3 способа разрезать 3 квадрата

Разрезания
статья по алгебре по теме

Разрезания

Исходная задача. Сколькими способами можно вырезать из квадрата 9´9 квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3? (Способы вырезания, получаемые друг из друга симметрией или поворотом, будем считать различными.)

Общая постановка задачи.

1. Для каких натуральных чисел п из квадрата п´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?

2. Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?

3. Рассмотрите обобщения этой задачи в следующих двух направлениях:

а) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат р´р (р – заданное натуральное число) так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?

б) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники s´t, где s и t – заданные натуральные числа? (Рассмотрите хотя бы некоторые случаи значений s и t.)

4. Аналогично исходной задаче во всех пунктах 1 – 3 попробуйте указать или хотя бы оценить количество способов соответствующих вырезаний.

5. Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.

Скачать:

Вложение	Размер
m-4.doc	95 КБ

Предварительный просмотр:

Исходная задача . Сколькими способами можно вырезать из квадрата 9 × 9 квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3? (Способы вырезания, получаемые друг из друга симметрией или поворотом, будем считать различными.)

Общая постановка задачи .

1. Для каких натуральных чисел п из квадрата п × п можно вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3?

2. Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т × п можно вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3?

3. Рассмотрите обобщения этой задачи в следующих двух направлениях:

а) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т × п можно вырезать квадрат р × р ( р – заданное натуральное число) так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3?

б) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т × п можно вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники s × t , где s и t – заданные натуральные числа? (Рассмотрите хотя бы некоторые случаи значений s и t. )

4. Аналогично исходной задаче во всех пунктах 1 – 3 попробуйте указать или хотя бы оценить количество способов соответствующих вырезаний.

5. Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.

Исходная задача. Рассмотрим все возможные клетки квадрата 9 × 9, в которых может находиться левая верхняя (угловая) клетка вырезанного квадрата 3 × 3. Очевидно, что эта угловая клетка не может находиться в восьмом или девятом столбце, а также в восьмой или девятой строке, так как тогда вырезанный квадрат 3 × 3 выйдет за пределы большого квадрата. Значит позиций для этой клетки не более чем 7 × 7=49 клеток большого квадрата. Но не все они подходят. Для того, чтобы более точно оценить количество решений, раскрасим клетки фигуры в черный и белый цвета в шахматном порядке как показано на рисунке. Также на рисунке серым отмечены клетки восьмого и девятого столбца, восьмой и девятой строки, где точно не может находиться левый верхний угол квадрата 3 × 3.

Легко заметить, что черных клеток 41, белых 40, то есть их разное количество. А любой прямоугольник 2 × 3 занимает ровно 3 белых и 3 черных клетки. Значит, в вырезанном квадрате 3 × 3 количество черных клеток должно быть на одну больше, чем белых, чтобы в оставшейся части белых и черных клеток было поровну и её можно было разделить на прямоугольники 2 × 3. Таким образом, из 49 возможных клеток остается 25 черных. Но и они не все подходят.

Очевидно, что если квадрат 3 × 3 при вырезании оставляет полосу шириной в одну клетку, то разрезать её на прямоугольники 2 × 3 невозможно. Значит, таких полос быть не должно и из 25 черных клеток выпадают еще 8, помеченных на рисунке крестиком. Они расположены по периметру квадрата 7 × 7, получаемого удалением из исходного восьмого и девятого столбца, восьмой и девятой строки, и на расстоянии 1 клетки от его стороны.

Окончательно получаем 25 – 8 = 17 способов вырезать из квадрата 9 × 9 квадрат 3 × 3. В каждом из этих случаев нетрудно убедиться, что оставшуюся часть можно разрезать на прямоугольники 2 × 3. Для этого из тех трех строк, в котором вырезали квадрат 3 × 3, вырежем три прямоугольника, расположенных вертикально. Остальные строки разбиваются на пары строк, состоящих из трех горизонтально расположенных прямоугольников. Итак, ответом является 17 способов.

1. Площадь нужного квадрата равна п 2 . Чтобы фигуру, полученную после вырезания квадрата 3 × 3, можно было замостить прямоугольниками 2 × 3, её площадь должна делиться на 6, т.е. п 2 – 9 кратно 6. Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и на 3 одновременно. Следовательно, п 2 должен делиться на 3 и быть нечетным. Значит, п кратное 3 нечетное число. Это числа вида n = 6 d – 3, где d любое натуральное число. Они образуют арифметическую прогрессию с разностью 6.

Заметим, что для указанного выше n , если квадрат 3 × 3 вырезать из квадрата п × п так, что их левые верхние углы совпадают, то оставшуюся часть нетрудно разрезать на прямоугольники 2 × 3. Первые три строки содержат теперь по 6 d – 6 клеток, то есть могут быть разрезаны на 3 d – 3 вертикальных прямоугольника. Оставшиеся 6 d – 6 строк разобьем на пары рядом расположенных строк по 6 d – 3 клеток. А каждую такую пару строк, очевидно, можно разрезать на 2 d – 1 горизонтально расположенных прямоугольников.

Таким образом, для п = 6 d – 3 из квадрата п × п можно вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3.

1. Аналогично с пунктом 1, m × n нечетное число, которое делится на 3. То есть, m и n нечетные числа и хотя бы одно из них делится на 3. Заметим также, что эти числа должны быть не меньше 3. Получаем формулы: m = 2 x + 1, n = 6 y – 3 или n = 2 x + 1, m = 6 y – 3. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Как и в пункте 1 будем вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы его верхний левый угол совпал с верхним левым углом всего прямоугольника. Пусть для начала у прямоугольника m = 2 x + 1 строк и n = 6 y – 3 столбцов. Тогда, как и выше, первые три строки содержат теперь по 6 y – 6 клеток, то есть могут быть разрезаны на 3 y – 3 вертикальных прямоугольника. Оставшиеся 2 x – 2 строки можно разбить на пары рядом расположенных строк по 6 x – 3 клеток. А каждую такую пару строк, очевидно, можно разрезать на 2 x – 1 горизонтально расположенных прямоугольников. Случай m = 6 y – 3 строк и n = 2 x + 1 столбцов рассматривается аналогично. Только первые три столбца разрезаются на 3 y – 3 горизонтальных прямоугольника, а оставшиеся x – 1 пара рядом расположенных столбцов разрезается каждая на 2 x – 1 вертикальных прямоугольников.

Таким образом, если m = 2 x + 1, n = 6 y – 3 или n = 2 x + 1, m = 6 y – 3, где x и y произвольные натуральные числа, то из прямоугольника т × п можно вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3.

1. а) Рассуждая аналогично пунктам 1 и 2, получаем, что m × n – p 2 кратно 6. При этом m и n не меньше p и не могут, очевидно, равняться p + 1. Рассмотрим, какие остатки может давать число p при делении на 6.

Пусть p делится на 6. Тогда среди чисел m и n по крайней мере одно четное и по крайней мере одно делится на 3. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + y – 1; 2) m = p + 2 x – 2, n = p + 3 y – 3; 3) m = p + 3 x – 3, n = p + 2 y – 2; 4) m = p + x – 1, n = p + 6 y – 6. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Пусть p дает 1 в остатке при делении на 6. Тогда p 2 – 1 кратно 6, числа m и n нечетны и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + 6 y – 6; 2) m = p + 6 x – 2, n = p + 6 y – 2. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Пусть p дает 5 в остатке при делении на 6. Тогда p 2 – 1 кратно 6, числа m и n нечетны и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + 6 y – 6; 2) m = p + 6 x – 4, n = p + 6 y – 4. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Пусть p дает 2 в остатке при делении на 6. Тогда p 2 – 4 кратно 6, среди чисел m и n хотя бы одно четное и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + 3 y – 3; 2) m = p + 3 x – 3, n = p + 6 y – 6; 3) m = p + 3 x – 1, n = p + 6 y – 4; 4) m = p + 6 x – 4, n = p + 3 y – 1. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Пусть p дает 4 в остатке при делении на 6. Тогда p 2 – 4 кратно 6, среди чисел m и n хотя бы одно четное и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + 3 y – 3; 2) m = p + 3 x – 3, n = p + 6 y – 6; 3) m = p + 3 x + 1, n = p + 6 y – 2; 4) m = p + 6 x – 2, n = p + 3 y + 1. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Пусть p дает 3 в остатке при делении на 6. Тогда p 2 – 3 кратно 6, числа m и n нечетны и их произведение кратно 3. То есть, по крайней мере одно из этих чисел делится на 3. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + 2 y – 2; 2) m = p + 2 x – 2, n = p + 6 y – 6. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Заметим, что в каждом из этих случаев можно по аналогии с пунктами 1 и 2 показать, что оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3.

1. б) По аналогии с рассуждениями выше, для того, чтобы из прямоугольника т × п можно было вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно разрезать на прямоугольники s × t , где s и t – заданные натуральные числа, необходимо, чтобы число т × п – 9 делилось на число s × t . Рассмотрим небольшие значения s и t и ответим для них на вопрос задачи.

1) s = t = 1. Очевидно, m и n любые натуральные числа, не меньшие 3.

2) s = 1, t = 2 или s = 2, t = 1. В этом случае число т × п – 9 является четным, то есть числа m и n любые нечетные натуральные числа, не меньшие 3. Идея разрезания оставшейся части очень проста: вырежем квадрат 3 × 3 из левого верхнего угла прямоугольника, первые три строки содержат теперь четное число клеток (по 3 клетки из них вырезали), значит их можно разрезать на горизонтально расположенные прямоугольники 1 × 2, оставшиеся строки разбиваем на пары рядом расположенных строк и разрезаем каждую пару на нечетное число вертикально расположенных прямоугольников 1 × 2. Запишем ответ в виде m = 2 x +1, n = 2 y + 1, где x и y произвольные натуральные числа.

3) s = 1, t = 3 или s = 3, t = 1. В этом случае число т × п – 9 делится на 3, то есть по крайней мере одно из чисел m или n делится на 3. Чтобы разрезать оставшуюся часть, разрежем сначала весь прямоугольник на прямоугольники 1 × 3, расположенные параллельно той стороне, длина которой делится на 3. Выбрав 3 таких прямоугольника, расположенных рядом и образующих квадрат, в качестве вырезанного прямоугольника, получим разрезание оставшейся части. Таким образом, m = 3 x , n = 3 + y или m = 3 + x , n = 3 y , где x и y произвольные натуральные числа.

4) s = 2, t = 3 или s = 3, t = 2. Этот случай рассмотрен в пункте 2.

5) s = 1, t = 4 или s = 4, t = 1. В этом случае число т × п – 9 делится на 4, то есть т × п – 9 = 4 t для некоторого целого неотрицательного t . Тогда т × п = 4( t + 2) + 1 и произведение чисел m и n при делении на 4 дает в остатке 1. То есть, при делении на 4 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 3. Следовательно, m = 4 x + 1, n = 4 y + 1 или n = 4 x + 3, m = 4 y + 3, где x и y произвольные натуральные числа. Чтобы разрезать оставшуюся часть в первом случае, выделим в левом верхнем углу прямоугольника квадрат размера 5 × 5. Остальная часть легко разрезается на прямоугольники 1 × 4, так как оставшиеся части сторон кратны 4. Вырежем в центре квадрата 5 × 5 квадрат 3 × 3. Полученная рамочка разрезается на 4 прямоугольника. Во втором случае все еще проще, квадрат 3 × 3 вырезаем в верхнем левом углу, а затем оставшуюся часть то, что справа разрезаем на горизонтальные прямоугольники, а снизу на вертикальные. Оставшийся прямоугольник имеет стороны, кратные 4. Таким образом, m = 4 x + 1, n = 4 y + 1 или m = 4 x + 3, n = 4 y + 3, где x и y произвольные натуральные числа.

1. Будем решать исходную задачу для условия, соответствующего пункту 3 а). При этом будем сразу считать, что оставшуюся часть прямоугольника т × п после вырезания квадрата р × р можно хотя бы в каком-то случае разрезать на прямоугольники 2 × 3. Как и в исходной задаче, разместить левую верхнюю клетку квадрата p × p можно в ( m – p + 1)( n – p + 1) клетке. Далее рассмотрим два случая:

Пусть p нечетное число, тогда используя шахматную раскраску, как и исходной задаче, уменьшим число вероятных решений до . Также необходимо выбросить из рассмотрения клетки, находящиеся на расстоянии одной клетки от границы (по аналогии с исходной задачей). Этих клеток всего внутри урезанного прямоугольника и только черных:

. Таким образом, получаем ответ

Отметим, что в исходной задаче было получено .

Пусть p четное число, тогда, как и выше, необходимо выбросить из рассмотрения клетки, находящиеся на расстоянии одной клетки от границы. Их ( m – p – 1) ⋅ 2+( n – p – 1) ⋅ 2 – 4, то есть 2 ⋅ ( m + n – 2 p – 4). В итоге в ответ пойдет

Заметим, что для пункта 1 получаем m = n и p = 3. Тогда количество способов .

Для пункта 2 получаем .

Замечание. В пункте 4 была получена оценка сверху количества способов вырезания квадрата. Хотя и не доказано строго, можно предполагать, что это и нижняя оценка. Надо только указать способ разрезания оставшейся части на прямоугольники 2 × 3.

Источник

Олимпиадные, логические и занимательные задачи по математике. Задачи на разрезание

В ниманию репетиторов по математике и преподавателей различных факультативов и кружков предлагается подборка занимательных и развивающих геометрических задач на разрезание. Цель использования репетитором таких задач на своих занятиях — не только заинтересовать ученика интересными и эффектными комбинациями клеток и фигур, но и сформировать у него чувство линий, углов и форм. Комплект задач ориентирован главным образом на детей 4-6 классов, хотя не исключено его использование даже со старшеклассниками. Упражнения требуют от учащихся высокой и устройчивой концентрации внимания и прекрасно подходят для развития и тренировки зрительной памяти. Рекомендуется для репетиторов математики, занимающихся подготовкой учеников к вступительным экзаменам в математические школы и классы, предъявляющие особые требования к уровню самостоятельного мышления и творческим способностям ребенка. Уровень задач соответсвует уровню вступительных олимпиад в лицей «вторая школа» (вторая математическая школа), малому Мехмату МГУ, Курчатовской школе и др.

Примечание репетитора по математике:
В некоторых решения задач, которые вы можете посмотреть щелкнув на соответствующем указателе, указан лишь один из возможных примеров разрезания. Я вполне допускаю, что у вас может получиться какая-то другая верная комбинация — не надо этого бояться. Проверьте тщательно решение вашего мылыша и если оно удовлетворяет условию, то смело принимайтесь за следующую задачу.

1) Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

Подсказка репетитора по математике: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т
Посмотреть решение репетитора по математике

2) Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Подсказка репетитора по математике: Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник 1×3.
Посмотреть решение репетитора по математике:

3) Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:

Подсказка репетитора по математике:
Найдите количество клеточек, из которых состоит каждая такая фигура. Эти фигурки, похожи на букву Г.
Посмотреть решение репетитора по математике

4) А теперь нужно разрезать фигуру из десяти клеток на 4 неравных друг другу прямоугольника (или квадрата).

Указание репетитора по математике: Выделите какой-нибудь прямоугольник, а затем в оставшиеся клетки попробуйте вписать еще три. Если не получается, то смените первый прямоугольник и попробуйте еще раз.
Посмотреть решение репетитора по математкие

5) Задача усложняется: нужно фигуру разрезать на 4 разных по форме фигурки (не обязательно на прямоугольники).

Подсказка репетитора по математике: нарисуйте сначала отдельно все виды фигур разной формы (их будет больше четырех) и повторите метод перебора вариантов как в предыдущей задаче.
Посмотреть решение репетитора по математике:

6) Разрежьте эту фигуру на 5 фигур из четырех клеток разной формы таким образом, чтобы в каждой их них была закрашена только одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике: Попробуйте начать разрезание с верхнего края данной фигуры и вы сразу поймете, как действовать.
Посмотреть решение репетитора по математике:

7) По мотивам предыдущей задачи. Найдите сколько всего имеется фигур различной формы, состоящих ровно из четырех клеток? Фигуры можно крутить, поворачивать, но нельзя поднимать состола (с его поверхности), на котором она лежит. То есть две приведенные фигурки не будут считаться равными, так как они не могут получаться друг из друга при помощи поворота.

Подсказка репетитора по математике: Изучите решение предыдущей задачи и постарайтесь представить себе различные положения этих фигур при повороте. Нетрудно догадаться, что ответом в нашей задаче будет число 5 или больше. (На самом деле даже больше шести). Всего существует 7 типов описанных фигур.
Посмотреть решение репетитора по математике

8) Разрежьте квадрат из 16 клеток на 4 равные по форме части так, чтобы в каждой из четырех частей была ровно одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике: Вид маленьких фигурок не квадрат и не прямоугольник, и даже не уголок из четырех клеток. Так на какие же фигуры надо попытаться разрезать?
Посмотреть решение репетитора по математике

9) Изображенную фигуру разрежьте на две части таким образом, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математкие: Всего в фигуре 16 клеток — значит, квадрат будет размеро 4×4. И еще как-то нужно заполнить окошко в середине. Как это сделать? Может быть каким-нибудь сдвигом? Тогда поскольку длина прямоугольника равна нечетном учислу клеток, разрезание нужно провести не вертикальным разрезом, а по ломаной линии. Так, чтобы верхняя часть отрезалась с одной стороны от средние клетки, а нижняя с другой.
Посмотреть решение репетитора по математкие

10) Разрежьте прямоугольник размером 4×9 на две части с таким расчетом, чтобы в результате из них можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике: Всего в прямоугольнике 36 клеток. Поэтому квадрат получится размером 6×6. Так ка кдлинная сторона состоит из девяти клеток, то три из них нужно отрезать. Как дальше пойдет этот разрез?
Посмотреть решение репетитора по математике

11) Крестик из пяти клеток, показанный на рисунке требуется разрезать (можно резать сами клетки) на такие части, из которых можно было бы сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике: Понятно, что как бы мы по линиям клеточек не резали — квадрат не получим, так как клеток всего 5. Это задача единственная, в которой разрешается резать не по клеткам. Однако их все равно хорошо бы оставить в виде ориентира. например, стоит заметить, что нам как-то нужно убрать углубления, которые у нас есть — а именно, во внутренних углах нашего креста. Как бы это сделать? Например, срезая какие-то выпирающие треугольники из внешних уголков креста.
Посмотреть решение репетитора по математике:
Комментарий к решению: разрежьте так ка кпоказано на рисунке и вставьте голубые треугольники в пустые области, показанные фиолетовыми треугольниками.

Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике Москва, Строгино.

Классный сайт! Спасибо за самые интересные во всём интернете задачи с ответами!

Источник