- Деление многочлена на многочлен «уголком»
- 3 способа деления углом
- Деление в столбик
- Как правильно делить в столбик
- Как выглядит деление в столбик с остатком
- Примеры на деление в столбик
- Как научиться делить столбиком (уголком): примеры с решениями и объяснением
- Как научиться делить столбиком
- Игровые задания
- 1. Мама-учитель
- 2. Посмотреть вместе с ребенком обучающее видео
- 3. Нанять репетитора
- Как объяснить деление столбиком
- Деление на однозначное число
- Деление на двузначное число
- Многозначные числа
- Деление с остатком
Деление многочлена на многочлен «уголком»
В этой статье рассмотрим один из способов разложения на множители многочленов высших степеней. С его помощью вы сможете решать уравнения и неравенства вида:
Пример:
\(6x^2+6+x^3+11x\) записываем как \(x^3+6x^2+11x+6\)
1) Подбором найдите один из корней многочлена.
Для этого вместо \(x\) подставьте по очереди числа: \(±1,±2,±3,±4,±5\) и т.д. Число, которое сделает многочлен нулем и будет его корнем.
Пример:
\(x^3+6x^2+11x+6\)
Подставим \(1\). Имеем: \(1^3+6 \cdot 1^2+11\cdot 1+6=24\) — не равно нулю. Ищем дальше.
Подставим \(-1\). Получим: \((-1)^3+6\cdot (-1)^2+11\cdot (-1)+6=-1+6-11+6=0\) – значит \(-1\) корень нашего многочлена.
Матхак! Пробуйте сначала числа, на которые свободный член делиться нацело. В данном случае свободный член \(6\), поэтому в первую очередь нужно пробовать числа: \(±1,±2,±3\) и \(±6\).
2) Поделите исходный многочлен на \(x-x_0\), где \(x_0\) – найденный корень. Процесс деления многочлена на многочлен сильно похож на обычное деление в столбик — поэтому и называется деление «уголком».
а) Запишите многочлены как числа при делении столбиком:
б) Подберите такой одночлен, чтобы при умножении его на \(x\), получалось первое слагаемое исходного многочлена, то есть в нашем случае \(x^3\). Очевидно, что таким одночленом будет \(x^2\).
в) Умножьте этот одночлен на делитель и запишите результат под исходным многочленом. Таким образом, мы умножаем \(x^2\) на \(x+1\) и получаем \(x^3+x^2\).
г) Теперь точно так же, как в случае деления натуральных чисел, поставьте знак минус, проведите горизонтальную черту и сделайте вычитание.
д) Повторите шаги б) – г) только уже с новым многочленом:
— подберите такой одночлен, чтобы при умножении на \(x\) первое слагаемое было таким же, как в новом многочлене: в нашем примере этим одночленом будет \(5x\).
— умножьте этот одночлен на делитель: умножив \(5x\) на \(x+1\) получим \(5x^2+5x\).
— вычтите получившиеся многочлены:
е) И вновь повторяем шаги б) – г) до тех пор, пока после вычитания не останется ноль.
3) Запишите новый вид многочлена, представив его как произведение делителя и частного.
\(x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x^2+5x+6)\)
Матхак! Если есть сомнения в правильности разложения, можно проверить его раскрытием скобок – в результате должен получиться исходный многочлен.
Проверим наш случай: \((x+1)(x^2+5x+6)=x^3+5x^2+6x+x^2+5x+6=x^3+6x^2+11x+6\).
Получен исходный многочлен, значит, поделили правильно.
Матхак! Если в результате деления у вас в остатке получился не ноль, значит, скорее всего, в решении есть ошибка.
Давайте теперь решим пример с применением изученного материала.
Пример: Решите неравенство \(x^4-3x^3+6x-4≥0\).
Найдем один из корней многочлена слева. Проверим \(1\).
Поделим многочлен \(x^4-3x^3+6x-4\) на \((x-1)\) уголком. Однако замечаем, что у нас нет слагаемого с квадратом. Чтоб нам было удобнее решать, запишем вместо него выражение \(0·x^2\) (ведь его значение равно нулю, а значит оно ничего не меняет в исходном многочлене).
Запишем новый вид нашего неравенства.
С первой скобкой все хорошо, а вот вторую надо бы разложить еще. Так как высшая степень в ней — куб, то мы можем попробовать разложить методом группировки, что проще чем деление в столбик. У первых двух слагаемых вынесем за скобку \(x^2\), а у третьего и четвертого – минус двойку.
Теперь выносим общую скобку \((x-2)\) за скобку.
Но и это еще не все, потому что \(x^2-2\) можно разложить с помощью формулы сокращенного умножения «разность квадратов»: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
Вот сейчас все готово для применения метода интервалов .
Источник
3 способа деления углом
-Прозвенел и смолк звонок,
-Начинаем наш урок. (повторение правил посадки)
II. Актуализация знаний
Пете дали 2 яблока и еще половинку, а Никите дали 1 яблоко и еще половинку. Сколько яблок у них вместе?
На необитаемом острове растут 3 дерева: ёлка, береза, сосна. Под одним из них пираты зарыли клад, а на каждое дерево повесили табличку:
На ёлку — клад зарыт под сосной
На березу — клад зарыт не здесь
На сосну — клад зарыт под березой
Две надписи правдивые одна ложь. Под каким деревом зарыт клад?
III. Усвоение новых знаний
Дано выражение. Как поделить удобным способом?
363 : 3 = (300 + 60 + 3) : 7 = 300 : 3 + 60 : 3 + 3 : 3 = 100 + 20 + 1 = 121
По аналогии с первым выполняем второе выражение
98 : 7 = (90 + 8) : 7 = 90 : 7 + 8 : 7 — нельзя
Иногда подобрать удобным способом для деления слагаемые бывает сложно. Поэтому, их записывают в столбик.
Проверка: 14 * 7 = 98
Алгоритм выполнения деления в столбик:
1) Выделяем первое неполное делимое и объясняю, какие разрядные единицы оно обозначает.
98 | 7 — делимое должно быть больше делителя; 9 дес. и 8 ед.
2) Определяем количество цифр в значении частного
3) Подбираем первую цифру в значении частного
4) Умножаем число, записанное этой цифрой, на делитель
5) Вычитаю полученный результат из неполного делимого и нахожу остаток
6) Записываю цифру следующего разряда делимого рядом с остатком. Получаю второе неполное делимое и повторяю пункты 3, 4, 5 ,6
Проверка: 14 * 7 = 98
— Аналогично выполнить следующие действия по алгоритму
Нулевой остаток пишется только в конце вычислений
— Деление с остатком можно тоже записывать уголком
— Вспомните, какие числа делятся на 2, 3, 5
Источник
Деление в столбик
О чем эта статья:
3 класс, 4 класс
Как правильно делить в столбик
Делить столбиком проще, чем высчитывать в уме. Этот способ наглядный, помогает держать во внимании каждый шаг и запомнить алгоритм, который впоследствии будет срабатывать автоматически.
Рассмотрим пример деления трехзначного числа на однозначное 322 : 7. Для начала определимся с терминами:
- 322 — делимое или то, что необходимо поделить;
- 7 — делитель или то, на что нужно поделить:
- частное — результат действия.
Шаг 1. Слева размещаем делимое 322, справа делитель 7, между ставим уголок, а частное посчитаем и запишем под делителем.
Шаг 2. Смотрим на делимое слева направо и находим ту часть, которая больше делителя. 3, 32 или 322? Нам подходит 32. Теперь нужно определить сколько раз наш делитель 7 содержится в числе 32. Похоже, что четыре раза.
Проверяем: 4 × 7 = 28, а 28
Шаг 3. Остаток равен 4. Для продолжения решения его нужно увеличить. Мы сделаем это за счет следующей цифры делимого. Приписываем к четверке оставшуюся двойку и продолжаем размышлять.
Шаг 4. Сколько раз делитель 7 содержится в числе 42? Кажется, шесть раз. Проверяем: 7 × 6 = 42, 42 = 42 — все верно. Записываем полученное число к четверке справа — это вторая цифра частного. Делаем вычитание в столбик 42 из 42, в остатке получаем 0. Значит, числа разделились нацело.
Мы закончили решать пример и в результате получили целое число 46.
Как выглядит деление в столбик с остатком
Это такое же деление, только в результате получается неровное число, как получилось в примере выше.
- Например, делим 19 на 5. Наибольшее число, делящееся на 5 до 19 это 15. Проверяем 5*3=15, 19-15=4. Ответ: 3 и остаток 4. Записываем так: 19:5=3(4).
- Еще пример: делим 29 на 6. Также определяем максимальное число, делящееся на 6 до 29. Подходит 24. Ответом будет: 4 и остаток 5. А записываем: 29:6=4(5).
Примеры на деление в столбик
Давайте закрепим знания на практике. Для этого разделите столбиком примеры ниже, а после проверьте полученные цифры — чур, не подглядывать!
Источник
Как научиться делить столбиком (уголком): примеры с решениями и объяснением
Азы деления столбиком и в уме дети изучают в начальной школе: в 3-м или 4-м классе. Но вникают в материал быстро и легко далеко не все третьеклассники. Дома нужно много практиковаться, решать тренировочные примеры. Но сначала лучше еще раз объяснить алгоритм действий, чтобы ребёнок смог понять, как деление уголком, с остатком, выявить пробелы в детских знаниях.
Как стать суперучителем без специальной подготовки и помочь ребенку с этой трудной темой, расскажем подробнее.
Из этой статьи вы узнаете
Как научиться делить столбиком
Деление столбиком с остатком и без него нельзя начинать без подготовки. Сначала ребенок должен хорошо уметь и знать следующее:
- Разряды натуральных чисел (десятки, сотни, тысячи). Находить их в ряду многозначных цифр.
- Таблица умножения. Этот материал лучше выучить наизусть и постоянно повторять.
- Отнимать, складывать не только однозначные или двузначные, но и многозначные числа.
- Решать маленькие задачи на умножение, разность, сумму устно.
Отработайте все обозначенные умения до автоматизма. Затем приступайте к делению маленьких цифр на примере таблицы умножения в уме. Например, ребенок выучил, как умножать цифру 6:
6х4=24 и так далее.
Смело предлагайте такие примеры:
Через пару уроков школьник будет выполнять такие задания легко. Можно разнообразить занятия по устному счету играми на деление.
На заметку! Все начальные математические навыки хорошо автоматизируются с помощью онлайн-тестов, где ребенок получает мгновенный результат своей работы.
Игровые задания
Интересные математические игры на деление без остатка помогают детям закрепить навык, узнать законы работы с цифрами, освоить устный счет.
- Головоломки на развитие внимания. Напишите в тетради 3–5 примеров на деление с ответами.
Все, кроме одного, должны быть решены неверно. Нужно быстро найти тот пример, который содержит правильный ответ. Затем исправить остальные примеры с помощью устного счета.
Нарисуйте небольшой сад с деревьями на картоне. Каждому растению дайте номер, пусть их будет 10. На листочке для ученика напишите 3 примера:
Школьник должен вычислять результат к каждому заданию, а потом складывать все числа между собой. Получится так:
Ребенок должен найти дерево под номером 9.
Для игры можно использовать цветные пуговицы и ставить их на занятые деревья. Развлечение подходит для командных соревнований.
После устной работы с делением натуральных чисел можно показать ребенку порядок записи примеров столбиком. Если педагогического опыта у вас нет и вы не знаете, как объяснить ребёнку процесс деления столбиком , то посмотрите видеоурок на эту тему, вспомните теорию сами.
Теперь можно приступать к объяснению сложного материала школьнику. Есть несколько методик домашнего обучения делению:
1. Мама-учитель
Родителям придется ненадолго стать педагогами. Оборудовать доску, купить мел или маркеры. Заранее вспомнить школьный материал по теме “деление уголком ” . Объяснить пошагово теорию и закрепить ее на практике с помощью большого количества самостоятельных, карточек, контрольных работ.
2. Посмотреть вместе с ребенком обучающее видео
Затем нужно обсуждать с малышом материал, закреплять навык на практике несколько недель.
3. Нанять репетитора
Деление (даже трёхзначных чисел на двузначные ) не самая сложная тема в школьной программе. В начальных классах можно легко обойтись без платных уроков с педагогом.
Этот вариант оставим на крайний случай.
На заметку! Обязательно противопоставляйте деление умножению. Проверяйте результат обоих действий противоположным.
Как объяснить деление столбиком
Сначала стоит доходчиво объяснить, что такое деление на простом примере. Суть математического действия — разложить число поровну. В 3-м классе дети хорошо учатся на доступных примерах: раздают кусочки торта гостям, рассаживают кукол по 2 машинам.
