делаем полученную выше складку «горой» и совмещаем ее с полученной выше отметкой, поделившей боковую сторону на 3/7 и 4/7.

Совмещаем верхнюю сторону с полученной на предыдущем этапе складкой.

Расправляем лист. Осталось поделить каждый из двух верхних прямоугольников еще пополам.

Совмещаем верхнюю сторону с полученной на предыдущем этапе складкой.

Совмещаем верхнюю сторону с самой нижней горизонтальной складкой.

Расправляем лист. Наш квадрат по горизонтали разделен на семь равных частей.

Для того, что бы разделить лист на девять равных частей, необходимо предварительно разделить его на три, как описано выше.

Делаем сгиб, при котором правый нижний угол совмещается с первой отметкой справа.

Точка, полученная на правой боковой стороне, будет делить ее на 4/9(сверху) и 5/9(снизу). Далее разделение на равные части может быть разным. Ниже один из способов завершить разделение квадрата на равные части.

Благодаря полученной точке на правой боковой стороне, делаем сгиб, параллельный верхнему и нижнему краю. Разница, на которую нижняя часть будет шире, чем верхняя — и есть 1/9.

Переворачиваем на противоположную сторону.

Отгибаем верхний слой бумаги. Сгиб должен совпадать с краем нижнего слоя.

Переворачиваем обратно на противоположную сторону. Разворачиваем лист.

Полученную складку на предыдущем этапе совмещаем с линией, которая получена с помощью закрепки.

Верхний край совмещаем с той же линией. Получилось что-то наподобие базовой формы «дверь». Теперь осталось каждый из четырех широких прямоугольников поделить еще на два.

Расправляем лист. Наш квадрат по горизонтали разделен на девять равных частей.

Источник

Геометрические задачи (на разрезание)

Учебное занятие: Геометрические задачи (на разрезание)

развитие интереса к предмету

развитие творческих способностей учащихся

развития внимания, памяти, навыков самостоятельной и коллективной работы

развитие умственной самодеятельности, сообразительности и «смекалки»

Сегодня геометрические задачи (на разрезание) будут связаны с одной на вид простой геометрической фигурой.

Он давно знакомый мой,

Каждый угол в нем прямой.

Все четыре стороны

Вам его представить рад.

Главной заслугой квадрата стало использование его, как удобной единицы площади. Действительно, квадратами очень удобно замащивать плоские участки, а скажем, кругами такого не сделаешь без дыр и наложений. Часто математики вместо слов «нахождение площади» говорят «квадрирование».

Так, задача о нахождении площади круга называется задачей о квадратуре круга. Квадрат-главное действующее лицо в теореме Пифагора.

Квадрат на 20 равных треугольников

Разрезать квадратный кусок бумаги на 20 равных треугольников и сложить из них 5 равных квадратов.

Из креста – Квадрат

Крест, составленный из пяти квадратов, требуется разрезать на такие части, из которых можно было бы составить один квадрат.

Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.

Разрежьте квадрат 7×7 на пять частей и переложите их так, чтобы получилось три квадрата: 2×2, 3×3 и 6×6.

Разрежьте квадрат на 4 части одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному заштрихованному квадрату.

Сколько всего квадратов на рисунке?

Разделить квадрат на более мелкие квадратики одинаковой площади очень просто: достаточно провести сетку равноотстоящих прямых, параллельных сторонам квадрата. Количество полученных квадратиков будет квадратом, да, да! Именно поэтому произведение двух одинаковых чисел назвали квадратом. А можно ли разрезать квадрат на несколько квадратиков, среди которых нет одинаковых?

Этот вопрос долго оставался нерешенным. Многие даже выдающиеся математики считали, что такое разрезание невозможно. Но в 1939 году было построено разбиение квадрата на 55 различных квадратов. В 1940 году были найдены два способа разбиения квадрата на 28 различных квадратов, за тем-на 26 квадратов, а в 1948 году было получено разбиение на 24 различных квадрата. В 1978 году было найдено разбиение 21 различный квадрат и доказано, что разбиение на меньшее число различных квадратов найти уже нельзя.

И закончим сегодняшнее занятие занимательной игрой, связанной тоже с квадратом, «Танграм»

На рисунке показан квадрат, разделенный на 7 частей, из которых можно складывать разнообразные фигуры из альбома, предоставленным учителем.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 801 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 283 человека из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДВ-379194

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Попова предложила изменить школьную программу по биологии

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения работает над единым подходом к профилактике девиантного поведения детей

Время чтения: 1 минута

Шойгу предложил включить географию в число вступительных экзаменов в вузы

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник