Параллельный перенос
Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Строгое определение параллельного переноса даётся либо через декартовы координаты, либо через вектор.
1) Введём на плоскости декартовы координаты x, y.
Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F.
Формулы параллельного переноса
Если при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1)
то параллельный перенос задаётся формулами:
Говорят также, что A1 является образом точки A при параллельном переносе на вектор (a; b). Точка A называется прообразом.
2) Параллельный перенос на данный вектор ā называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, то вектор AA1 равен вектору ā:
Свойства параллельного переноса
1) Параллельный перенос есть движение (то есть параллельный перенос сохраняет расстояние).
2) При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
3) При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).
4) Каковы бы ни были точки A и A1, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1.
В алгебре параллельный перенос широко используется для построения графиков функций.
Источник
Параллельный перенос
Урок 11. Геометрия 11 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Параллельный перенос»
Сегодня на уроке мы вспомним, какое отображение плоскости на себя мы называли параллельным переносом, введём понятие параллельного переноса в пространстве. Проверим, будет ли параллельный перенос движением пространства.
Вернёмся в планиметрию и вспомним, что параллельным переносом мы называли преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние. Мы говорили, что для того, чтобы задать перенос достаточно задать вектор.
Другими словами, параллельным переносом на вектор 
называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка 
отображается в такую точку 
, что вектор 
равен вектору .
То, что параллельный перенос является примером движения плоскости, мы уже доказывали. Давайте вспомним это доказательство.
Пусть при параллельном переносе на вектор точки и 
отображаются в точки и 
. Так как векторы 
и 
, то значит, эти векторы равны между собой 
. То есть они параллельны 
и их длины равны, поэтому четырёхугольник 
– параллелограмм. Следовательно, 
, то есть расстояние между точками и равно расстоянию между точками и .
Случай, когда точки и лежат на прямой параллельной вектору , вы можете рассмотреть самостоятельно. Но и в этом случае расстояние между точками и будет равно расстоянию между точками и .
Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора на его длину.
В планиметрии мы говорили, что параллельный перенос обладает некоторыми свойствами.
Свойства параллельного переноса:
· При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок.
· Угол переходит в равный ему угол.
· Окружность переходит в равную ей окружность.
· Любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник.
· Параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
· Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.
Теперь давайте определим, что мы будем понимать под параллельным переносом в пространстве.
Параллельным переносом на вектор 
называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в такую точку 
что 
.
Проверим, будет ли параллельный перенос в пространстве примером движения пространства.
При параллельном переносе точки пространства 
и 
переходят в такие точки 
и 
, что вектора 
и 
.
Сложим по правилу треугольника векторы
Поскольку левые части равенств равны, значит, равны и правые части равенств.
Значит, можно записать, что 
.
Заменим вектора 
и 
на вектор 
. Получим, что 
. Отсюда получаем, что вектор 
. Поскольку векторы равны, значит, равны и их длины, то есть 
. То есть расстояние между точками при параллельном переносе в пространстве сохраняется, значит, параллельный перенос в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.
Сформулируем свойства параллельного переноса.
Свойства параллельного переноса:
· Параллельный перенос является примером движения пространства.
· При параллельном переносе точки смещаются по параллельным или совпадающим прямым на одно и то же расстояние.
· При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или сама в себя).
· Каковы бы не были две точки и , существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка переходит в точку .
· При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.
Движение в пространстве обладает теми же свойствами, что и движение плоскости.
Свойства движения пространства:
· Движение сохраняет расстояние между точками.
· При любом движении пространства отрезок отображается на отрезок, прямая – в прямую, плоскость – в плоскость.
Решим несколько задач.
Задача: начертить отрезок 
и вектор . Построить отрезок 
, который получится из отрезка 
параллельным переносом на вектор .
Решение: для того, чтобы построить отрезок , отобразим точку в точку , точку в точку с помощью параллельного переноса. Тогда соединив точки , мы получим отрезок .
Задача: начертить треугольник 
и вектор . Построить треугольник 
, который получится из треугольникa 
параллельным переносом на вектор .
Решение: отобразим с помощью параллельного переноса точки , , 
в точки , ,
. Соединив полученные точки, мы получим искомый треугольник .
Задача: начертить пятиугольник 
и вектор . Построить пятиугольник 
, который получится из пятиугольника 
параллельным переносом на вектор .
Решение: решать эту задачу будем аналогично тому, как мы решали предыдущую задачу. Отобразим каждую вершину пятиугольника с помощью параллельного переноса на вектор . Соединим получившиеся точки и получим искомый пятиугольник .
Сегодня на уроке мы вспомнили, что мы понимали под параллельным переносом в планиметрии. Ввели понятие параллельного переноса в пространстве. Сформулировали основные свойства параллельного переноса, движения пространства.
Источник