Когда малыш усвоит суть деления, покажите его запись на листке. Используйте уже знакомые задания с простыми числами:
- Сначала запишите задачу обычным способом: 250:2=?
- Каждому числу дайте название: 250 — делимое, 2 — делитель, результат после знака равно — частное.
- Затем сделайте сокращенную запись столбиком (уголком):
- Рассуждайте вместе так: сначала найдем неполное частное. Для этого нам потребуется сравнивать первое неполное делимое и делитель . Это будет 2, так как оно не меньше делителя, а вернее, равно ему. В этом числе помещается один делитель, значит, в частное записываем цифру 1 и умножаем ее на 2. Заносим полученный результат под делимым. Отнимаем 2-2. Получится ноль, поэтому сносим следующее число и опять подыскиваем частное. Совершаем математическое действие до тех пор, пока не получится ноль.
- После получения окончательного результат сделайте проверку с помощью умножения: 125х2=250.
Во время объяснения правил деления в столбик желательно научить третьеклассника рассуждать в процессе вычисления вслух, выполнять действия на черновике.
Сначала проговаривайте алгоритм вместе, потом только слушайте ученика и помогайте исправить ошибки.
На заметку! Приучайте малыша постоянно проверять себя. Школьник должен понимать, что величина остатка вычитания в столбике деления должен всегда быть меньше делителя.
Деление на однозначное число
Возьмите листок и ручку, посадите ребенка рядом. Сначала запишите пример уголком сами. Для деления на однозначное число выбирайте такие цифры, которые дают результат без остатка (полный ответ).
Первый урок по теме “Деление на однозначное число” можно построить так:
- Положите перед ребенком картинку с образцом деления столбиком.
- Придумайте собственный пример. Пусть это будет 254:2
- Задание нужно записывать уголком. Доверьте это школьнику. Он может посмотреть, как делается запись на картинке.
- Спросите третьеклассника: «Какое число нужно делить на 2 первым?». В этот момент важно объяснять, что делимое должно быть равно или большего делителя. Малыш выделит для деления первое число из данной цифры: 2…54
- Теперь определите вместе, сколько двоек поместится в числе 2. Ответ: 1.
- Записываем частное под уголком.
- Умножаем 1 на 2 и записываем результат под делимым.
- Вычитаем.
- Так как получился 0, сносим следующую цифру под линию после вычитания: 5.
- Опять задаем вопрос: «Сколько двоек поместится в 5?» Малыш вспоминает таблицу умножения или подбирает частное с помощью логики. Отвечает: 2.
- Записываем 2 в частное, умножаем на 2.
- Результат (4) записываем под 5.
- Отнимаем.
- Остается 1. Единицу разделить на 2 нельзя, поэтому сносим остатки делимого вниз. Получается 14.
- Делим 14 на 2. Записываем в частное 7.
- Умножаем на 2. Записываем под чертой 14.
- Отнимаем.
- В конце всегда должен получаться 0.
- В результате у ребенка сформируется такая запись:
Для закрепления материала 3 класса запишите еще 3–5 примеров на деление на этом же листочке. Не отходите далеко от школьника, образец не прячьте, не превращайте урок в проверочную работу. Малыш только учится делить. На этом этапе помогайте ему, подсказывайте и наталкивайте на правильное решение для повышения уверенности в себе.
На заметку! Для автоматизации навыка деления столбиком можно составить небольшую памятку, где прописан каждый этап математического действия. Разрешайте школьнику смотреть в нее до тех пор, пока он сам не забудет об образце.
Деление на двузначное число
Когда ученик 3-го класса усвоил деление на однозначное число, можно приступать к следующему этапу — работе с двузначными цифрами. Начинайте с простых, явных примеров, чтобы малыш понял алгоритм действий при делении на двузначные числа . Например, возьмите числа 196 и 28 и объясните принцип:
- Сначала подберите примерное число для ответа. Для этого выясните приблизительно, сколько цифр 28 поместится в 196. Для удобства можно округлять оба числа: 200:30. Получится не больше 6. Полученное число не нужно записывать, это только догадка.
- Проверяем результат умножением: 28х6. Получается 196. Предположения оказались верными.
Еще один вариант обучения: деление на двузначное число уголком. Такой способ больше подходит для работы с числами от четырех разрядов, то есть тысяч. Приведем простой пример:
- Напишите на листе бумаги 4070, начертите уголок и подпишите делитель — 74.
- Определите, с какого числа начнете делить. Спросите у ребенка, можно ли разделить 4 на 74, 40? В результате малыш поймет, что сначала нужно ограничиться числом 407. Очертите полученную цифру сверху полукругом. 0 останется в стороне.
- Теперь нужно выяснить, сколько 74 поместится в 407. Действуем с помощью логики и проверки умножением. Получится 5. Записываем результат под уголком (под делителем).
- Теперь умножаем 74 на 5 и записываем результат под делимым. Получится 370. Важно начинать запись с первого числа слева.
- После записи нужно подвести горизонтальную черту и отнять 370 от 407. Получится 37.
- 37 разделить на 74 нельзя, поэтому вниз сносится оставшийся в верхнем ряду 0.
- Теперь делим 370 на 74. Подбираем множитель (5) и записываем его под уголком.
- Умножаем 5 на 74, записываем результат в столбик. Получится 370.
- Опять получаем разность. Результат будет равен 0. Значит, деление считается завершенным без остатка.
4070:74=55. Частное смотрим под уголком.
Для проверки правильности решение произведите умножение: 74х55=4070.
Есть мнение! Иметь в доме решебник с ГДЗ многие родители считают недопустимым. А зря. С помощью готовых заданий ребенок может легко проверить себя. Главное — правильно объяснить школьнику назначение сборника ДЗ с ответами.
Многозначные числа
Сложнее всего детям даются задачи на трехзначные и четырехзначные числа. Четверокласснику тяжело оперировать тысячами и сотнями тысяч. У школьника возникают следующие проблемы:
- Не может определить неполное число делимого для первого действия. Вернитесь к изучению разрядов натуральных чисел, поработайте над развитием внимания малыша.
- Пропускает 0 в записи частного. Это самая распространенная проблема. В результате у ребенка получается число на несколько разрядов меньше правильного. Чтобы избежать этой ошибки, нужно распечатывать памятку с последовательностью действий в примерах, где в середине частного есть нули. Предложите ребенку тренажер с такими заданиями для отработки навыка.
При обучении решению задач с крупными ( многозначными ) числами действуйте поэтапно:
- Объясните, что такое неполное делимое и зачем его выделять.
- Потренируйтесь в поиске делимого устно без последующего решения задач. Например, дайте детям такие задания:
Найдите неполное частное в примерах: 369:28; 897:12; 698:36.
- Теперь приступайте к решению на бумаге. Запишите столбиком: 1068:89.
- Сначала нужно отделить неполное делимое. Можно использовать запятую сверху над числами.
- Подбирайте частное на отдельном листочке или посчитайте в уме.
- Распишите результат.
- Внимательно отнимайте цифры от делимого. Следите за тем, чтобы результат после вычитания был меньше делителя.
- Продолжайте деление до конца, пока не получится 0.
- Придумайте еще несколько похожих примеров без остатка. Степень сложности увеличивайте постепенно.
На заметку! Примеры с семизначными цифрами с третьеклассниками решать не нужно. Это лишнее. Достаточно остановиться на заданиях с пятизначными числами (до 10 000). Деление миллионов дети проходят в старших классах.
Деление с остатком
Завершающим этапом уроков на закрепление навыка деления будет решение заданий с остатком. Они обязательно встретятся в решебнике для 3–4-го класса. В гимназиях с математическим уклоном школьники изучают не только неполные числа, но и десятичные дроби. Форма записи примера уголком останется прежней, отличаться будет только ответ.
Примеры на деление с остатком берите несложные, можно преобразовывать уже решенные задания с целым числом в ответе, прибавляя к делимому единицу. Это очень удобно для ребенка, он сразу увидит, чем примеры похожи и чем отличаются.
Урок может выглядеть так:
- Расскажите ученику третьего класса, что не все цифры можно поделить поровну и что есть такие, которые делятся с остатком . Для иллюстрации понятия возьмите натуральное число до 10. Например, попробуйте вместе разделить 9 на 2. Форма записи решения столбиком получится такой:
- Объясните школьнику, что остатком считается последнее число для деления, которое меньше делителя. Конец записи будет таким: 9:2=4 (1 — остаток).
На заметку! Отделять целое число от остатка запятой, делать из него дробное на начальном этапе обучения делению не нужно. Записывайте остаток отдельно, чтобы школьник видел конечный результат разности в столбике.
Источник
